精品解析：广东深圳市深圳外国语学校宝安学校2026-2027学年九年级上学期9月测试数学试卷

2026-2027学年第一学期九年级【数学】学科核心素养反馈 满分：100分 时间：90分钟 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列函数图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：A． 2. 若分式有意义，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分式有意义的条件，即分式的分母不能为0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义时，分母不能为0， ∴，解得． 3. 下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A. ，不是因式分解； B. ，是乘法公式，不是因式分解； C. ，是因式分解； D. ，左右两边不相等，不是因式分解； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题关键是看是不是把多项式变成了整式的积，等号左右两边应该是恒等变形． 4. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过移项和添加常数项完成配方，即可解题． 【详解】解：∵， 移项，得 ， 方程两边同时加4，得 ， 即 ， 故选：B． 5. 如图，在中，，则（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的对角相等和平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形对角相等的性质和平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 又， ， ∴． 故选：B． 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 两组边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题的真假，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理． 根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定逐项判断． 【详解】解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，原说法是假命题，不符合题意； 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题，符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，是真命题，不符合题意； 有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，不符合题意； 故选：A． 7. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余田的面积为468列出方程即可． 【详解】解：设入口的宽度为x m，由题意得： （30-2x）（20-x）=468． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 8. 如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得点从时，逐渐增大，当时，，当时，值最小，当点继续运动到点时，值逐渐增大，即当点运动到点时，，由勾股定理得到，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴是的直角边，是斜边， ∴点从时，逐渐增大， 根据图2可得，当时，， 当时，在中，是直角边，是斜边， ∴，即，逐渐减小，当时，值最小，当点继续运动到点时，值逐渐增大，即当点运动到点时，， 同理，点从时，逐渐减小，到时有最小值，之后逐渐增大，当点运动到点时，，此时停止运动， ∴， ∴点运动到中点时，的长为， 故选：B ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，动点与函数图形的综合，掌握菱形的性质，函数图象的增减性是解题的关键． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 关于x的方程的一个根为3，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，由代入一元二次方程得出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根是3， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根得到根的判别式，联立计算即可求出的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，即． 方程有两个相等的实数根 ， ， 其中，， ，代入得 ， 解得，满足． 11. 在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式的解集是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象可知：两函数的交点为， 关于x的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图像的特征、一元一次不等式；关键在于能数形结合，理解对应相同的自变量，图像上方函数值大于下方的函数值． 12. 如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好的标本遮盖到了数学作业本上的一个正边形一部分．若正边形的两条边所在直线、所夹锐角为．则的值是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形外角和及三角形内角和，熟练掌握正多边形外角和及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，，然后根据三角形内角和可得，进而根据正多边形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴正多边形的边数； 故答案为5． 13. 如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G，若，，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，，再根据△中，，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 四边形是正方形， ，， 由旋转可得，， ， 为的中点， 垂直平分， ， 设，则，，， ， 在△中，， ， 解得； 即； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 三．解答题（共7小题） 14. 完成下列小问． （1）解不等式组：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）解一元一次不等式组，先分别求解组内两个不等式，解①时去括号、移项化简求出解集，解②时两边同乘去掉分母，再移项求出解集，最后取两个解集的公共部分得到不等式组的解集； （2）解一元二次方程，先移项整理成标准二次方程形式，再对左边因式分解，利用“若乘积为则至少一个因式为”，即可求出方程两个根． 【小问1详解】 解：， ①化简得，解得， ②两边同时乘以得，解得， 故该不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：， 化简得， 移项得， 因式分解得， 解得，． 15. 先化简，再求值：，其中x＝． 【答案】 【解析】 【分析】先对题目中的式子进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 当x＝时，原式＝． 【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 16. 已知点E是正方形的边的一点，且点E不与点B、C重合．在图1、图2、图3的正方形网格图中，点A、B、C、D、E都是格点，请按要求画图； （1）在图1中画出三角形平移后得到的三角形，其中点A、B、E的对应点分别是点F、D、G． （2）连接，在图2中画出与三角形关于直线成轴对称的图形． （3）点是正方形网格图中的一点，且点O不与点A、B、C、D、E重合．将三角形绕着点O旋转，使得线段与线段重合．请在图3中画出符合上述条件的点O以及三角形旋转后得到的三角形． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作； （2） 解：如图，即为所求作； （3） 解：如图，点即为旋转中心，即为所求作； 【解析】 【分析】本题主要考查了平移（作图），画轴对称图形，画旋转图形，按照要求正确作出图形是解题的关键． （1）利用平移作图的方法即可作图； （2）利用轴对称作图的方法即可作图； （3）利用旋转作图的方法即可作图． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 网络直播为农产品销售提供了重要渠道，无核柑橘是我省西南山区特产，许多果农们采取直播的方式实现了销售转型，如果按照每箱70元售价进行销售时，平均一天可以卖出100箱，刨去种植和人工成本，每一箱可以赚26元，另外打包用的纸箱子是2元/个，每天的直播推广费用为300元，通过直播大数据分析发现，当每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，为了推广自己的柑橘，果农们决定降低售价． （1）设降价x元，则每天可以售出 箱？（用含x的代数式表示） （2）若果农们想要每天纯利润达到2550元，那么每箱的售价应该定为多少？ 【答案】（1） （2）售价应该定为65元或61元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，可知：降价x元，则每天可以售出箱； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设降价x元， 由题意，得：， 解得：， ∴元或元， 答：售价应该定为65元或61元． 18. 如图，的对角线，相交于点O，E是边的中点，连接．过点O，E作直线的垂线，垂足分别为F，G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，，则矩形的面积为______． 【答案】（1） 证明：，， ，， 四边形是平行四边形， ， E是边的中点， ， 是的中位线， ，即， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、矩形的判定及性质、菱形的性质、勾股定理、三角形的面积计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，由E是边的中点可得，根据三角形中位线定理得到，即，进而推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到结论； （2）根据菱形的性质得到，求得，，，由勾股定理求出，根据三角形面积公式得到，根据矩形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是菱形，，， ， ，，， ， E是边的中点， ， ， ， ， 矩形的面积． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】（1）① （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【小问1详解】 解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； 【小问2详解】 解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； 【小问3详解】 解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 20. 阅读材料： 小华遇到这样一个问题：如图1，将绕点B逆时针旋转得到，的延长线与相交于点F， 连接、，，求证：． 小华通过探究，为同学们提供了解题的想法： 如图2，在上截取，连接．由旋转性质可证全等，再证为等边三角形，从而使问题得到解决． （1）请按照小华的思路，完成解题过程． 参考小华思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，等边中，点P是延长线上一点，把绕点P逆时针旋转，得线段，点O是线段的中点， 连接，． （2）填空：线段，的数量关系是_______； （3）证明你的结论． 【答案】 （1）证明：在上截取，连接， ∵绕点B逆时针旋转得， ∴，，， ∴，又，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴ ， ∴ ． （2）； （3）证明：如图3中，延长到F，使得．连接，，在上取一点E，使得，连接． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由旋转的性质可知：，， ∴． ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）在上截取，连接，由旋转的性质得出，，，证明，由全等三角形的性质得出，，再证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，结合已知条件得出． （2）结合（1）得出线段，的数量关系． （3）延长到F，使得．连接，，在上取一点E，使得，连接．先证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，，再证明是等边三角形，结合已知条件得出，由全等三角形性质即可得出． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级【数学】学科核心素养反馈 满分：100分 时间：90分钟 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列函数图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，则（ ） A. 10 B. C. D. 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 两组边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 7. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（ ） A. 3 B. C. D. 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 关于x的方程的一个根为3，则________． 10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 11. 在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式的解集是___________． 12. 如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好的标本遮盖到了数学作业本上的一个正边形一部分．若正边形的两条边所在直线、所夹锐角为．则的值是___________． 13. 如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G，若，，则的长为_______． 三．解答题（共7小题） 14. 完成下列小问． （1）解不等式组：； （2）解方程：． 15. 先化简，再求值：，其中x＝． 16. 已知点E是正方形的边的一点，且点E不与点B、C重合．在图1、图2、图3的正方形网格图中，点A、B、C、D、E都是格点，请按要求画图； （1）在图1中画出三角形平移后得到的三角形，其中点A、B、E的对应点分别是点F、D、G． （2）连接，在图2中画出与三角形关于直线成轴对称的图形． （3）点是正方形网格图中的一点，且点O不与点A、B、C、D、E重合．将三角形绕着点O旋转，使得线段与线段重合．请在图3中画出符合上述条件的点O以及三角形旋转后得到的三角形． 17. 网络直播为农产品销售提供了重要渠道，无核柑橘是我省西南山区特产，许多果农们采取直播的方式实现了销售转型，如果按照每箱70元售价进行销售时，平均一天可以卖出100箱，刨去种植和人工成本，每一箱可以赚26元，另外打包用的纸箱子是2元/个，每天的直播推广费用为300元，通过直播大数据分析发现，当每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，为了推广自己的柑橘，果农们决定降低售价． （1）设降价x元，则每天可以售出 箱？（用含x的代数式表示） （2）若果农们想要每天纯利润达到2550元，那么每箱的售价应该定为多少？ 18. 如图，的对角线，相交于点O，E是边的中点，连接．过点O，E作直线的垂线，垂足分别为F，G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，，则矩形的面积为______． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 20. 阅读材料： 小华遇到这样一个问题：如图1，将绕点B逆时针旋转得到，的延长线与相交于点F， 连接、，，求证：． 小华通过探究，为同学们提供了解题的想法： 如图2，在上截取，连接．由旋转性质可证全等，再证为等边三角形，从而使问题得到解决． （1）请按照小华的思路，完成解题过程． 参考小华思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，等边中，点P是延长线上一点，把绕点P逆时针旋转，得线段，点O是线段的中点， 连接，． （2）填空：线段，的数量关系是_______； （3）证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $