2.2.3 直线的一般式方程讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦直线的一般式方程核心知识点，从定义（二元一次方程A、B不同时为0）出发，梳理与其他形式方程的互化，进而探究平行（A1B2-A2B1=0且截距不等）、垂直（A1A2+B1B2=0）的判断条件，延伸至平行垂直直线系方程及含参数直线恒过定点策略，构建完整知识支架。 资料以知识清单系统整合与典型例题分类（辨析、平行、垂直等）为特色，结合高考真题培养数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识），如通过直线系方程解决平行问题。课后检测分层设计，课中辅助教学，课后助力查漏补缺，提升应用意识。

2.2.3 直线的一般式方程 第一部分：知识清单 知识点一：直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： 1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 知识点二：直线的一般式方程与其它形式方程的互化 知识点三：利用一般式研究直线的平行与垂直 1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0． (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． 【注意】(1)A1B2－A2B1＝0表示斜率相等或都不存在，B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)表示截距不同，排除重合的情况． (2)A1A2＋B1B2＝0既包含斜率之积为－1的垂直，又包含一个斜率为0，一个不存在的垂直． 2．平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 3．垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 知识点四：解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任意给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点，然后验证该交点在题目中所给的含参数直线上，从而说明该交点就是直线所过的定点，从而问题得解． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得． 第二部分：典型例题汇总 典例一 直线的一般式方程及辨析 典例二 利用一般式方程判断直线的平行 典例三 利用一般式方程判断直线的垂直 典例四 由两条直线平行求方程 典例五 由两条直线垂直求方程 典例六 直线过定点问题 第三部分：典型例题 典例一 直线的一般式方程及辨析 1．（26-27高二上·重庆沙坪坝·开学考试）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 2．（25-26高二下·湖北·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 5．（25-26高二·全国·暑假作业）求适合下列条件的直线的方程： (1)在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等； 6．（25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 典例二 利用一般式方程判断直线的平行 7．（25-26高二上·上海虹口·期中）若与平行，则为__________． 8．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）若直线与平行，则 （    ） A．1 B． C．1或 D． 9．（25-26高三上·江苏连云港·阶段检测）“”是“直线：与：平行”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 10．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知直线：；：. (1)若，求实数的值； (2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 典例三 利用一般式方程判断直线的垂直 11．（25-26高二上·安徽·期末）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（25-26高二·全国·暑假作业）已知直线，，若，则实数______． 13．（25-26高二上·北京·期中）如果直线与直线互相垂直，则实数的值是______. 14．（25-26高二下·河南·开学考试）已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 典例四 由两条直线平行求方程 15．（25-26高二·全国·暑假作业）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 16．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）（1）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程． （2）过点，且与平行的直线的方程． 17．（25-26高二上·陕西渭南·期中）过点且与直线平行的直线方程是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·广东汕头·期中）（多选）下列说法正确的有（   ） A．直线在轴上的截距为2 B．过点且与直线平行的直线方程是 C．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 D．若，，则直线不经过第二象限 典例五 由两条直线垂直求方程 19．（25-26高二下·上海·阶段检测）过点且垂直于直线的直线方程为______． 20．（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高二上·贵州毕节·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·云南玉溪·期中）根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． (1)经过点且与直线平行的直线； (2)经过点且与直线垂直的直线． 典例六 直线过定点问题 23．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 24．（25-26高二·全国·暑假作业）下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 25．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 26．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，若曲线和线段有公共点，则实数的取值范围是_____. 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·河南新乡·期末）过点且斜率为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）“”是 “直线与互相平行”的（     ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）过点且与直线平行的直线方程为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建南平·期中）若直线与直线垂直，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）已知点，，直线与线段AB总有交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·重庆沙坪坝·开学考试）（多选）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线与直线垂直，则 C．若直线在轴上的截距为3，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 8．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）（多选）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（       ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 9．（25-26高二上·山东临沂·期中）（多选）对于直线，下列说法中正确的是（   ） A．的倾斜角可以为 B．时，不经过第二象限 C．的一个方向向量为时， D．直线恒过定点 10．（25-26高二上·河北衡水·期中）（多选）记直线，，则（   ） A．过定点 B．的倾斜角为钝角 C．若，则 D．若，则 11．（25-26高二上·天津·期末）已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 12．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知直线，，且，则______． 13．（25-26高二上·江西九江·期末）已知直线与直线垂直，则实数的值为________． 14．（25-26高一下·上海嘉定·期末）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 15．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 16．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3 直线的一般式方程 第一部分：知识清单 知识点一：直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： 1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 知识点二：直线的一般式方程与其它形式方程的互化 知识点三：利用一般式研究直线的平行与垂直 1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0． (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． 【注意】(1)A1B2－A2B1＝0表示斜率相等或都不存在，B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)表示截距不同，排除重合的情况． (2)A1A2＋B1B2＝0既包含斜率之积为－1的垂直，又包含一个斜率为0，一个不存在的垂直． 2．平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 3．垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 知识点四：解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任意给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点，然后验证该交点在题目中所给的含参数直线上，从而说明该交点就是直线所过的定点，从而问题得解． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得． 第二部分：典型例题汇总 典例一 直线的一般式方程及辨析 典例二 利用一般式方程判断直线的平行 典例三 利用一般式方程判断直线的垂直 典例四 由两条直线平行求方程 典例五 由两条直线垂直求方程 典例六 直线过定点问题 第三部分：典型例题 典例一 直线的一般式方程及辨析 1．（26-27高二上·重庆沙坪坝·开学考试）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 【答案】或 【详解】设直线，截距分别为和， 因为截距互为相反数，所以. 若，，又过点，所以，直线为. 若，解得，，所以，直线为. 2．（25-26高二下·湖北·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】设该直线的倾斜角为，则由题意， 又，所以. 3．（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜率. 4．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)利用点斜式写出直线方程，再化为直线的一般方程； (2)分类讨论截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为，经过点， 所以直线方程为，即. （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为 因为直线过点，所以，即， 此时方程为，即； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为， 则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 5．（25-26高二·全国·暑假作业）求适合下列条件的直线的方程： (1)在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等； 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】（1）利用同角三角函数关系求得倾斜角的正切值，得到斜率，然后利用直线方程的斜截式得到； （2）分截距为0和不为0两种情况利用截距式求解. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，则，则，直线的斜率． 又直线在轴上的截距是，由斜截式得直线方程为，即或． （2）设直线在，轴上的截距均为，若，即过点和． 则的方程为，即． 若，设的方程为．过点，．，的方程为． 综上可知，直线的方程为或． 6．（25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3)． 【分析】（1）根据直线过，列方程求得. （2）根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距相等求得直线的方程. （3）将直线方程化为斜截式，根据直线不经过第三象限列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，即方程为． （2）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，方程为； 当直线不过原点时，，由，得， 即方程为， 故所求的方程为或． （3）将的方程化为，要使不经过第三象限， 当且仅当且， 解得，故所求的取值范围为． 典例二 利用一般式方程判断直线的平行 7．（25-26高二上·上海虹口·期中）若与平行，则为__________． 【答案】 0 【详解】因为与平行， 所以，即， 解得或， 当时，两直线方程分别为与，符合条件； 当时，两直线方程分别为与，两直线重合，不符合条件； 所以. 8．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）若直线与平行，则 （    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行可得，解得或，检验均符合题意，得到结果. 【详解】直线与平行,所以,即，解得或， 当时，直线为；为，两直线不重合. 当时，直线为；为，两直线不重合. 所以或. 故选：C 9．（25-26高三上·江苏连云港·阶段检测）“”是“直线：与：平行”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由两条直线的一般式方程平行的判定，结合充要条件的定义，对选项进行验证. 【详解】时，直线：即，与直线：平行，充分性成立； 直线：与：平行，有，解得或， 其中时，两直线重合，舍去，故，必要性成立. “”是“直线：与：平行”的充要条件. 故选：A. 10．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知直线：；：. (1)若，求实数的值； (2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，即可列式子求解， （2）分别求解轴上的截距，根据相等列方程求解即可. 【详解】（1）当时，满足，解得， （2）由题意可知，故， 令，则， 令，则， 故，解得或 典例三 利用一般式方程判断直线的垂直 11．（25-26高二上·安徽·期末）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出两直线斜率，再分别从充分性和必要性两个方向进行推导，最后结合充要条件的定义得出结论即可. 【详解】根据已知条件，直线的斜率为，直线的斜率为. 充分性：若，则，解得或，由不能唯一推出， 所以“”不是“”的充分条件； 必要性：若，则，所以，则有， 所以“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选: B. 12．（25-26高二·全国·暑假作业）已知直线，，若，则实数______． 【答案】或 【分析】由直线的一般式方程及两条直线垂直的条件可列出方程，解方程得到的值. 【详解】因为直线，所以，解得或． 故答案为：或 13．（25-26高二上·北京·期中）如果直线与直线互相垂直，则实数的值是______. 【答案】 【分析】由题设条件，可利用两直线垂直的条件建立方程，解此方程即可得出的值． 【详解】因为直线与直线互相垂直, 所以，解得. 故答案为：. 14．（25-26高二下·河南·开学考试）已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解. 【详解】已知直线， 由，得，且，解得， 由，得，故. 故选：B. 典例四 由两条直线平行求方程 15．（25-26高二·全国·暑假作业）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线可化为，斜率为， 所求直线与已知直线平行，故斜率也为， 又所求直线经过点，由点斜式得，整理即. 16．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）（1）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程． （2）过点，且与平行的直线的方程． 【答案】（1）或；（2）． 【分析】（1）要注意截距互为相反数包含直线过原点的特殊情形，不能只用截距式，需要分过原点和不过原点两种情况求解； （2）先利用平行直线一般式系数相等的特点，再设出直线方程后代入已知点求出常数项． 【详解】（1）当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时， 可设直线的方程为．又直线过点，所以，解得． 所以直线的方程为，即． 当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线过原点时， 设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得， 则直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． （2）已知直线，则直线的方程可化为， 所以直线的斜率为． 与平行，的斜率为． 又过点， 由点斜式知直线的方程为， 即． 17．（25-26高二上·陕西渭南·期中）过点且与直线平行的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与直线平行的直线方程为，将点代入求出，即可得解. 【详解】因为所求直线与直线平行，所以可设所求直线的方程为， 将点代入直线的方程，得，解得， 所以所求直线的方程为. 故选：A 18．（25-26高二上·广东汕头·期中）（多选）下列说法正确的有（   ） A．直线在轴上的截距为2 B．过点且与直线平行的直线方程是 C．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 D．若，，则直线不经过第二象限 【答案】BD 【分析】求出纵截距判断A；利用平行关系求出直线方程判断B；借助截距式方程判断C；确定直线位置判断D. 【详解】对于A，直线在轴上的截距为，A错误； 对于B，设与直线平行的直线方程为， 则，解得，所求直线方程为，B正确； 对于C，当过点且在两坐标轴上截距相等的直线过原点时，方程为，C错误； 对于D，由，得，则直线的横、纵截距分别为，因此直线不经过第二象限，D正确. 故选：BD 典例五 由两条直线垂直求方程 19．（25-26高二下·上海·阶段检测）过点且垂直于直线的直线方程为______． 【答案】 【详解】垂直于直线的直线斜率为，又过点， 由点斜式可得所求直线方程为，即. 20．（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的条件求解即可. 【详解】设垂直于直线的直线方程为， 因为直线过，所以，解得， 所以垂直于直线的直线方程为. 故选：Ａ. 21．（25-26高二上·贵州毕节·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线互相垂直得到斜率，再结合直线经过点，写出直线的点斜式，再转化为一般式即可. 【详解】由题可知，直线的斜率为，故与其垂直的直线斜率为， 又因为直线过点，故可设点斜式，整理得， 故选：A. 22．（25-26高二上·云南玉溪·期中）根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． (1)经过点且与直线平行的直线； (2)经过点且与直线垂直的直线． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所求直线的方程为，求出即可； （2）设所求直线方程为，求出即可. 【详解】（1）设所求直线的方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为； （2）设所求直线方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为． 典例六 直线过定点问题 23．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 【答案】 【分析】对等式进行变形，通过解方程组进行求解即可. 【详解】， 因为直线恒过定点， 所以有， 因此该直线恒过点. 故答案为： 24．（25-26高二·全国·暑假作业）下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【答案】A 【分析】A含参的直线方程过定点的求法计算即可；B没有考虑直线过原点的情况；C由倾斜角与斜率的关系即可判断；D计算出端点值后，由线段MN与y轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧. 【详解】A，直线方程变形为， 令，解得，即原直线必过定点，正确； B，当直线l过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等， 此时直线l的方程为，不正确； C，当时，无意义，不正确； D，直线经过定点， 当直线经过M时，斜率为， 当直线经过N点时，斜率为，    由于线段MN与y轴相交，故实数k的取值范围为或，不正确. 故选：A 25．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先将直线方程变形得到定点，将点代入直线确定的关系，最后运用基本不等式中的“乘1法”即可. 【详解】由，得， 由得，则直线过定点，故， 代入直线，得，整理得， ， 当且仅当时，即时取等号， 故最小值为. 故选：D． 26．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，若曲线和线段有公共点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先判断曲线，表示的是两条直线，然后分别讨论两条直线与线段有公共点时的取值范围，最后求并集即可. 【详解】因为曲线，表示的是两条直线， 直线和直线. 直线化简为，该直线过定点，斜率为， 要使得该直线与线段有公共点，则. 因为，所以. 此时的取值范围为； 直线化简为，该直线过定点，斜率为， 要使得该直线与线段有公共点，则. 因为，所以. 此时的取值范围为，则的取值范围为； 当时，直线为直线，此时该直线与线段无公共点； 综上，的取值范围为. 故答案为：. 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·河南新乡·期末）过点且斜率为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点斜式列出方程化简判断选项. 【详解】过点且斜率为的直线的方程为:, 化为一般式. 故选：D 2．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）“”是 “直线与互相平行”的（     ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据直线一般式方程直线平行或重合的条件得或，再检验排除两直线重合的情况得，最后根据充要条件的概念判断即可. 【详解】若直线与互相平行或重合， 则，即，解得或， 当时，，，满足； 当时，，，此时重合， 所以当时，. 所以“”是 “”的充要条件. 故选：C 3．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）过点且与直线平行的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知直线方程设出与已知直线平行的直线，再代入坐标求出方程. 【详解】与直线平行的直线方程可设为，且， 将代入直线可得. 所以过点且与直线平行的直线方程为，即， 故选：A 4．（25-26高二上·福建南平·期中）若直线与直线垂直，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据一般式方程下直线垂直的关系列式求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：D 5．（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直求出待求直线的斜率，又因为过点，采用点斜式即可求出待求直线方程． 