2026-2027学年人教版九年级数学上学期第一次月考模拟卷培优卷（湖南省长沙市专用）

**基本信息** 本卷聚焦一元二次方程与二次函数核心内容，解答题融入经济增长率、投资方案等实际问题及新定义“师梅方程”题型，体现数学思维的推理与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、根的判别式、二次函数性质|基础概念辨析，如第7题结合判别式考参数取值| |填空题|6/18|二次函数增减性、抛物线过点、最值计算|第16题结合正方形与抛物线考坐标关系，体现几何直观| |解答题|9/72|解方程、根与系数关系、实际应用（经济增长/投资）、二次函数综合、新定义|21题经济增长率问题培养模型意识，25题新定义“师梅方程”发展创新意识，23题投资方案体现应用能力|

人教版2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷培优卷（湖南省长沙市专用） 测试范围：第25章一元二次方程、第26章二次函数(考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 3．用配方法解方程，则配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．有最小值2 D．顶点坐标是 5．以下函数的图象的顶点坐标为的是（） A． B． C． D． 6．已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．二次函数的图象与轴有两个交点，则“□”表示的数可以是（    ） A．1 B． C．2 D．3 8．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A． B． C． D． 9．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③，其中；④．其中正确结论的有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11．二次函数y=，当x<0时，y随x的增大而增大，则m=___． 12．若抛物线经过和两点，则_____． 13．二次函数在范围内的最大值与最小值的差为______． 14．是一个一元二次方程，则___． 15．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围_______． 16．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则________． 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解一元二次方程． (1)； (2)． 18．关于的方程有两个相等的实数根，求m的值及此时方程的根． 19．已知：关于的方程有一个根是，求另一个根及的值． 20．已知二次函数． (1)当x为何值时，y有最值？是多少？ (2)当时，求函数的最值． (3)当时．求函数的最值． 21．某经济开发区今年六月份工业产值是150亿元，八月份工业产值达到了216亿元， (1)求该经济开发区七、八月平均每月工业产值的增长率， (2)若保持（1）中的这个平均增长率不变，预计九月份该经济开发区工业产值能否达到260亿元？请判断并说明理由． 22．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标． 23．某投资公司调查发现，投资产品所获利润（万元）与投资金额（万元）之间的关系如图所示，投资产品所获利润（万元）与投资金额（万元）之间的关系如图所示． (1)分别求出、与之间的函数解析式； (2)若公司计划两种产品共投资万元，请你设计一种投资方案，使所获总利润最大，并求出最大利润； (3)在（）的条件下，为确保产品投资金额不高于万元，则此时总利润最大为_____万元． 24．已知抛物线的顶点坐标为，经过点. （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，直线交抛物线于，两点，若，求的值； （3）如图2，将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线，抛物线的顶点为，交轴的负半轴于点，点在抛物线上. ①求点的坐标（用含的式子表示）； ②若，求，的值. 25．新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D B B A C B B 11． 12． 13．36 14． 15．且 16．1 17．【详解】（1）解：∵， ∴，即， 则， ∴； （2）∵， ∴， 则或， 解得． 18．【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有两个相等的实数根， ∴b2-4ac=4-4（2m-1）=0， 解得：m=1， ∴此时二次方程为：x2-2x+1=0， 则（x-1）2=0， 解得：x1=x2=1． 19．【详解】解：设方程的另一根为， 则由韦达定理知：， ， 方程的另一根为，的值为． 20．【详解】（1）解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为10； （2）解：由（1）可得对称轴为直线 当时，y随x的增大而增大， ∴由知，当时，y取得最小值，最小值， 当时，y取得最大值，最大值； （3）解：由（1）可得对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而减小， ∴在范围内，当时，函数取得最大值，最大值，无最小值． 21．【详解】（1）解：设该经济开发区七、八月平均每月工业产值的增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该经济开发区七、八月平均每月工业产值的增长率为； (2)解：预计九月份该经济开发区工业产值不能达到260亿元，理由如下： 亿元， ∵， ∴预计九月份该经济开发区工业产值不能达到260亿元． 22．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设与轴交于点，过点作于点， ∵平分， ， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 在中，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴． 23．【详解】（1）解：设， ∵由图象可知经过点； ∴， 解得：， ∴， ∵的顶点坐标为，且经过， ∴设， 故可得：， 解得：， ∴； （2）解：设投资产品的金额为万元，则投资产品的金额为万元，总利润万元， 则 ， ∵，且， ∴当时，所获总利润最大， 即产品投万元，产品投万元时，利润最大为万元； （3）解：产品投资金额不高于万元， ∴，即， 又∵投资金额不能超过万元， ∴， 因此的取值范围是， 结合()的解析式：， 得，，对称轴为， ∴该函数在时，随的增大而减小， ∵，在这个区间内 随的增大而减小， ∴当时，有最大值， 即 所以此时总利润最大为万元． 24．【详解】（1）已知抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：6=16a-2， 解得：， ∴抛物线的解析式为. （2）设直线交轴点，则点的坐标， ∴. ∵， ∴. ∴. 由得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）①依题意得抛物线的解析式为. 点在抛物线上， ∴， ∴顶点的坐标为， 令，即. ∴，（舍去）， ∴点的坐标为. ②作轴于点， ∵E（2-a，0），F（a，2a-2）， ∴， ∴， 又， ∴， ∵FH//y轴， ∴∠FPO=∠PFH=22.5°， ∴∠FPO=∠EFP， ∴PD=FD， 设交轴于点，过D作DG⊥FH于G，则DG=OH， ∵∠EFH=45°， ∴， ∵∠FEH=45°，a>2, ∴OD=OE=a-2， ∴PD=a-2-=， ∵HO=a， ∴， ∴，（舍去）， ∴. 25．【详解】（1）解：①两组方程二次项系数均为1，一次项系数为2和，常数项均为0，符合定义，标记为√； ②两组方程常数项分别为4和，不相等，不符合定义，标记为×； ③两组方程二次项系数均为1，一次项系数为3和，常数项均为，符合定义，标记为√． （2）解：①∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根， ∴ ， 解得或， ∵一元二次方程二次项系数， ∴， ∴； ②∵，方程的“师梅方程”为方程， ∴，即， ∴当方程的时， 师梅方程的， 且方程与的根互为相反数， ∴． （3）解：∵， ∴该方程化为：， 该方程的“师梅方程”为：， 设两个方程的公共根为， 则有及， 两式相减得：， ∴或． 若， 则两个方程均为， 此时两个方程有两个公共根，不符题意， 故； 若，将其代入方程中， 解得：， 经验证，符合题意， ∴． $