1.6 有理数的乘方 课时作业 2026-2027学年沪科版数学 七年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，覆盖乘方的意义、乘方运算、有理数混合运算、科学记数法。以“基础巩固-能力提升-拓展探究-易错专练”分层，通过概念辨析、运算训练、规律探究与错误纠正，构建从单一到综合的知识巩固路径，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|乘方意义、符号法则、混合运算顺序、科学记数法|选择/填空/解答题，聚焦概念辨析与基础运算，如乘方底数指数判断、简单混合运算| |能力提升|含字母运算、新定义运算、非负性应用|结合倒数相反数等知识的综合题，如新运算“⊗”的应用，培养推理意识| |拓展探究|幂的规律探究、阅读理解题|观察2ⁿ个位数字规律、错位相减法求和，发展创新意识| |易错专练|乘方符号错误、运算顺序混淆|纠错改错题，如小马同学解题过程分析，强化运算规范性|

沪科版 · 七年级数学上册 · 1.6 有理数的乘方 课时作业 第1章　有理数 1.6　有理数的乘方 课时作业（含知识点梳理 · 典例精析 · 分层练习 · 答案解析） 班级：__________　姓名：__________　学号：__________　得分：__________ 建议用时：45分钟　　内容：乘方的意义 · 乘方运算 · 有理数混合运算 · 科学记数法 【课时学习目标】 1．理解乘方的意义，能正确说出幂、底数、指数，会读、写乘方式子． 2．掌握有理数乘方的符号法则，能熟练进行有理数的乘方运算． 3．掌握有理数混合运算的顺序，能灵活运用运算律简化计算． 4．会用科学记数法表示绝对值大于10的数，能由科学记数法还原原数． 一、知识点梳理 知识点1　乘方的意义 求 个相同因数 的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．即 （ 个 ）． 在 中， 叫做底数， 叫做指数， 读作“ 的 次方”，也可读作“ 的 次幂”． 特别地， 也读作“ 的平方”， 也读作“ 的立方”；一个数可以看作这个数本身的一次方，如 ，指数 1 通常省略不写． 易错提醒：底数是负数或分数时，必须加括号 ① 的底数是 ，表示 4 个 相乘，； ② 的底数是 3，表示 3 的四次方的相反数，； ③ 的底数是 ，；而 的底数是 2，． 知识点2　乘方的符号法则 ① 正数的任何次幂都是正数； ② 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ③ 0 的任何正整数次幂都是 0． 常用结论：，；互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数，即 ，． 非负性：任何有理数的平方都是非负数，即 ．若 ，则 且 ． 知识点3　有理数的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右依次进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 在运算过程中要注意：① 先确定符号，再计算绝对值；② 能用运算律（交换律、结合律、分配律）简化计算的要灵活运用；③ 除法可转化为乘法，带分数一般化为假分数，小数一般化为分数． 知识点4　科学记数法 把一个绝对值大于 10 的数表示成 的形式（其中 ， 是正整数），这种记数方法叫做科学记数法． 确定 的方法： 等于原数的整数位数减 1．例如 有 7 位整数，所以 ． 由科学记数法还原原数：把 的小数点向右移动 位，位数不够时用 0 补足．例如 ． 二、典例精析 例1　指出下列各式的底数与指数，并计算结果： （1）；　（2）；　（3）；　（4）． 【分析】先看清乘方运算作用在哪个数上：括号外的指数作用于整个括号内的数；没有括号时，指数只作用于紧挨着它的那个数． 【解答】 （1）底数是 ，指数是 4，； （2）底数是 3，指数是 4，； （3）底数是 ，指数是 3，； （4）底数是 2，指数是 3，． 【点评】负数、分数作底数时一定要加括号．书写时 与 意义完全不同，不能混淆． 例2　计算：（1）；　（2）． 【分析】（1）直接用 的奇次幂、偶次幂结论；（2）先算乘方，再按从左到右的顺序做乘除，并先确定结果的符号． 【解答】 （1）原式 ． （2）原式 ． 【点评】 可先把 化为 ，再计算得 ，这样便于做除法运算． 例3　计算： （1）； （2）； （3）． 【解答】 （1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 【点评】第（2）题先算出 ，再利用乘法分配律，可避免通分，使计算更简便；第（3）题要注意 ，而不是 1． 例4　若 ，求 的值． 【分析】绝对值和平方都是非负数，两个非负数的和为 0，则这两个数都等于 0． 【解答】因为 ，，且 ， 所以 ，，即 ，． 所以 ． 例5　用科学记数法表示下列各数：（1）；（2）．并写出 表示的原数． 【解答】（1）；（2）；． 【点评】用科学记数法表示负数时，先把负号写在前面，再对其绝对值用科学记数法表示； 必须满足 ，如写成 就是错误的． 例6　观察：，，，，，，，，…，求 的个位数字． 【分析】观察幂的个位数字的变化规律：2，4，8，6，2，4，8，6，…，每 4 个数为一个循环． 【解答】因为 ，所以 的个位数字与 的个位数字相同，是 2． 三、基础巩固 （一）选择题 1．在 中，下列说法正确的是（　　） A．底数是 2，指数是 3 B．底数是 ，指数是 3 C．底数是 3，指数是 D．底数是 ，幂是 2．下列各组数中，相等的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 3．计算 的结果是（　　） A． B．1 C． D．2026 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．下列各数中，是负数的是（　　） A． B． C． D． 6．某地区今年参加中考的学生约有 86 000 人，数据 86 000 用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 7．若 为任意有理数，则下列式子一定成立的是（　　） A． B． C． D． 8．用科学记数法表示的数 ，它的原数是（　　） A．150 000 B．1 500 000 C．15 000 000 D．15 000 （二）填空题 9． 中，底数是________，指数是________，结果是________． 10．计算：________；________；________． 11．平方等于 16 的数是________；立方等于 的数是________． 12．用科学记数法表示：________；________． 13．若 ，则 ________． 14．比较大小（填“”“”或“”）：____；____；____． 15．一个数的立方等于它本身，这个数是________． 16．某种细菌在培养过程中，每过 30 分钟由 1 个分裂成 2 个（如图）．经过 3 小时，1 个这种细菌可以分裂成________个． （第16题图） （三）解答题 17．计算： （1）；　　　　　　　（2）； （3）；　　（4）． 18．计算： （1）；　　　（2）； （3）；　　（4）． 19．用科学记数法表示下列各数： （1）地球到太阳的平均距离约为 150 000 000 km； （2）一年大约有 31 536 000 秒； （3）． 20．写出下列用科学记数法表示的数的原数： （1）；　　（2）；　　（3）． 四、能力提升 21．若 ，，且 ，则 的值为（　　） A． B． C．5 或 D． 或 1 22．已知 为正整数，则 的值为（　　） A．2 B． C．0 D．1 23．若 ， 互为倒数，， 互为相反数，则 ________． 24．观察：，，，，，，…，则 的个位数字是________． 25．把一张厚度为 0.1 mm 的纸对折，对折 1 次后厚度为 mm，对折 2 次后厚度为 mm……（如图）． （第25题图） （1）对折 3 次后，纸的厚度是多少毫米？ （2）对折 10 次后，纸的厚度是多少毫米？ （3）假设这张纸足够大，能对折 20 次，那么对折后的厚度是多少米？（已知 ） 26．已知 ，，且 ，求 的值． 27．定义一种新运算“”：．例如 ． （1）求 的值； （2）求 的值． 五、拓展探究 28．观察下列等式： ；　；　；　；　…… （1）根据规律填空：________； （2）猜想：； （3）利用规律计算：． 29．阅读材料：求 的值． 解：设 ，① 将等式两边同时乘 2，得 ，② ②①，得 ，即 ． 请你仿照此法，计算 的值（结果可以保留乘方形式）． 六、易错专练 30．下面是小马同学的计算过程，请指出他的错误，并写出正确的解答过程． 计算：． 小马的解法：原式 ． 31．判断下列计算是否正确，错误的请改正． （1）（　　）；　　　（2）（　　）； （3）（　　）；　　　（4）（　　）； （5）（　　）；　（6）（　　）． 参考答案及解析 三、基础巩固 1．【答案】B 【解析】 表示 3 个 相乘，底数是 ，指数是 3，幂是 ，故选 B． 2．【答案】C 【解析】A 中 ，；B 中 ，；C 中 ，，二者相等；D 中 ，．故选 C． 3．【答案】B 【解析】 的偶次幂是 1，2026 是偶数，所以 ． 4．【答案】B 【解析】，，，只有 正确． 5．【答案】C 【解析】，，，，所以只有 C 是负数． 6．【答案】B 【解析】86 000 是 5 位整数，，，所以 ．A、D 中 的范围不符合要求，C 中指数错误． 7．【答案】B 【解析】当 时，A、D 不成立；，当 时 C 不成立；互为相反数的两个数的偶次幂相等，B 一定成立． 8．【答案】B 【解析】把 1.5 的小数点向右移动 6 位，得 1 500 000． （二）填空题 9．【答案】；2； 【解析】括号内的整体 是底数，． 10．【答案】；； 【解析】 的底数是 1，，所以 ；． 11．【答案】； 【解析】因为 ，，所以平方等于 16 的数有两个：4 和 ；因为 ，所以立方等于 的数是 ． 12．【答案】； 【解析】 有 7 位整数，； 的绝对值有 5 位整数，． 13．【答案】1 【解析】由非负性得 ，，所以 ，，，． 14．【答案】；； 【解析】；；，，因为 ，所以 ． 15．【答案】0，1， 【解析】，，，其他数的立方都不等于它本身． 16．【答案】64 【解析】3 小时 分钟，，即分裂了 6 次，所以细菌个数为 ． （三）解答题 17．【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． 18．【答案】（1）；（2）13；（3）29；（4） 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． 19．【答案】（1） km；（2） 秒；（3） 【解析】150 000 000 有 9 位整数，；31 536 000 有 8 位整数，；4 050 000 有 7 位整数，，再添上负号． 20．【答案】（1）700 000；（2）36 000 000；（3） 【解析】将 的小数点向右移动 位即可，位数不够时用 0 补足；负数保持负号不变． 四、能力提升 21．【答案】B 【解析】由 得 ，由 得 ．因为 ，所以 ， 异号．当 ， 时，；当 ， 时，．故 ． 22．【答案】C 【解析】 是偶数， 是奇数，所以原式 ． 23．【答案】 【解析】由题意 ，，所以原式 ． 24．【答案】9 【解析】3 的幂的个位数字依次为 3，9，7，1，每 4 个一循环．，所以 的个位数字与 相同，是 9． 25．【答案】（1）0.8 mm；（2）102.4 mm；（3）104.857 6 m 【解析】对折 次后纸有 层，厚度为 mm． （1）（mm）． （2）（mm）． （3）（mm）， mm m，大约相当于 35 层楼的高度． 26．【答案】 或 【解析】由 得 ；由 得 ．因为 ，所以 ， 或 ． 当 ， 时，； 当 ， 时，． 27．【答案】（1）5；（2）19 【解析】（1）． （2），所以 ． 五、拓展探究 28．【答案】（1）15；225；（2）；（3）41 075 【解析】（1）观察可知，等式右边底数依次为 1，，，，所以 ． （2）． （3）． 29．【答案】（即 88 573） 【解析】设 ，① 两边同时乘 3，得 ，② ②①，得 ，即 ，所以 ． 因为 ，所以 ． 六、易错专练 30．【答案】见解析 【解析】错误有两处：① 表示 的相反数，应等于 ，而不是 4；② 乘除是同级运算，应从左到右依次计算，不能先算后面的乘法． 正确解答：原式 ． 31．【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）√；（6）× 【解析】（1）；（2），不能用底数乘指数；（3）应先算乘方，； （4），正确；（5）123 000 有 6 位整数，，正确； （6），原计算符号错误． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $