2.2.3 直线的一般式方程（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

2．2.3　直线的一般式方程 学习目标 素养要求 1．掌握直线的一般式方程，理解直线的一般式方程与二元一次方程． 2．能正确进行直线方程的五种形式之间的转化． 3．能用直线的一般式方程解决有关问题. 通过对直线五种形式的方程相互转化的探究，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养. [自主梳理] 知识点　直线的一般式方程 [问题1]　直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？ 答：能. 　 [问题2]　平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 答：可以． [问题3]　关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？ 答：一定． [问题4]　方程Ax＋By＋C＝0可以表示平行于x轴的直线吗？平行于y轴的呢？ 答：可以．A＝0，BC≠0时，方程表示平行于x轴的直线．B＝0，AC≠0时，方程表示平行于y轴的直线． [问题5]　方程Ax＋By＋C＝0可以表示与x轴重合的直线吗？与y轴重合的呢？ 答：可以．A＝C＝0，B≠0时，方程表示与x轴重合的直线．B＝C＝0，A≠0时，方程表示与y轴重合的直线． ►知识填空 直线的一般式方程 (1)定义：关于x，y的二元一次方程 __Ax＋By＋C＝0__(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)直线方程的一般式与其他形式的互化： [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式．(　　) (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(　　) (3)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线．(　　) 解析：(1)√.斜率存在和不存在的直线都可以表示为一般式．如与x轴垂直的直线可表示为Ax＋0·y＋C＝0(A≠0)等． (2)×.如斜率不存在的直线不能化为点斜式、斜截式、两点式． (3)×.对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率为0的直线． 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30°　　　　　 B．60° C．150° D．120° 解析：选C　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°. 3．已知点P(2，m)在直线3x＋y＝2上，那么m＝________. 解析：由点P在直线上，把P(2，m)代入到直线方程3x＋y＝2，得6＋m＝2.解得m＝－4. 答案：－4 4．方程2x－3y－1＝0在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________． 解析：令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝.所以直线在x轴、y轴上的截距分别为，－. 答案：　－ 题型一　直线方程的一般式与其他形式的互化 [例 1]　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (5)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 解：(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝ (x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由斜截式，得直线方程为y＝4x－2， 即4x－y－2＝0. (3)由两点式，得直线方程为 ＝， 即2x＋y－3＝0. (4)由截距式，得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. (5)y－2＝0. [反思感悟] 直线方程互化的几个关注点 (1)直线的一般式可以表示任何直线，但特征不明显，解决问题时，可把直线的一般式化成其他形式． (2)求直线的一般式方程，通常根据题中的条件求出对应形式的方程，再化为一般式． 下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　 ) A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0 解析：选B　将一般式化为斜截式，斜率为－ 的有B、C两项． 又y＝－x＋14过点(0,14)， 即直线过第一象限，所以只有B项正确． 题型二　一般式下直线的平行和垂直问题 [例 2]　(1)如果直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0(a∈R)平行，那么a＝________； (2)已知直线l1：(k－3)x＋(5－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0垂直，则k的值是________． 解析：(1)当a＝0时，不符合题意；当a＝－1时，不符合题意． 当a≠0且a≠－1时，l1可化为y＝－x＋， l2可化为y＝－x－， 由题意知，－＝－且≠－， 解得a＝－2或a＝1. (2)由l1⊥l2，得2(k－3)2＋(5－k)×(－2)＝0. 即k2－5k＋4＝0. 解得k＝1或k＝4. 答案：(1)－2或1　(2)1或4 [反思感悟] 利用一般式直线方程判断直线位置关系的方法 若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)，则： (1)当A1B2－A2B1≠0时，l1与l2相交； (2)当A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0时，l1∥l2； (3)当A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0时，l1与l2重合； (4)当A1A2＋B1B2＝0时，l1⊥l2. 已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0，分别求满足下列条件的m的值． (1)l1⊥l2； (2)l1∥l2. 解：(1)若l1⊥l2，则3×m＋(m＋1)×2＝0. 解得m＝－. (2)若l1∥l2，则3×2－m(m＋1)＝0. 解得m＝－3或m＝2. 当m＝－3时，直线l1与直线l2平行． 当m＝2时，直线l1与直线l2重合，不符合题意，舍去． 所以m＝－3. 题型三　与含参数的一般式方程有关的问题 [例 3]　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l恒过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围． 解：(1)法一：将直线l的方程整理为y－＝a. ∴直线l的斜率为a，且过定点A. 而点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限． 法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0. ∵上式对任意的a总成立， ∴必有即 ∴l过定点A.以下同法一． (2)易知直线OA的斜率k＝＝3. 如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，故a≥3. [反思感悟] 已知含参数的方程求参数的值或范围的步骤 　(变条件)将本例中方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，求a的取值范围． 解：(1)当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求． (2)当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即 解得 所以a>1. 综上可知，a≥1. [课堂小结] 1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法 (1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式，看是否满足k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合． (2)可直接采用如下方法： 一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． 这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性． 2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法 (1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式，看是否满足k1k2＝－1. (2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 第二种方法可避免讨论，减小失误． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$