1.5 有理数的乘除 课时作业 2026-2027学年沪科版数学 七年级上册

**基本信息** 初中数学七年级上册沪科版“1.5有理数的乘除”同步练，以“基础巩固-能力提升-易错辨析”分层设计，通过梯度化题型与情境应用，强化运算能力与推理意识，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点（乘法法则、倒数、除法转化）|直接计算（如(-3)×5）、概念填空（倒数定义），夯实运算基础| |能力提升|综合应用（绝对值与乘除、数轴符号判断）|分类讨论（|a|=3，|b|=4求a×b）、实际问题（潜水员下潜），培养推理意识| |易错辨析|易混点（0的倒数、符号判断）|判断题（“两数相乘积一定大于因数”）、纠错题（乘除混合运算错误），强化严谨思维|

1.5 有理数的乘除 课时作业 沪科版七年级数学（上册） 第1章 有理数 班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿ 得分＿＿＿＿＿ 一、知识点梳理 知识点1 有理数的乘法法则 1．法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2．特例：任何数与 0 相乘，都得 0，即 a×0＝0。 3．意义：(-2)×3 表示 3 个 (-2) 相加，即 (-2)＋(-2)＋(-2)＝-6。在数轴上，相当于从原点出发连续向左移动 3 次，每次 2 个单位长度。 图1 (-2)×3＝-6 的数轴解释：从 0 出发，连续 3 次向左移动 2 个单位长度 两个因数的符号 积的符号 举例 正 × 正 正 5×3＝15 负 × 负 正 (-5)×(-3)＝15 正 × 负（或负 × 正） 负 (-5)×3＝-15 任何数 × 0 积为 0 (-5)×0＝0 知识点2 倒数 1．定义：乘积是 1 的两个数互为倒数。例如 3 与 互为倒数，- 与 - 互为倒数。 2．一般地，a（a 不等于 0）的倒数是 ；0 没有倒数。 3．求分数的倒数只需把分子、分母交换位置；求带负号的数的倒数，符号保持不变（正数的倒数是正数，负数的倒数是负数）。 4．1 的倒数是 1，-1 的倒数是 -1，它们是仅有的两个“倒数等于自身”的数。 知识点3 多个有理数相乘与乘法运算律 1．符号规律：几个都不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定——负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负。 2．几个数相乘，只要有一个因数为 0，积就等于 0。 3．乘法交换律：a×b＝b×a；　乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法对加法的分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c。 知识点4 有理数的除法法则 1．法则一（转化法）：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 a÷b＝a×（b 不等于 0）。 2．法则二（直接法）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 3．0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0；0 不能作除数。 4．乘除混合运算：先把除法统一成乘法，再按“先定符号、后算绝对值”的顺序计算；也可以按从左到右的顺序依次计算。 ★易错点：① 除数是分数时用“乘倒数”更方便，除数是整数时用“直接相除”更快；② 0 没有倒数，0 也不能作除数；③ 判断多个数相乘的符号时，只数负因数的个数，与因数的大小无关；④ 使用分配律时，括号内每一项都要与括号外的数相乘，符号不能丢。 二、基础巩固 （一）选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．计算 (-3)×5 的结果是（　　） A．-15　　　B．15　　　C．-8　　　D．8 2．计算 (-6)×(-4) 的结果是（　　） A．-24　　　B．24　　　C．-10　　　D．10 3．- 的倒数是（　　） A．　　　　B．-　　　　C．　　　　D．- 4．下列计算中正确的是（　　） A．(-2)×(-3)＝6　　B．(-2)×3＝6　　C．(-6)÷(-2)＝-3　　D．0÷(-5)＝-5 5．计算 (-12)÷(-3) 的结果是（　　） A．-4　　　　B．4　　　　C．-36　　　　D．36 6．若 a×b＝0，则下列结论正确的是（　　） A．a＝0　　B．b＝0　　C．a＝0 且 b＝0　　D．a＝0 或 b＝0 7．计算 (-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5) 的结果是（　　） A．120　　　B．-120　　　C．15　　　D．-15 8．计算 (-)×(-8) 的结果是（　　） A．6　　　　B．-6　　　　C．　　　　D．- 9．若一个数的倒数是 -2，则这个数是（　　） A．2　　　　B．-2　　　　C．　　　　D．- 10．用分配律计算 (-24)×(-＋)，结果是（　　） A．6　　　　B．-6　　　　C．10　　　　D．-10 （二）填空题（每小题 3 分，共 30 分） 11．(-5)×3＝＿＿＿＿；(-5)×(-3)＝＿＿＿＿；(-5)×0＝＿＿＿＿；0÷(-5)＝＿＿＿＿。 12．- 的倒数是＿＿＿＿，1 的倒数是＿＿＿＿，-1 的倒数是＿＿＿＿，0＿＿＿＿倒数（填“有”或“没有”）。 13．两数相乘，同号得＿＿＿＿，异号得＿＿＿＿，并把绝对值＿＿＿＿。 14．(-36)÷9＝＿＿＿＿；(-36)÷(-)＝＿＿＿＿。 15．若 a、b 互为倒数，则 a×b＝＿＿＿＿；若 a、b 互为相反数，则 a＋b＝＿＿＿＿。 16．计算：(-2)×3×(-4)＝＿＿＿＿。 17．已知 |a|＝6，|b|＝2，且 a＜0＜b，则 a×b＝＿＿＿＿，a÷b＝＿＿＿＿。 18．计算：×(-)＝＿＿＿＿。 19．除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的＿＿＿＿＿＿，用式子表示为 a÷b＝a×＿＿＿＿（b 不等于 0）。 20．五个都不等于 0 的数相乘，积是负数，那么这五个数中负因数的个数可能是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （三）解答题（共 40 分） 21．（12 分）计算： （1）(-7)×8；　　　　（2）(-9)×(-6)；　　　　（3）(-)×； （4）(-1.2)×(-5)；　　（5）(-56)÷(-8)；　　　（6）(-)÷。 22．（8 分）用简便方法计算： （1）(-25)×17×(-4)；　　　　（2）(-＋)×(-24)； （3）15×(-＋-)；　　（4）(-4)×7×(-25)×(-)。 23．（8 分）计算（乘除混合运算）： （1）(-36)÷4×(-2)；　　　　（2）(-)÷×(-2)； （3）(-12)×÷(-2)；　　　（4）-1.5÷(-0.5)×(-3)。 24．（6 分）某商场在“五一”期间连续 5 天促销，5 天的盈亏总额为 -2000 元（盈利记为正，亏损记为负）。 （1）平均每天盈亏多少元？（2）如果按这样的平均值计算，30 天将亏损多少元？ 25．（6 分）在一定的高度范围内，海拔每升高 100 m，气温大约下降 0.6 ℃。已知某山山脚的气温是 8 ℃，这座山的高度是 2000 m。 （1）从山脚到山顶，气温大约下降了多少摄氏度？（2）山顶的气温大约是多少摄氏度？ 三、能力提升 26．（8 分）已知 |a|＝3，|b|＝4，求 a×b 的所有可能的值。 27．（6 分）用简便方法计算：(-13)×＋(-13)×，并说明你运用了哪一条运算律。 28．（8 分）如图，有理数 a、b、c 在数轴上的位置如下： （1）判断 a、b、c 的正负；（2）判断 a×b、a×c、b×c、a÷b 的符号（填“正”或“负”），并简要说明理由。 29．（6 分）已知 a 与 b 互为相反数，c 与 d 互为倒数，求 (a＋b)×3＋c×d 的值。 30．（6 分）某潜水员从水面开始下潜，每分钟下潜 3 m（下潜记为负）。 （1）4 分钟后潜水员位于水面下多少米？用算式表示；（2）若他要到达水面下 45 m 处，需要下潜多少分钟？ 四、易错辨析专练 判断下列各题的说法是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”。 31．两个数相乘，积一定大于其中的每一个因数。（　　） 32．若 a×b＞0，则 a、b 同号。（　　） 33．0 没有倒数。（　　） 34．一个数的倒数一定小于这个数本身。（　　） 35．若 a÷b＝0（b 不等于 0），则 a＝0。（　　） 36．互为倒数的两个数的积是 1，互为相反数的两个数的和是 0。（　　） 37．(-2)×(-3)×(-4) 的结果小于 0。（　　） 38．除以一个数，等于乘这个数的倒数。（　　） 39．（6 分）小明计算 (-2)×(-3)÷(-) 时，写成 6÷(-)＝-1。请你指出他的错误，并写出正确的解答过程。 五、参考答案与解析 （一）选择题 1．A　解析：异号两数相乘得负，再把绝对值相乘：3×5＝15，所以结果是 -15。故选 A。 2．B　解析：同号两数相乘得正，6×4＝24，所以结果是 24。故选 B。 3．B　解析：求分数的倒数只需把分子与分母交换位置，符号不变，所以 - 的倒数是 -。注意不要与相反数混淆。故选 B。 4．A　解析：B 中异号相乘应得负，(-2)×3＝-6；C 中同号相除应得正，(-6)÷(-2)＝3；D 中 0 除以任何非零数都得 0，0÷(-5)＝0；只有 A 正确。故选 A。 5．B　解析：两数相除同号得正，12÷3＝4，所以结果是 4。故选 B。 6．D　解析：几个数相乘，只要有一个因数为 0，积就为 0；反过来，积为 0 时至少有一个因数为 0，但不一定两个都为 0。故选 D。 7．B　解析：负因数共有 5 个，是奇数，所以积为负；再把绝对值相乘：1×2×3×4×5＝120，故结果为 -120。故选 B。 8．A　解析：同号两数相乘得正，×8＝6，所以结果是 6。故选 A。 9．D　解析：设这个数为 a，则 a×(-2)＝1，所以 a＝-。也可以直接说：-2 的倒数是 -。故选 D。 10．A　解析：由分配律得 (-24)×＋(-24)×(-)＋(-24)×＝-8＋18-4＝6。注意括号内第二项前面是“-”号，与 -24 相乘后变为 ＋18。故选 A。 （二）填空题 11．-15；15；0；0　解析：前两式按“同号得正、异号得负”判断符号；任何数与 0 相乘都得 0；0 除以非零数也得 0。 12．-；1；-1；没有　解析：负数的倒数仍是负数；1 与 -1 的倒数都等于它们本身；0 与任何数相乘都不可能得 1，所以 0 没有倒数。 13．正；负；相乘　解析：这是有理数乘法法则，判断符号在先，计算绝对值在后。 14．-4；72　解析：(-36)÷9 异号得负，36÷9＝4，结果为 -4；(-36)÷(-)＝(-36)×(-2)＝72，除以一个分数等于乘它的倒数。 15．1；0　解析：互为倒数的两数积为 1，互为相反数的两数和为 0，这两个概念不要混淆。 16．24　解析：负因数有 2 个，是偶数，积为正；再把绝对值相乘 2×3×4＝24。 17．-12；-3　解析：由条件得 a＝-6，b＝2，所以 a×b＝-12，a÷b＝-3。 18．-　解析：异号相乘得负，×＝＝（可先约分再相乘），所以结果是 -。 19．倒数；　解析：这是有理数除法法则的转化形式，使用时必须注意 b 不等于 0。 20．1 个、3 个或 5 个　解析：积为负说明负因数的个数是奇数，在 5 个因数中，奇数个数可以是 1、3、5。 （三）解答题 21．（1）(-7)×8＝-56；（2）(-9)×(-6)＝54；（3）(-)×＝-；（4）(-1.2)×(-5)＝6；（5）(-56)÷(-8)＝7；（6）(-)÷＝(-)×＝-。 解析：第（3）题异号相乘得负，先约分：3 与 9 约去 3，5 与 10 约去 5，绝对值相乘得 ，再添上负号；第（6）题先把除法转化为乘倒数，再约分，能大大简化计算。 22．（1）原式＝［(-25)×(-4)］×17＝100×17＝1700； （2）原式＝(-)×(-24)＋×(-24)＝20＋(-9)＝11； （3）原式＝15×(-)＋15×＋15×(-)＝-5＋6-1＝0； （4）原式＝［(-4)×(-25)］×［7×(-)］＝100×(-1)＝-100。 解析：（1）（4）用乘法交换律和结合律把能凑成整百的数先结合；（2）（3）用分配律把括号外的数分别与括号内各项相乘，注意每一项的符号都要参与运算。 23．（1）原式＝-9×(-2)＝18； （2）原式＝(-)××(-2)＝(-)×(-2)＝3； （3）原式＝(-4)÷(-2)＝2； （4）原式＝3×(-3)＝-9。 解析：乘除混合运算没有优先级之分，应从左到右依次进行；遇到除以分数时，先转化为乘这个分数的倒数。每一步都要先确定符号，再算绝对值。 24．（1）(-2000)÷5＝-400（元），即平均每天亏损 400 元；（2）(-400)×30＝-12000（元），即 30 天将亏损 12000 元。 解析：“平均”用除法，“照此计算若干天”用乘法。答案带负号表示亏损，作答时要把负号的实际意义说清楚。 25．（1）2000÷100＝20，气温下降 0.6×20＝12（℃）；（2）8-12＝-4（℃），即山顶气温大约是 -4 ℃。 解析：先算出 2000 m 中包含多少个 100 m，再乘每 100 m 的降温量；第（2）问用山脚气温减去下降的温度，结果为负数说明山顶气温在 0 ℃ 以下。 （四）能力提升 26．由 |a|＝3 得 a＝3 或 a＝-3；由 |b|＝4 得 b＝4 或 b＝-4。分四种情况：① 3×4＝12；② 3×(-4)＝-12；③ (-3)×4＝-12；④ (-3)×(-4)＝12。所以 a×b 的所有可能值为 12 和 -12。 解析：本题用分类讨论思想。虽然有 4 种搭配，但同号的两种结果相同、异号的两种结果相同，最终只有两个不同的值，答题时写成“12 或 -12”即可。 27．原式＝(-13)×(＋)＝(-13)×1＝-13。运用的是乘法对加法的分配律（逆用）。 解析：观察到两个乘积中有公共因数 -13，把它提到括号外，括号内两个分数恰好凑成 1，计算立刻变得非常简单。这是分配律的“逆用”，是简便运算的重要技巧。 28．（1）由图可知 a、b 都在原点左边，是负数；c 在原点右边，是正数；（2）a×b 为正，a×c 为负，b×c 为负，a÷b 为正。 理由：a、b 同号（都为负），同号两数相乘、相除都得正，所以 a×b 与 a÷b 都是正数；a 与 c 异号、b 与 c 异号，异号两数相乘得负，所以 a×c 与 b×c 都是负数。 29．因为 a 与 b 互为相反数，所以 a＋b＝0；因为 c 与 d 互为倒数，所以 c×d＝1。所以原式＝0×3＋1＝0＋1＝1。 解析：本题不需要求出 a、b、c、d 的具体值，只要用好“相反数的和为 0”“倒数的积为 1”这两条结论，就能整体代入求值。 30．（1）(-3)×4＝-12（m），即 4 分钟后潜水员位于水面下 12 m 处；（2）(-45)÷(-3)＝15（分钟），即需要下潜 15 分钟。 解析：下潜记为负，所以每分钟的变化量是 -3 m。第（1）问用“速度×时间”，第（2）问用“路程÷速度”，两个负数相除得正，结果 15 表示时间，时间必须是正数。 （五）易错辨析专练 31．×　解析：例如 5×(-2)＝-10，积比两个因数都小；又如 5×＝2.5，积也小于 5。 32．√　解析：同号得正，异号得负，所以积为正时两数必定同号（同为正或同为负）。 33．√　解析：0 与任何数相乘都得 0，永远得不到 1，所以 0 没有倒数。 34．×　解析：例如 的倒数是 2，比它本身大；1 的倒数还等于它本身。 35．√　解析：0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0；反过来，商为 0 时被除数必为 0。 36．√　解析：这正是倒数与相反数的定义，注意区分“积为 1”和“和为 0”。 37．√　解析：负因数有 3 个，是奇数，所以积为负，实际结果是 -24。 38．×　解析：必须补上条件“这个数不等于 0”，因为 0 不能作除数，0 也没有倒数。 39．小明的错误在于最后一步：除以 - 应当等于乘 - 的倒数 -6，而他误当成了除以 -6（或直接用 6÷6 得 1）。 正确解答：(-2)×(-3)÷(-)＝6÷(-)＝6×(-6)＝-36。 解析：除数是分数时，一定要先写出它的倒数再相乘。分数的绝对值越小，它的倒数的绝对值越大，所以“除以一个绝对值小于 1 的数，商的绝对值反而变大”，这一点最容易想当然出错。 （六）自我评价 本课时目标 完全掌握 基本掌握 需要加强 能熟练运用有理数乘法法则计算 理解倒数的意义，会求一个数的倒数 会判断多个数相乘时积的符号 会用乘法交换律、结合律、分配律简便运算 会把除法转化为乘法，会做乘除混合运算 ★本课时小结：乘除运算的通用口诀是“先定符号，再算绝对值”。符号看什么？两数相乘除看同号异号，多个数相乘看负因数的个数是奇是偶。除法一律可以转化为乘法，但要牢记 0 不能作除数、0 没有倒数。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $