广东深圳市宝安中学（集团）2026-2027学年上学期九年级数学开学考试题

2026－2027宝安中学（集团）初中部九年级上数学开学练习 班级：________姓名：________座号：________家长签名：________成绩：________ 一、选择题：（每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．下列人工智能APP图标中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．下列命题中，是真命题的有（ ） ①平行四边形是中心对称图形；②矩形的对角线互相垂直； ③菱形的四个角相等；④正方形的对角线相等，且互相垂直平分 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 5．如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，分别交于点，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 6．若分式方程有增根，则等于（ ） A．3 B． C． D． 7．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长和宽各为多少步？设这块长方形田地的长为步，则根据题意列方程为（ ） A． B． C． D． 8．如图，正方形中，是上一点，点在的延长线上，，连结．是的中点，连结，．给出以下结论：①垂直平分；②，下列判断正确的是（ ） A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 二、填空题（每小题3分，共15分） 题号 9 10 11 12 13 答案 9．因式分解：=________． 10．一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形是________边形． 11．不等式组的解集是________． 12．数学家伯努利在1691年创立了一种名为“极坐标系”的新坐标系．如图1，在平面上取一定点（称为极点），以为端点向右引射线（称为极轴）构成了极坐标系．在极坐标系内，对于直线上方的任意点，连接，设线段的长度为，，那么点的极坐标记为．如图2，在极坐标系内，，，则点的极坐标为．已知点，如果点在这个极坐标系内，且四边形是菱形，那么点的极坐标是________________． 13．如图，在等腰中，，．为边上的高，，分别为，边上的点，将分别沿，折叠，使点落在的延长线上点处，点落在点处，连接，若，则的长是____________． 三、解答题（共61分） 14．（8分）解方程：（1）； （2）． 15．（6分）先化简，再求值：，其中． 16．（分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，请画出，并直接写出的坐标为____________． （2）请画出关于点O中心对称的； （3）若点，是轴上两个动点，点在点的上方，且，连接，，则的最小值为____________． 17．（分）如图，菱形的对角线，相交于点，是边的中点，连接，过点作的垂线，垂足为点． （1）请用尺规作图，过点作交于点，并证明四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，如果，，求矩形的面积． 18．（分）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出____________个A种商品，若售价下降元（），每月能售出____________个A种商品； （2）若本月购进最多有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 19．（分）阅读材料，并解决问题． 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解运用】 （1）学习，参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程（）的正确构图是___________．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】 （2）小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（______________________）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程：__________________，解得原方程的一个正根为__________________． 【拓展应用】 （3）一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，试求此方程的系数和的值，并求得方程的正根． 20．（分）【问题背景】 如图1，在中，．将绕点逆时针旋转至，记旋转角（），当线段与不共线时，记的面积为，的面积为． 【特例分析】 如图2，当恰好过点，且点，，在同一条直线上时． （1）________________； （2）若，则________________，________________； 【推广探究】 某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，与之间存在一定的数量关系，小红和小明经过独立思考，获得了如下一些解决思路： 小红：如图3，过点作于点，过点作，交的延长线于点，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题； 小明：如图4，过点，分别作直线平行于，，两直线交于点，连接，可证一组 三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题． 请根据以上其中的任一种思路，完成探究过程，说明与的关系，并说明理由． 【拓展应用】 在旋转过程中，当为面积的时，的值为________．（画出图形） 学科网（北京）股份有限公司 $