第2章 2.2.3 直线的一般式方程-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦“直线的一般式方程”核心知识点，衔接已学的点斜式、斜截式、两点式、截距式，通过对比特殊形式的区别与联系，引导学生理解二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）表示直线的原理，掌握方程形式间的互化方法。 该资料以思考问题驱动学生用数学眼光观察直线方程的统一性，通过例题解析与分层练习培养数学思维中的推理和运算能力，如平行垂直判定、含参直线过定点等应用点，助力学生用数学语言表达几何关系。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、弥补薄弱环节。

2．2.3　直线的一般式方程 课标要求　1.掌握直线的一般式方程．　2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示一条直线．　3.会进行直线方程的五种形式之间的转化． 我们已经学习了直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程以及截距式方程，它们都有哪些区别呢？有没有联系呢？既然都表示直线，方程形式能不能统一呢？这就是本节我们要探究的问题． 思考1　关于x，y的二元一次方程是什么形式？系数有什么要求？ 提示：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0). 思考2　任意一个关于x，y的二元一次方程都可以表示一条直线吗？ 提示：可以． 知识点　直线的一般式方程 1．定义 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2．直线方程的一般式与其他形式的互化 　(对接教材例5、例6)直线过点A(8，－6)，B(2，2). (1)求直线AB的两点式方程，并把它化成一般式方程； (2)求直线AB的斜率，以及在x轴和y轴上的截距． 【解】　(1)直线过点A(8，－6)，B(2，2)，则直线AB的两点式方程为＝，整理得3(y－2)＝－4(x－2)，所以直线AB的一般式方程为4x＋3y－14＝0. (2)由(1)知，直线AB：4x＋3y－14＝0可转化为斜截式方程y＝－x＋，当y＝0时，x＝；当x＝0时，y＝，所以直线AB的斜率k＝－，在x轴和y轴上的截距分别为，. 【感悟提升】　在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 　1.(多选)(2026·台州期中)已知直线2x＋y＋3＝0，则下列说法正确的是(　　) A．直线过点(－1，1) B．直线的斜率为－2 C．直线在y轴上的截距为3 D．直线不经过第一象限 解析：选BD.已知直线2x＋y＋3＝0，即y＝－2x－3，则直线的斜率为－2，在y轴上的截距为－3，B正确，C错误； 再令x＝－1，得y＝－1，所以直线不过点(－1，1)，A错误； 作出直线(图略)，可知直线不经过第一象限，D正确． 2．已知直线l经过点P(2，－3)，且它的一个方向向量的坐标为(2，－1)，则直线l的一般式方程为___________；其截距式方程为_______________________________． 解析：因为直线l的一个方向向量的坐标为(2，－1)， 所以其斜率为k＝－， 又直线过P(2，－3)， 所以直线l的方程为y＋3＝－(x－2)， 化为一般式方程为x＋2y＋4＝0， 其截距式方程为＋＝1. 答案：x＋2y＋4＝0　＋＝1 应用点一　利用一般式方程研究平行、垂直问题 角度1　由平行、垂直求直线的方程 　求满足下列条件的直线l的方程： (1)直线l过点(－2，1)，且与直线x＋y－3＝0平行； (2)直线l过点(－1，2)，且与直线x＋3y＋1＝0垂直． 【解】　(1)方法一：由直线l与直线x＋y－3＝0平行，可得直线l的斜率k＝－1. 又直线l过点(－2，1)，由点斜式可得直线l：y－1＝－(x＋2)，即直线l：x＋y＋1＝0. 方法二：由直线l与直线x＋y－3＝0平行，可设直线l的方程为x＋y＋m＝0(m≠－3)， 将点(－2，1)代入上式得m＝1，所以直线l的方程为x＋y＋1＝0. (2)方法一：由直线x＋3y＋1＝0的斜率为－，直线l与直线x＋3y＋1＝0垂直，可得直线l的斜率k＝3，又直线l过点(－1，2)，由点斜式可得直线l：y－2＝3(x＋1)，即直线l：3x－y＋5＝0. 方法二：由直线l与直线x＋3y＋1＝0垂直，可设直线l的方程为3x－y＋n＝0，将点(－1，2)代入上式得n＝5，所以所求直线的方程为3x－y＋5＝0. 【感悟提升】　与已知直线平行、垂直的直线方程的求法 (1)先求出已知直线的斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式求出直线的方程． (2)利用待定系数法(直线系)求直线的方程． 常用结论　(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C). (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0. 角度2　由直线的平行、垂直求参数值 　已知直线l1：x＋y＋2＝0；直线l2：mx＋2y＋n＝0. (1)若l1⊥l2，求实数m的值； (2)若l1∥l2，且直线l2在y轴上的截距与直线l1在y轴上的截距互为相反数，求直线l2的斜截式方程． 【解】　(1)由直线l1：x＋y＋2＝0，l2：mx＋2y＋n＝0，因为l1⊥l2，可得1×m＋1×2＝0，解得m＝－2. (2)由直线l1：x＋y＋2＝0，l2：mx＋2y＋n＝0， 因为l1∥l2，可得＝≠，可得m＝2，n≠4， 此时直线l2：x＋y＋＝0，即y＝－x－. 又直线l2在y轴上的截距与直线l1在y轴上的截距互为相反数，直线l1在y轴上的截距为－2， 所以－＝2，即n＝－4. 所以直线l2的斜截式方程为y＝－x＋2. 【感悟提升】　对于两条直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0， (1)平行问题：①如果直线的斜率存在，可将一般式化成斜截式进行判断；②如果一般式中y的系数含参数，需根据系数是否为0分类讨论；③l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0). (2)垂直问题：①如果直线的斜率存在且不为0，那么l1⊥l2⇔k1k2＝－1；②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 　1.(2026·中卫月考)直线l与直线x＋y－2＝0垂直，且它在y轴上的截距为4，则直线l的一般式方程为____________． 解析：直线x＋y－2＝0的斜率为－1，因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以直线l的斜率为1， 又因为直线l在y轴上的截距为4，所以直线l的方程为y＝x＋4，即x－y＋4＝0. 答案：x－y＋4＝0 2．若直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0与直线l2：3x＋ay－1＝0平行，则a＝________． 解析：因为直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0与直线l2：3x＋ay－1＝0平行， 所以(a－1)a＝2×3，解得a＝3或a＝－2. 当a＝3时，直线l1：2x＋2y＋1＝0与直线l2：3x＋3y－1＝0平行，符合题意； 当a＝－2时，直线l1：3x－2y－1＝0与直线l2：3x－2y－1＝0重合，不符合题意． 综上可得a＝3. 答案：3 应用点二　含参一般式方程的应用 　(2026·驻马店月考)已知直线l：(2a＋3)x－(a－1)y＋3a＋7＝0，a∈R. (1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； (2)在(1)的条件下，若直线l′过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线l′的方程． 【解】　(1)直线l：(2a＋3)x－(a－1)y＋3a＋7＝0可化为(2x－y＋3)a＋3x＋y＋7＝0， 则解得所以直线l过定点，且定点A的坐标为(－2，－1). (2)因为直线l′过点(－2，－1)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍， 则当直线l′过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为y＝x，即x－2y＝0； 当直线l′的横、纵截距均不为零时，设直线l′的方程为＋＝1，代入点(－2，－1)， 得＋＝1，解得m＝－， 此时直线l′的方程为＋＝1， 即12x＋y＋25＝0. 综上，直线l′的方程为x－2y＝0或12x＋y＋25＝0. 【感悟提升】　含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得直线在y轴上的截距，令y＝0可得直线在x轴上的截距，若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 　设直线l的方程为(a＋1)x＋y－5－2a＝0(a∈R)，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A(xA，0)，B(0，yB). (1)当xA·yB最小时，求直线l的方程； (2)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 解：(1)由题意知，xA＝>0，yB＝5＋2a>0，则a>－1， 所以xA·yB＝·(5＋2a) ＝＝ ＝4(a＋1)＋＋12 ≥2＋12＝24， 当且仅当4(a＋1)＝，即a＝时，等号成立， 所以当a＝时，xA·yB最小， 此时直线l的方程为3x＋2y－12＝0. (2)因为直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，所以不妨设5＋2a＝k(a＋1)，k∈N*，又a也为正整数，所以a＝>0，即2<k<5，所以k＝3或k＝4. 当k＝3时，a＝2，此时A(3，0)，B(0，9)， 所以直线l的方程为＋＝1，即3x＋y－9＝0； 当k＝4时，a＝，不符合题意，舍去． 综上所述，直线l的方程为3x＋y－9＝0. 1．直线2x－4y＋3＝0在y轴上的截距为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选A.令x＝0，解得y＝，即直线2x－4y＋3＝0在y轴上的截距为. 2．(多选)(2026·晋中月考)如果AC＞0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选ABC.因为AC>0，BC<0，所以B≠0，AB<0，由直线Ax＋By＋C＝0，可得y＝－x－，则直线斜率k＝－>0，且－>0，所以直线经过第一、二、三象限． 3．若直线l1：ax＋2y＋1＝0和直线l2：x＋y＋1＝0平行，则实数a＝________． 解析：直线l1：ax＋2y＋1＝0和直线l2：x＋y＋1＝0平行，可得＝≠，解得a＝2. 答案：2 4．(教材P66 T1改编)根据下列各条件写出直线的方程，并且化为一般式． (1)经过点P(－2，1)，斜率为2； (2)在x轴、y轴上的截距分别为2，4； (3)直线的一个方向向量的坐标为(1，3)，且在x轴上的截距为1. 解：(1)经过点P(－2，1)，斜率为2的直线的方程为y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0. (2)在x轴、y轴上的截距分别为2，4的直线的方程为＋＝1，即2x＋y－4＝0. (3)直线的一个方向向量的坐标为(1，3)，则该直线的斜率为＝3，因为该直线在x轴上的截距为1，所以该直线经过点(1，0)，所以该直线的方程为y＝3(x－1)，即3x－y－3＝0. 1．已学习：直线的一般式方程、利用一般式方程判定直线的平行与垂直． 2．须贯通：(1)直线方程的各种形式间的相互转化； (2)利用直线的一般式方程解决直线平行与垂直问题，体现了分类讨论、化归与转化的思想方法． 3．应注意：直线斜率不存在的情况；两直线重合的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $