1.6 有理数的乘方&1.7 近似数-【学海风暴】2026-2027学年七年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

1.6有理数的乘方 第1课时有理数的乘方 里点梳理 l.有理数的乘方：求n个相同因数的积的运算(a·a·a·…·a=a")叫作乘方.乘方的结果叫作暴，a叫 n个 作底数，n叫作指数。 2.有理数乘方运算的法则：求非0有理数的乘方，将其绝对值乘方，而结果的符号是正数的任意次幂都取 正号：负数的奇次暴取负号，负数的偶次暴取正号.0的任何正整数次暴都是0. 已课内基础闯关 (2(-2》"×(-2)9 知识点①有理数乘方的意义 1.对于式子（一3）6与一3，下列说法正确的是 A.它们的意义相同 B.它们的结果相等 C.它们的意义不同，结果相等 D.它们的意义不同，结果也不相等 知识点③有理数乘方运算的实际应用 知识点②有理数乘方运算的法则测 7.跨生物学学科某种细胞每分钟可由1个分 2.下列各组数中，相等的一组是 裂成4个，若开始时有1个细胞，1min后有 A.(-2)3和(-3)2 4个细胞；2min后有16个细胞，则30min C.-23和(-2)3 D.(-2)2和-22 后细胞的个数为 ( 3.(2025一2026六安金寨检测)如果|x-1|+ A.427 B.428 C.42 D.430 (y+2)2=0,那么y的值是 ( 8.(教材变式)拉面馆的师傅将1根很粗的面 A.-2 B.2 C.1 D.-1 条的两端捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸， 4把×号×号×号×号写成的形式是 反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多根 很细的面条.如图，这样第7次捏合后可拉 出 根细面条。 5.计算：(1)-43= (2)-(-5)3= 第1次捏合后第2次捏合后第3次捏合后 6.计算： 第8题图 1)(-3)×(-1)×(-1)5. 易错点混淆（一a)”与一a” 9.x是有理数，下列各式成立的是() A.(-x)2=-x2 B.(-x)3=x3 C.(-x)3=-x3 D.x4=-x4 上册第1章 23 已课外拓展提高 (2)-a2=|-a21. 10.以下是一组按规律排列的数：一2,4，一8， 16,一32，….第2025个数是 () A.-22025B.22025C.-22026D.22026 11.(2025一2026六安舒城检测)现有一根1m 长的铁丝，小明第1次萌去铁丝的}，第2 综合能力提升 16.安徽中考特色·规律探究阅读材料，解 次剪去剩下铁丝的，第3次再剪去剩下铁 决问题： 丝的，…，如此剪下去，则第2026次剪 由3=3,32=9,33=27,34=81,35=243， 35=729,37=2187,38=6561,…, 完后剩下铁丝的长度是 ( 不难发现3的正整数幂的个位数字以3,9， A.(m B() ）m 7,1为一个周期循环出现，由此可以得到： C.(m D.()m 因为310=34×25，所以310的个位数字与3 的个位数字相同，应为1： 12.跨生物学学科某种细胞开始分裂时有2 因为32026=34×506+2，所以32026的个位数字 个，1h后分裂成4个并死去1个，2h后分 与32的个位数字相同，应为9. 裂成6个并死去1个，3h后分裂成10个并 (1)请你仿照材料，7的个位数字为 死去1个，….按此规律，8h后存活的细 ,89的个位数字为 胞个数是 (2)请探索出221+71十81的个位数字. A.253B.255 C.257D.259 (3)请直接写出822-222-322的个位数字. 13.新定义题定义一种新运算“*”，规定运算 法则：m￥n=m”一mn(m,n均为整数，且 m≠0).例如，2￥3=23一2×3=2，则（一2） ￥2= 14.(2025一2026冷水江期末)已知|x|=10, |y|=3,且x+y<0,xy<0,则x3的值是 15.(教材变式)下列各式一定成立吗？若一定成 立，请说明理由；若不一定成立，请举例说明， (1)-a3=(-a)3. 424 七年级数学HK版 第2课时有理数的混合运算 要闾梳理 有理数的混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先进行括号里的运算. 已课内基础闯关 8-g--6×-名- 知识点有理数的混合运算 1.对于计算一2+18×(-3)÷（一2），下列过 (-1)2025. 程错误的是 A.-16+[18÷(-2)]×(-3) B.-16+(18÷2)×3 C.-16-54÷2 D.-16+(-54)÷(-2) 2.某同学设计了一个算式：一2□[173 (一28)3].若要使得该算式的结果最大，则 5.纠错题计算：(-1)1÷[-32×(-)-2] 应在“☐”里填入 ( A.+ B.- C.× D.÷ 3.(2025一2026芜湖南陵期中)在数学课上，老 下面是小聪的解答过程，请认真阅读并解决 师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有 下列相关问题 理数运算题，你认为做对的同学是( 甲：9-32÷8=0÷8=0. 解：原式=1÷（一9x。2)×行第一步 乙：24-4×32=24-4×6=0. =1÷(-3)×月 第二步 丙：(86-12)÷8-36×号12×号 =16. =1÷(一1)第三步 T:(-3÷3×8=9÷1=9. =-1. 第四步 (1)小聪的运算从第 步开始出现 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 错误，这一步错误的原因是 4.计算： a-3y-(-2y×÷(-2 (2)请写出正确的解答过程. (2)(-3)3+(-2)×(-8)-52÷1-51. 上册第1章 25△ 课外拓展提高 [-2.2]=-3,[5.8]=5.试求[-π]☒[4.1] 的值. 6.化简-1+1-11+号+(-1)2m+(-1) 的结果是 A.-5 B.-4C.-3 D.-2 7.口÷0.25+4×-10，方框里应该填 2 已综合能力提升 A.-1 B.0 C.1 0.2 13.运算能力【概念学习】现规定：求若干个相 8.定义一种新运算：m⊕n=m2一mn÷(m十 同的有理数（均不等于0）的商的运算叫作 n).则（一3）①2的结果为 ( 除方，类比有理数的乘方，我们把 A.-3 B.3 C.15 D.-15 a÷a÷a÷…÷a(a≠0)写作a°，读作a的 9.为了使-3-(-1)×50(-)的计算结 n个a 圈n次方. 果为一6，则“○”中应填入的运算符号是 【初步探究】(1)直接写出计算结果：5®= ( - A.+ B.- C.× D.÷ 【深入思考】有理数的除方运算如何转化为 10.(2025一2026安庆检测)在（一1）2024， 乘方运算呢？ 一12025，-33，(-2)2这四个数中，最大的 20=2÷2÷2÷2 数与最小的数的差等于 1 1 除方 =2×2×2×2 乘方暴的形式 易错点 当底数是分数或负数时，忽略 括号 1.计算：-2÷×(-月 (2)仿照上面的算式，把下列除方运算直接写 成幂的形式：（一8）⑤= ()- (3)计算：15÷(-月)×(-2)0-(-1) ÷43 12.规定任意数a,b有这样的运算规律：1☒2 =22-1×2,3☒4=42-3×4. (1)计算：-2☒3= ,-3☒ (-5)= (2)试用字母a,b表示其规律 (3)若[x]表示不大于x的最大整数，如： 426 七年级数学HK版 单元整合训练 有理数混合运算的常见题型 题型① 按照运算顺序计算 (2)(-0.4)×5×(-2.5)×(-2)×(-7). 1.计算： a(-10) 10 (2(-1.25)×9+0.25×(-). (3(-)×(-8)×(-2)×(-). (3)-2×1÷(-2)×(-2. ④员×(-号)×(-2)×(-42》 (4-1-(0.53)÷6×[-2(-3 -123-321. 题型③ 正用分配律 3.用简便方法计算： 题型②运用乘法交换律和结合律计算 1(-20×3-号+3×(-6>. 2.用简便方法计算： (1)(-8)×12×(-0.125)×(-): 上册第1章 27△ 15×(-8). (2)3×(-9)+4.1×(-9)-8.1. (2)-4 161 (3)16.8×32 +7.6×16 8)-+员×[×（日-+）× (-12)+16. 题型⑤ 除法变乘法再利用分配律 5.计算： a1日-8+3)(--8x-2月 4-动（日+号日3， (2)-1.8÷3.4-(-)×品-(-)÷ 3.4. 题型④ 逆用分配律 4.用简便方法计算： 1)(-5)×(-3)+(-7)×(-39)+12 ×(-3》. 28 七年级数学HK版 第3课时科学记数法 要闾梳理 科学记数法：一般地，绝对值大于10的数都可记成士aX10”的形式，其中1≤a<10,n是正整数，且n等 于原数的整数位数减1，这种记数方法叫作科学记数法， 已课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点①科学记数法 易错点 逆向思维求原数时出错 1.情境应用(2025一2026合肥包河区检测)据 6.已知数815550…0用科学记数法表示 报道，最新的人工智能助手DeepSeek在其 为8.1555×1010，则原数中“0”的个数 发布后的前18天内下载量达到1600万次. 为 ( 数据1600万用科学记数法表示为 ( A.4 B.6 C.7 D.10 A.1.6×10 B.1.6×10 7.科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光 C.1.6×108 D.16×10 唱片的容量约为2×10GB,一张普通唱片的 2.跨物理学科光在真空中的传播速度约为 容量约为25GB,则蓝光唱片的容量是普通唱 299792km/s.数据299792用科学记数法表 片的 倍（用科学记数法表示）。 示为 8.(教材变式)已知1天有24h,那么1天共有 3.《安徽省体育产业“十四五”发展规划》提出， s(用科学记数法表示). 到2025年，全省体育产业总规模超过 9.我国约有9.6×106km2的土地，平均1km2 2200亿元.数据2200亿用科学记数法表示 的土地一年通过太阳得到的能量相当于燃 是 烧1.5×105t煤所产生的能量. 知识点② 还原用科学记数法表示的数 (1)一年内我国土地通过太阳得到的能量相 4.某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕 当于燃烧多少吨煤？ 所革命，已经累计投资1.012×108元.数据 (2)若燃烧1t煤大约可以获得8×103kW·h 1.012×108可表示为 的电，则燃烧(1)中的煤大约可以获得多少 A.10.12亿 B.1.012亿 千瓦时的电？（用科学记数法表示） C.101.2亿 D.1012亿 5.DeepSeek是一家专注于开发先进大语言模 型和相关人工智能技术的创新型科技公司. 推出一种自然语言处理工具，其技术底座有 着多达6.71×101个模型参数.用科学记数 法表示为6.71×101时的原数1后面有 个零. 上册第1章 29△ 1.7近似数 要闾梳理 近似数：受测量工具、测量方法、测量者等因素的影响，测量的结果一般只是一个与实际数值很接近的数， 我们称此数为近似数（遵循“四舍五入”原则）. 已课内基础闯关 知识点④ 科学记数法与近似数 知识点① 近似数的定义 5.关于近似数1.08×107的精确度说法正确的 1.下列各数据中，是近似数的有 是 () ①小宇的身高是172.5cm;②黄山莲花峰的 A.精确到千分位 B.精确到万位 海拔是1864m;③小恒买笔花了4.8元； C.精确到十万位 D.精确到千位 ④海海的体重是60kg. 已课外拓展提高 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 6.用四舍五入法按要求取近似值，其中错误的 知识点②近似数的取值 是 2.(2025一2026安庆期末)已知m是一个三位 A.0.05019≈0.1（精确到0.1） 小数，用四舍五入法得到m的近似数是 B.0.05019≈0.05（精确到百分位） 1.30,则m最大是 C.0.05019≈0.050（精确到千分位） A.1.250 B.1.295 D.0.05019≈0.0501（精确到0.0001） C.1.300 D.1.304 7.(1)近似数2.32万精确到 位 (2)近似数1.231×105精确到 位 知识点③ 近似数的精确度 8.车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给 3.由四舍五入得到的近似数2048精确到了 质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！” 小王不服气地说：“图纸要求轴长精确到 A.个位B.十位 C.百位 D.千位 2.80m,一根为2.76m,另一根为2.82m, 4.(2025一2026淮南检测)下列说法错误的是 怎么不合格？” (1)图纸要求精确到2.80m,原轴的长度范 A.0.814精确到个位为1 围是多少？ B.18.04精确到0.1为18.0 (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质 C.6.4万精确到了百分位 检员故意刁难？ D.356700精确到千位为3.57×10 变式题已知近似数判断精确度→已知精 确度求近似数 (1)用四舍五入法取308.607的近似数（精 确到个位)是 (2)把5.187245按四舍五入的方法精确 到千分位的近似数为 30 七年级数学HK版14.解：(1)抽取写着一3和一5的卡片时，商最大， 最大的结果为(-5)÷（一3）=3 5 (2)抽取写着一3，十3和十4的卡片时，商最小， 最小的结果为(+4)÷(+3)÷(-3)=一9 4 1.6有理数的乘方 第1课时有理数的乘方 1.D2.C3.A4.(号) 5.(1)-64(2)125 6解：(1原式=-27×6×(-D 27 1 (2原式=(-2)×(-2)”×(-2) 1 一2 7.D【解析】由题意可得，1min后有4个细胞，2min后 有4个细胞，所以nmin后有4”个细胞，当n=30时， 细胞的个数为40. 8.128【解析】第1次捏合后可拉出2根细面条； 第2次捏合后可拉出22根细面条； 第3次捏合后可拉出2根细面条； …… 按此规律可知，第7次捏合后可拉出2根细面条，即 128根细面条. 9.C10.A 11.C【解析】第1次剪去铁丝的，剩下的铁丝长度为 1-1×号=()广m,第2次剪去剩下铁丝的子剩下 的铁经长度为受-子×-（径）m,第3次再驹去 剩下铁丝的，利下的铁丝长度为（是）°-()广× 是-(）广m,…,则第2026次剪完后剩下铁丝的 长度是()m 12.C【解析】根据题意，1h后分裂成4个并死去1个， 剩3个，3=2十1：2h后分裂成6个并死去1个，剩5 个，5=22十1：3h后分裂成10个并死去1个，剩9个， 9=22十1；…；nh后存活的细胞个数是2”十1.当n =8时，存活的细胞个数是2十1=257. 13.8【解析】因为m*n=m”一mm,所以（一2）*2= (-2)2-(一2)×2=4+4=8. 14.-1000【解析】因为|x|=10,所以x=士10.因为 |y|=3,所以y=士3.由于xy<0,所以x和y符号 相反. 分两种情况讨论：①x=10,y=一3： ②x=-10,y=3. 当x=10,y=一3时，x+y=10十（一3）=7>0，不满 足x十y<0,舍去； 当x=-10,y=3时，x十y=-10+3=-7<0,满足 条件. 综上，x3=(-10)3=-1000. 15.解：(1)-a3=(-a)3成立. 理由如下： 右边=(-a)3=(-a)·(-a)·(-a) =-(a·a·a) =-a3, 所以右边=左边.故成立 (2)-a2=|-a21不成立. 举反例：若a=-1,则左边=-（一1）2=一1， 右边=|一（一1）2|=1，左边≠右边.故不成立. 16.解：(1)32 (2)由(1)同理可得，2的正整数幂的个位数字以2,4， 8,6为一个周期循环出现.因为221=2×5+，所以221 的个位数字与2的个位数字相同，应为2. 因为71=7x5+,所以71的个位数字与7的个位数 字相同，应为7. 因为81=8×5+中，所以8的个位数字与8的个位数 字相同，应为8.因为2+7+8=17，所以21+71+8 的个位数字是7. (3)82一22-322的个位数字是1. 【解析】(1)因为7=7,72=49,73=343,7=2401,7 =16807,…, 所以7的正整数幂的个位数字以7,9,3,1为一个周 期循环出现 因为79=74×24+3，所以7的个位数字与73的个位数 字相同，应为3. 因为8=8,82=64,83=512,84=4096,85= 32768,…, 所以8的正整数幂的个位数字以8,4,2,6为一个周 期循环出现. 因为89=8×24+3，所以8的个位数字与83的个位数 字相同，应为2. 第2课时有理数的混合运算 1.C2.A3.C 3 1 4.解：1)原式=9-8×4×2 =9-3=6. (2)原式=-27+16×(-日 ）-25÷5=-27-2-5 =-34 )原式=-16-125×(-8)--1=-16+8 81 9 2-1=-11」 5.解：(1)三没有按照运算顺序计算 2-1w÷[-x(-)-2]×号 上册详解详析 =1÷(-9x日-2)× -1÷(-3x号 6.C7.C 8.B【解析】根据题意，得（一3）①2=(-3)2-2×(-3) ÷(-3+2)=9-6=3. 9.D【解析】当“O”中的运算符号为“十”时，一3 (-DX5+(一）=一智≠-61当0”中的运算符 号为-时.-3-(-1D×5-(-哥）=-≠-6： 当“○”中的运算符号为“×”时，一32一（一1）×5× (一）=-号≠-6：当0”中的运算符号为“÷“时. 3-(-1)X5÷(-)=-6,所以“0”中应填入 的运算符号是“÷” 10.31 1.解：-÷号×(-号》 9、4 =-8X4×9 =-8. 【解标】在计算（一子）广时忽略括号，误认为(-子》 12.解：(1)1510 (2)根据定义的运算规律可知a☒b=b2一ab. (3)根据题意可知[一π]=一4，[4.1]=4， 则[-π]☒[4.1]=(-4)☒4=42-(-4)×4=16 (-16)=32. 13.解：(1)1 2(-8)°(3) (3)原式=15÷(-5)×(-2）广-(-40÷4 1 =9×16-4÷4 单元整合训练 有理数混合运算的常见题型 1解：1原式=×()×是 1 =一1251 8 七年级数学HK版 2原式=×号+×（←） 101 =一7-3 37 =一2 (3)原式=-4×(-8)=4×4×8=2 (4)原式-1-日×6×[-2-(-27]-18-91 -1-25-1=-27 2.解：1)原式=[(-8)×(-0.125)]×[12×(-8)] =1×(-10) =-10. (2)原式=[(-0.4)×(-2.5)]×[5×(-2)]×(-7) =1×(-10)×(-7) =70. a原式-×8×号×氵-（品×）×（是×） 6 0原式=景×号×能×号=-（原×背）×（后× 8）=-3 3.屏：(1)原式=(-20)×(-6)×（品号+2）=120 ×(-+)=120x7-120×+120×=0 7 -100+90=60. (②)原式=40号×8=(50-6)×8=40-号 3992 )原式=-1+×号×（+）×(-12)+ -1+(合+号)×-1814 =-1+×(-12)-×-12)+×(-12)+14 6 =-1-4+3-2+14 =10. 图为宁+音日-)（动】 =(日+号日)x(-0 =-15-40+5+18 =-32, 所以原式=一32 1 4.解：1)原式=(-5-7+12)×(-39)=0×(-38) =0. (2)原式=3×（一9）+4.1×（一9）+0.9×（一9）=一9 ×(3+4.1+0.9)=-9×8=-72. (3)原式=84x2)x(6×)+7.6x6=4×号 7 7 +7.6×6=84+7.6)×6=16×6-7 7 5解：1原式-（受-+）×(-240-8×(-》 -2×(-20-8×(-20+B×(-24)+1=-36 7 +15-14+1=-34. (2)原式=-7.8×品-(-号)×品-(-）×号 =(-.8++)× =-a8x号 =-×品 =-2. 第3课时科学记数法 1.B2.2.99792×105 3.2.2×104.B5.9 6.B 7.8×103【解析】2×103=200000，则200000÷25= 8000=8×103,即蓝光唱片的容量是普通唱片的8× 103倍. 8.8.64×10【解析】由题意，得24×60×60=86400= 8.64×10°.故一天共有8.64×10s. 9.解：(1)由题意，得(9.6×10)×(1.5×10)=(9.6× 1.5)×(10×105)=1.44×102(t). 故一年内我国土地通过太阳得到的能量相当于燃烧 1.44×1012t煤. (2)由题意，得(1.44×1012)×(8×103)=(1.44×8)× (102×10)=1.152×106(kW·h). 故燃烧(1)中的煤大约可以获得1.152×10kW·h的电. 1.7近似数 1.C2.D3.A4.C变式题(1)309(2)5.187 5.C6.D 7.(1)百(2)百【解析】(1)2.32万=23200.因为小数 点后面的2在百位，所以近似数2.32万精确到百位. (2)1.231×10°=123100，原数3后面的1在百位上， 所以近似数1.231×10精确到百位. 8.解：(1)原轴的长度范围是2.795m~2.805m(含 2.795m,不含2.805m). (2)因为原轴的长度范围是2.795m~2.805m(含 2.795m,不含2.805m), 所以一根为2.76m,另一根为2.82m的轴都不符合要 求，所以小王加工的轴不合格. 章末对点导练 1.A 2.解：(1)非正数集合：-320，-3.4，-9，-1.2， 1 1 (2)非整数集合：十8.5，-32,0.3，-3.4,43， -1.2,… (3)正分数集合：+8.50.34分… 3.C 4.D【解析】因为b<0,a十b>0,所以a>一b>0,一a <0,所以一a<b<0,所以a,b,一a,一b的大小关系 为a>-b>b>-a. 5.D【解析】根据题意可得a1=-4,a2=一2，a,=0,a4 =2,a5=4,所以|a1|≠|a4|,a1十a3=-4,a2十a5=2 >0. 6.、1 -1 <-a<a<-a 【解析】假设a=分则。 2所以- 1 =2,-a=一 29 =一2，而-2 <号<2所以-<-a<a<- 7.解：(1)因为a=5,b=2,所以a=±5，b=±2. 由数轴可知a<b<0,所以a=-5,b=-2. (2)一2-(-5)=3，所以点A,B相距3个单位长度. (3)点C表示的数为-0.5或-2.75. 8.A【解析】根据题意，得第1次对折可以得到的折痕 的条数是1=2一1；第2次对折可以得到的折痕的条数 是3=22一1；第3次对折可以得到的折痕的条数是7 =23一1：….以此类推，第n次对折可以得到(2"一 1)条折痕.当n=5时，2一1=31，所以连续对折5次 后，可以得到的折痕条数是31. 9.(1)13(2)>【解析】(1)由题意，得(1101)2=1×2 +1×22+0×2+1=8+4+1=13. (2)a=(221)3=2×32+2×3+1=25, b=(10111)2=1×2+0×28+1×22+1×2+1=16 +4十2+1=23.因为25>23，所以a>b. 10.解：(1)原式=-8-3×(-1)+9÷3=-2. 519 、(2)原式=1+3×2+(6)×126 13 (3)原式=-8×+是×(-24)+日×(-24)-昌 .5 ×(-24)=-2-18-4+15=-9. 11.解：(1)由表知，4一3一5十7-8=-5（碗）， 所以前五天共卖出100×5十（一5）=495（碗）牛肉汤. (2)达到了计划销售总量 上册详解详析 9