学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（湖南专用，范围：新教材湘教版九上第1～2章）

**基本信息** 聚焦湘教版九年级上册第1~2章，以三角函数、相似三角形为核心，通过刷脸支付仪、悬壁长城等真实情境，分层考查数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）与语言（模型意识），适配月考学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|锐角三角函数、比例线段、平行线分线段成比例|基础概念辨析，如第4题解直角三角形| |填空题|6/18|相似判定、比例性质、解直角三角形应用|第15题刷脸支付仪高度计算，体现模型意识| |解答题|8/72|旋转位似作图、相似证明、悬壁长城测量、矩形翻折探究|第23题结合文化遗产测量，第24题动态几何探究，梯度覆盖基础到创新应用|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.A][B][C][D] 10.A[B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.IA][B1[C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11. 12. 13. 44 15 16. 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第 21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分.) 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(8分) 20.(8分) 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) D B 22.(10分) G D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) A E F G D B 图1 图2 24.(12分) 图(1) 图(2) (备用图) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 3 4 U 6 7 6 10 C B B B & B C D D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） AB 11.AC 12.-5 3 13.2 14.直角三角形 15.139.5cm 125 16.39 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第 21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(6分)【详解】(1)解：3tan30°-tan45°+2sin60°+2cos60° =3x5-1+2x5 1 3 2x2 (2分) =V3-1+V3+1 =2√5 (3分) 1/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解： -m+2nw-5-j+ =-1+2×3+1+4 2 (5分) =-1+1+1+4 =5. (6分) 18.(6分)【详解】(1)如图所示，△4BC即为所求： (3分) (2)如图所示， △A,B,C即为所求： VA (6分) 19.(8分)【详解】(1)证明：，∠BAC=∠DAE=90°， ∴，∠BAD=∠EAC. AB AC 又：ADAE· .△ABD~△ACE (3分) (2)解：：△ABD~△ACE, .∠B=∠ACE .∠B+∠BCA=90° ∴.∠ACE+∠BCA=90° .∠BCE=90° :在RtAABC中，AC=6,AB=8, 2/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 BC=AC2+4B8=10 ,BD=4, .DC=BC-BD=10-4=6 ,△ABD△ACE, AB BD AC CE' 84 ∴6CE .CE=3 六在RtADEC中，an∠EDC=EC=3_1 DC62: 、.tan∠EDC=5 (8分) 20.(8分)【详解】(1)解：如图，过点B作BE⊥AC于点E, D 由题意知，BD⊥CD,AC⊥CD, ∴四边形BECD是矩形， .BD=CE=0.2米， AE=AC-CE=0.6米. ∠ABE=37°， ..AB=AE sin370=1米. (4分) (2)解：如图，过点V作NF⊥MO的延长线于点F, 3/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B D .FN∥EB ·∠ABE=37°， .∠ONF=37° ∴.0F=0Nsin37°=0.42米，FN=ON.cos37°=0.56米， :MF=OF+OM=OF+ON=1.12米， :MN=FN2+MF2≈1.3米 (8分) 21.(10分)【详解】(1)解：AF⊥BC,AF=3,BF=1, 4B=VAF2+BF=10 ,点E是AB的中点， ∴，在Rt△ABF中， EF-14B-10 2 2. (4分) (2)解：如图，延长FE交DA的延长线于点G,连接FD, G A B ,点E是AB的中点， ∴AE=BE, ,四边形ABCD是平行四边形，FC=3,BF=1, .ADI BC,AD=BC=BF+FC=4, ∴.∠G=∠BFE,∠EAG=∠B, 在△AEG和△BEF中， 4/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 「∠G=∠BFE ∠EAG=∠B AE=BE ,△AEG≌△BEF(AAS) .GE=EF= 2,AG=BF=1, .'DG=AD+AG=5, 又·AD‖BC,AF⊥BC, .AF⊥AD, :在R△ADF中，DF=VAF+AD=-5, .'.DF =DG. 又：GE=EF, .DE⊥FG(等腰三角形的三线合一)， 中，DE=DG-GE-5- W10 310 在 RtADEG 2 2； v10 tan∠ADE=GE、 2 1 DE3103 (10分) 2 22.(10分)【详解】(1)证明：，△ABC是等边三角形 AB=AC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60° DGBC ∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60° ∴，△ADG为等边三角形， ..AD=DG=AG .DE=DC ∴.AD+DC=DE+DG 5/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ..AC=GE .'AB=GE △AGE≌ADAB(SAS) (5分) (2)证明：如图， M D G .△AGE≌ADAB .AE=BD,∠E=∠ABD AD=AG,AB=AC .BG=CD .DE=DC .BG=DE ,'∠BDG=∠EDM △BDG∽△EDM BG BD ME ED BG AE ·MEBG' .BG=ME·AE. (10分) 23.(12分)【详解】解：设AG=m,FG=m,由题意知CD=200m, :AB⊥BC,CE⊥BC,DF⊥BC, ..BG DF II CE 又：CE=DF=BG, 即CEIIDF且CE=DF, 6/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .四边形CEFD为平行四边形， (4分) .CE⊥BC,即∠C=90°， ∴四边形CEFD为矩形， (6分) 同理可得四边形FGBD、四边形ECBG也为矩形， .EF=CD=200m,∠BGF=90°，∠AGF=180°-∠BGF=90°， :tan∠AEG=4G-x EG EF+FG 200+y tan∠4FG=4C=E≈0.72 FG y (8分) tan∠AEG 200+y_y-0.36_1 ∴.tan∠AFG x 200+y0.722, y 解得y≈200 x≈0.72y=144 .AB=AG+BG=x+1.5=145.5m, (12分) 24.(12分)【详解】(1)解：①：四边形ABCD为矩形， ∴.AD=BC=4,AB=CD=3,∠ABC=∠BCD=∠BAD=∠ADC=90°，ABI‖CD, 点O是BC的中点， B0=C0=号BC=2 2 根据折叠可得：OP=BO=2； (4分) ②.B0=三C0 2 BO 3 C02, ABI‖CD, .△ABO∽aFCO, AB BO 3 CFCO 2' 7/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 CF-3AB-2 3 .DF=CD+CF=3+2=5, 根据折叠可得：∠BAF=∠EAF, .ABICD, ∴，∠F=∠BAF, .∠EAF=∠F, .AE=EF, 设AE=EF=x,则DE=DF-EF=5-x, 在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD+DE2=AE2, 即4+5-x= 解得：x41 10” 即AEs4I 10: (6分) (2)解：当∠OEF=90°，点E与C重合时，△OEF为直角三角形，如图所示： B O C(E) D 根据(1)可得：AC=CF, tanZOFE-2 : 0C_2 ·CF3 设OC=2k，,则AC=CF=3k,设BO=2x, AB∥DC. 8/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠BAO=∠OFE, :an∠BA0=OB2 AB3 .AB=3x, .CD=AB=3x,AD=BC=BO+OC=2x+2k, 在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2, 即(3)=(3x+(2k+2x 整理得：13x2+8c-5k2=0, 解得：x= 数或=k《合去)， 13 AB 3x5k 13 5 BC 2x5k+2k 12, 13 .AB=5BC 12 (8分) 当∠EOF=90°，如图所示： :tan∠OFE= 3 0C2 CF 3 设OC=2k,则AC=CF=3k,设B0=2x, :AB∥DC, .∠BAO=∠OFE. 9/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :tan∠BA0=OB2 AB 3' .'AB=3x, 根据(1)可得：AE=EF, .∠E0F=90°， .EO⊥AF, ..AO=OF, .∠BAO=∠OFC,∠AOB=∠COF, △AOE≌AFOC(ASA) .'.OB=OC, .2k=2x, ..x=k, .AB=3x=3k,BC=OB+OC=2x+2k=2k+2k=4k, AB 3k 3 …BC4k4? &B-C, 踪上，AB=BC或AB=BC. 12 4 (12分) 10110………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材湘教版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．若，且为锐角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．下面四组线段中，成比例的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 5．已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 6．如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（     ） A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．3:2 7．某班的同学想测量一教楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为米，它的坡度：，在离点米的处，测得教楼顶端的仰角为，则一教楼的高度约为（     ）米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） A． B． C． D． 8．在中，，则是（     ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 9．如图，将一张矩形纸片沿折叠，B点恰好落在边上，设此点为F，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 10．如图，正方形中，点F是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，P是上的一点，连接．当________时，． 12．如果，那么______． 13．已知为锐角，若，则________． 14．在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 15．如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长，支撑板长，水平托板离地面的高度为，，，已知摄像头在点A处，支撑点B是的中点，如图2，则摄像头（点A）离地面的高度h是______（精确到，参考数据：，） 16．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，将△沿着折叠得到△，与相交于点，则的长是________． 三﹑解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1)． (2)． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)在坐标系中画出绕点顺时针旋转后的图形； (2)以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在坐标系中画出． 19．如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： (1)． (2)若，求的值． 20．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由O位置运动到与底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)若米，求M、N两点的距离．（结果精确到0.1米） 21．如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 22．已知，如图，是等边三角形，过边上的点D作，交于点G，在的延长线上取点E，使，连接． (1)求证： (2)延长交于点M，求证：． 23．位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 24．【问题情境】 在矩形中，点为线段上一点，连接，将沿所在的直线翻折，得到，延长交线段边于点，射线与射线交于点，如图（1）． (1)【问题解决】若，． ①当点是的中点时，求的长； ②当时，求的长； (2)【问题探究】连接，如图（2）．若为直角三角形，且满足，试探究线段与线段的数量关系． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11._______________ 15. ______________ 12. ___________ 16. ___________ 13. _________________ 14. ________________ 3、 解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分．） 17.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（8分） 20．（8分） 21．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材湘教版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．若，且为锐角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，根据特殊角的三角函数值，直接比较的值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， 故选：． 2．下面四组线段中，成比例的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，比例的基本性质，利用比例的基本性质判断比例线段是解题的关键． 通过计算每组线段的比例关系，判断是否满足或其它等价形式，只有选项B满足比例关系． 【详解】∵ 对于选项B：，，，， ∴，， ∴， 故选项成比例， 对于其他选项： 选项A：，，不相等； 选项C：，，不相等； 选项D：，，不相等， 故选：B． 3．如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握比例的运算，平行线分线段成比例的知识是解题的关键． 根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：由题意，，， ， ，， ，即 ， 故选：． 4．如图，在中，，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，理解余弦的定义是解题的关键．利用勾股定理求得的长度，然后利用余弦的定义即可求得答案． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：B． 5．已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，代入所求代数式并化简即可． 【详解】解：设，则， ∴． 6．如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（     ） A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．3:2 【答案】B 【详解】四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． 7．某班的同学想测量一教楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为米，它的坡度：，在离点米的处，测得教楼顶端的仰角为，则一教楼的高度约为（     ）米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交直线于点， 在中利用坡度的定义求得的长，则即可求得，然后在直角中利用三角函数求得的长，进而求得的长. 【详解】延长交直线于点， ∵在中， ， ∴设， 则， 又∵， ∴， ， ∵， ， 在中， ， (米)， ∵， ∴(米). 8．在中，，则是（     ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】由非负数的性质求得，，利用特殊角的三角函数值求得，，进而可得是等边三角形． 【详解】解：由得，， 解得，， ∴，， ∴，则， 所以是等边三角形． 9．如图，将一张矩形纸片沿折叠，B点恰好落在边上，设此点为F，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件设，则，根据矩形的性质及折叠的性质得出，再由勾股定理确定，根据正切函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴． 10．如图，正方形中，点F是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据正方形的性质得，，可知，可判断①正确；利用，，可知，则②正确；利用，得，且，可知③正确；延长交于，由，得，可判断④正确，进而可得答案． 【详解】解：四边形与四边形都是正方形， ，，，， ，，， ，故①正确； ，， ， ， ， ，故②正确； ，， ， ， ，又， ，故③正确， 如图，延长交于， ， ， ， ，故④正确； 正确的是①②③④，共4个． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，P是上的一点，连接．当________时，． 【答案】 【分析】本题考查的知识点为相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，根据定理找到剩下一组对应边即可。 【详解】解：若使， 根据三边对应成比例的两个三角形相似这一定理， 已知， 则需找到剩下一组对应边， 故答案为： ． 12．如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的性质，掌握比例、分式的性质的计算是解题的关键． 根据题意可得，，代入式子，运用分式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 13．已知为锐角，若，则________． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了根据特殊角的三角函数求角的度数．根据是锐角，，可以得到，由此求解即可． 【详解】解：∵是锐角，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 【答案】直角三角形 【分析】由非负数的性质求出和的值，再根据三角函数值确定角和的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴，， ，， ，为锐角， ，， ， 是直角三角形． 15．如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长，支撑板长，水平托板离地面的高度为，，，已知摄像头在点A处，支撑点B是的中点，如图2，则摄像头（点A）离地面的高度h是______（精确到，参考数据：，） 【答案】 【分析】过点A、B分别作的垂线，垂足分别为F、G，过点B作于点H，则可求得的长，再证明四边形是矩形，得，，则可求得及，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点A、B分别作的垂线，垂足分别为F、G，过点B作于点H， 在中，， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，点B是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 即摄像头（点A）离地面的高度h是． 16．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，将△沿着折叠得到△，与相交于点，则的长是________． 【答案】/ 【分析】连接交于点，连接，由折叠可得，，，根据矩形性质和勾股定理可得，则，，利用，可得，所以，然后证明，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，连接交于点，连接， 由折叠可知：，，， 在矩形中，，，，， 又，， ，则，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 即的长是． 三﹑解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． （1）代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （2）分别计算有理数的乘方，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)在坐标系中画出绕点顺时针旋转后的图形； (2)以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在坐标系中画出． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2) 如图所示，即为所求； 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和位似，熟知旋转和位似的相关知识是解题的关键． （1）根据旋转方式和网格的特点找到对应点的位置，再描点，连线作图对应的图形即可； （2）把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标，再描点，连线作图对应的图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 19．如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： (1)． (2)若，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． 又∵， ∴． (2)． 【分析】本题考查了利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用三边对应成比例判定相似求解； （2）先由，可得，再证明，接着利用勾股定理求得，从而可求得，再利用相似三角形的性质列出比例式求得，然后正切的定义求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵在中，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在中，． ∴． 20．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由O位置运动到与底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)若米，求M、N两点的距离．（结果精确到0.1米） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点作于点，可得四边形为矩形，利用锐角三角函数即可求出的长； （2）过点作的延长线于点，利用锐角三角函数和勾股定理即可求出M、N两点的距离． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意知，，， 四边形是矩形， 米， 米． ， 米． （2）解：如图，过点作的延长线于点， ， ， ， 米，米， 米， 米． 21．如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （2）延长交的延长线于点，连接，先证出，再得出，进而可得，然后利用勾股定理求出的长，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴在中，． （2）解：如图，延长交的延长线于点，连接， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴在中，， ∴． 22．已知，如图，是等边三角形，过边上的点D作，交于点G，在的延长线上取点E，使，连接． (1)求证： (2)延长交于点M，求证：． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴为等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； (2)证明：如图， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． 【分析】（1）先证明为等边三角形，再证明，然后利用即可证明； （2）证明，再等量代换求证即可． 【详解】（1）略 （2）略 23．位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【分析】设，，证明四边形、四边形为矩形，根据、列方程求解即可． 【详解】解：设，，由题意知， ∵，，， ∴， 又∵， 即且， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为矩形， 同理可得四边形、四边形也为矩形， ∴，，， ∴， ， ∴， 解得， ∴， ∴． 24．【问题情境】 在矩形中，点为线段上一点，连接，将沿所在的直线翻折，得到，延长交线段边于点，射线与射线交于点，如图（1）． (1)【问题解决】若，． ①当点是的中点时，求的长； ②当时，求的长； (2)【问题探究】连接，如图（2）．若为直角三角形，且满足，试探究线段与线段的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①根据折叠的性质，直接得出答案即可； ②证明，得出，求出，证明，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）分两种情况：当，当，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形为矩形， ∴，，，， ∵点O是的中点， ∴， 根据折叠可得：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； （2）解：当，点E与C重合时，为直角三角形，如图所示： 根据（1）可得：， ∵， ∴， 设，则，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 即， 整理得：， 解得：或（舍去）， ， ∴； 当，如图所示： ∵， ∴， 设，则，设， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上，或． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材湘教版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．若，且为锐角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．下面四组线段中，成比例的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 5．已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 6．如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（     ） A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．3:2 7．某班的同学想测量一教楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为米，它的坡度：，在离点米的处，测得教楼顶端的仰角为，则一教楼的高度约为（     ）米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） A． B． C． D． 8．在中，，则是（     ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 9．如图，将一张矩形纸片沿折叠，B点恰好落在边上，设此点为F，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 10．如图，正方形中，点F是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，P是上的一点，连接．当________时，． 12．如果，那么______． 13．已知为锐角，若，则________． 14．在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 15．如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长，支撑板长，水平托板离地面的高度为，，，已知摄像头在点A处，支撑点B是的中点，如图2，则摄像头（点A）离地面的高度h是______（精确到，参考数据：，） 16．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，将△沿着折叠得到△，与相交于点，则的长是________． 三﹑解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1)． (2)． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)在坐标系中画出绕点顺时针旋转后的图形； (2)以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在坐标系中画出． 19．如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： (1)． (2)若，求的值． 20．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由O位置运动到与底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)若米，求M、N两点的距离．（结果精确到0.1米） 21．如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 22．已知，如图，是等边三角形，过边上的点D作，交于点G，在的延长线上取点E，使，连接． (1)求证： (2)延长交于点M，求证：． 23．位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 24．【问题情境】 在矩形中，点为线段上一点，连接，将沿所在的直线翻折，得到，延长交线段边于点，射线与射线交于点，如图（1）． (1)【问题解决】若，． ①当点是的中点时，求的长； ②当时，求的长； (2)【问题探究】连接，如图（2）．若为直角三角形，且满足，试探究线段与线段的数量关系． / 学科网（北京）股份有限公司 $