【详解】直线化为斜截式为，即斜率为， 设所求直线斜率为，则可得：， 所求直线过点，所以方程为， 化简可得． 故选：A． 6．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）已知点，，直线与线段AB总有交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线所过定点P和两点间斜率公式求出即可由斜率定义数形结合求解. 【详解】直线过定点， 所以，如图，    由图可知实数k的取值范围是. 故选：B 7．（26-27高二上·重庆沙坪坝·开学考试）（多选）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线与直线垂直，则 C．若直线在轴上的截距为3，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AC 【详解】对于A：直线的方程可化为，由，解得， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B：直线的斜率为，直线与直线垂直， 则直线得斜率，故B错误. 对于C：由，令，解得，依题意，解得，故C正确； 对于D：依题意，因，由正切函数的性质，可得，故D错误. 8．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）（多选）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（       ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 【答案】AB 【分析】根据直线过定点、两直线平行、直线的图像以及两直线垂直逐项计算判断即可. 【详解】解：对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，取，直线：过第三象限，故D错误． 故选：AB. 9．（25-26高二上·山东临沂·期中）（多选）对于直线，下列说法中正确的是（   ） A．的倾斜角可以为 B．时，不经过第二象限 C．的一个方向向量为时， D．直线恒过定点 【答案】BD 【分析】对于：根据直线方程的一般式，计算出斜率的值，可得斜率一定存在；对于：先求出直线恒过定点，再根据斜率的正负判断直线经过的象限；对于：根据方向向量可求出直线的斜率，即可得出的值；对于：整理直线的一般式方程，令含有的式子为零，即可求出直线恒过的定点； 【详解】对于：直线：，斜率，所以斜率肯定存在，所以倾斜角不可能是，故选项错误； 对于：可化简为：，所以直线恒过定点，时，斜率，所以直线经过一、三、四象限，不经过第二象限，故选项正确； 对于：l的一个方向向量为时，斜率，又，所以，故选项错误； 对于：可化简为：，所以直线恒过定点，故选项正确； 故选：. 10．（25-26高二上·河北衡水·期中）（多选）记直线，，则（   ） A．过定点 B．的倾斜角为钝角 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对直线方程进行整理变形即可得出过定点，利用直线一般方程中的系数的关系即可得出直线关系和倾斜角的范围. 【详解】对于选项A，整理直线方程：，则，解得，即过定点，故A正确； 对于选项B，整理直线方程：，当，即时，的倾斜角为直角，故B错误； 对于选项C，代入，可得直线，，显然，故C正确； 对于选项D，若，则，解得，故D正确. 故选：ACD 11．（25-26高二上·天津·期末）已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 【答案】 【分析】将方程变形为，即可求解. 【详解】由可得， 令，解得， 故定点为， 故答案为： 12．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知直线，，且，则______． 【答案】 【分析】先将两直线方程转化为斜截式，再由平行充要条件即可求a. 【详解】直线即，直线即，且， 则. 故答案为： 13．（25-26高二上·江西九江·期末）已知直线与直线垂直，则实数的值为________． 【答案】/ 【分析】根据题意结合直线垂直列式求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 则，解得． 故答案为：. 14．（25-26高一下·上海嘉定·期末）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)当时，直线与重合；当时，直线与相交 (2)的最小值为，此时直线的方程为。 【分析】（1）先将两直线方程化为斜截式，再进行判断即可； （2）由题设易得，，，进而表示出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）直线，即， 直线，即， 当时，直线即为，此时两直线重合； 当时，直线与直线斜率不相等，即两直线相交. （2）直线：， 当时，直线：，显然不满足题意，所以， 令，得，令，得，即，． 依题意得，解得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以，此时直线的方程为． 15．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据的坐标即可求得直线的斜率，利用点斜式可得所求方程； （2）根据平行可设所求方程，再将点的坐标代入可得所求方程； （3）根据垂直可求得斜率，再求得线段的中点坐标，根据点斜式可得所求方程. 【详解】（1）如图，因为，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，即. （2）因为所求直线与直线平行， 由（1）知可设所求直线方程为， 又直线过点， 所以将的坐标代入可得，解得， 所以所求直线方程为. （3）因为，且其斜率都存在， 所以，解得. 又直线过线段的中点， 由点斜式可得直线的方程为，即. 16．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 【答案】(1) 证明：∵， ∴直线过定点. (2) (3)最小值为4，直线方程为. 【分析】（1）整理直线方程，即可求得定点； （2）通过直线方程得到纵截距，由纵截距和斜率列出方程，即可求得的取值范围； （3）通过直线方程得到交点的坐标，然后得到三角形面积，利用基本不等式即可求得最小值，同时求出此时的直线方程. 【详解】（1）∵， ∴直线过定点. （2）∵，直线的纵截距为， 要使得直线不经过第四象限，则， 即. （3）由题意可知：， 由直线方程可得，，， ∴，即， ， 当且仅当时，取等号. 即当直线方程时，面积取最小值4. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $