辽宁省点石联考2026-2027学年高三上学期期初学情调研数学试题

绝密★启用前 高三期初学情调研 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． ☆注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．考试结束后，将答题卡交回． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．若，，，则 A． B． C． D． 2． A． B． C． D． 3．已知集合，，则 A． B． C． D． 4．若幂函数在上为增函数，则 A． B． C． D． 5．在等比数列中，，，则当取得最小值时， A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图为函数的部分图象，点在图象上，且，则的单调递增区间为 A．， B．， C．， D．， 7．现有8个小队，分别编号为1，2，…，8，记编号为的小队的人数为，已知，，，，，成等差数列，，，，成等比数列，若，，则这8个小队的总人数为 A．254 B．286 C．312 D．348 8．若函数在区间上有奇数个极小值点，则的值可以为 A．1 B．2 C．4 D．5 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知命题，命题，且命题是的必要不充分条件，则 A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．命题可以是“” D．命题可以是“” 10．记为数列的前项和，则 A．当时，数列为等比数列 B．当时，数列为等差数列 C．当时，数列为等比数列 D．当为等差数列时，存在使得数列为等差数列 11．已知曲线，在处的切线与轴，轴分别交于点，，记线段的中点为，若点，，可重合，则 A．的轨迹与轴仅有一个交点 B．的轨迹与轴仅有一个交点 C．的轨迹在第二象限仅有一个最高点 D．的轨迹在第四象限仅有一个最低点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知是定义在上的偶函数，且对任意有，则_________． 13．已知函数满足：①的定义域为；②对任意实数，均有；③不为常值函数，试写出一个符合条件的的解析式：_________． 14．已知函数（，，），为坐标原点，将曲线与坐标轴的所有交点用点列表示，其中，数列的前三项分别为，，，则_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 已知实数，满足． （1）证明：； （2）求的值． 16．（本小题满分15分） 已知公比为的等比数列的前项和为，且． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 17．（本小题满分15分） 已知数列的首项为，． （1）求数列的通项公式； （2）记，函数． （ⅰ）证明：当时，； （ⅱ）证明：． 18．（本小题满分17分） 已知函数及其导函数的定义域均为，的图象为一条连续不断的曲线，且与在上恒成立，设定义域为的函数． （1）求；（用含和的代数式表示） （2）若． （ⅰ）证明：； （ⅱ）判断方程实根的个数，并说明理由． 19．（本小题满分17分） 设实数，已知曲线与曲线，记曲线在处的切线为． （1）求的方程； （2）设与在第一象限内的两个相异交点分别为，，且． （ⅰ）证明：，且； （ⅱ）证明：直线与的交点的横坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $高三期初学情调研 数学 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) IⅢV①②③④⑤⑥ 档次 系数 1 单选题 5 对数的运算 易 0.95 2 单选题 5 二倍角公式 易 0.92 单选题 5 集合的运算 易 0.87 4 单选题 由幂函数的定义求参数值 易 0.80 5 单选题 5 等比数列 易 0.75 6 单选题 三角函数 中 0.65 7 单选题 5 等差等比数列的综合应用 中 0.55 8 单选题 5 函数导数综合 难 0.35 9 多选题 6 命题与不等式综合 易 0.85 10 多选题 6 等差、等比数列的判断 中 0.55 11 多选题 6 函数导数 难 0.25 12 填空题 5 函数性质 易 0.70 13 填空题 5 函数性质综合 中 0.65 14 填空题 三角函数图象的性质 难 0.35 15 解答题 13 不等式综合 中 0.65 16 解答题 15 等比数列综合 中 0.55 17 解答题 15 数列与导数综合 中 0.45 18 解答题 17 函数导数综合 难 0.25 19 解答题 17 函数导数综合 难 0.15 ·%1 参考答案及解析 ·高三数学· 参考答案及解析 高三数学 一、单选题 选B. 1.C【解析】因为b=log19=log2232=log23=a,c= 7.D【解析】不妨设a1,a2,…,a6的公差为d,a5,a6 log827=log233=log23=a,所以a=b=c.故选C. g,同理a aas的公比为g(g>0),则2=q,a= 2.B【解析】由二倍角公式可得sin无cos希os冬- 8 4 8 以号=96+4（停一号）设=>0，可得50 3.A【解析】由log(3-x)≥1，得3-x≥2，解得x≤ 1,所以A=(-o∞，1]，由x2-3x≤0，得x(x-3)≤0， -4p2-24=0,即(p-2)(5p2十6p十12)=0，而5p 解得B=[0,3],所以A∩B=[0,1].故选A. 十6p+12>0,所以p=2,则g=号，于是a:=16,a 4.D【解析】因为f(x)=(m2-m-1)xm+1为幂函数， =a6q=8,所以这8个小队的总人数为3(a1十as)+ 所以m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或 a,十as=3×112+12=348.故选D. m=-1.当m=2时，f(x)=x3在(0，十∞)上为增 8.B【解析】选项中a均为正整数，设a=m>0.将区 函数；当m=-1时，f(x)=x°=1不是增函数，所以 m=2.故选D. 间(0，π)分成m个小区间（红，士1）匹)，其中=0， 5.A【解折】显然a,的公比g>0,因为。十士十日 1,…,m-1.令t=m.x-kπ，则0<t<π，且f(x)= xsin m=一1)(kx十)sin6.设h()=(km十)· =1,所以a,=9十1+亭，设fg)=9十1+寻，则 m 了g)=1号.当9∈(0,2》时，fg<0,g1单调递 sint,则(t)=sint+(kr十t)cost,当0<t≤琴时， 减；当q∈(2，十∞)时，f'(g)>0,f(q)单调递增，所以 h()>0;当号<iK元时，令g(D=sin1+(km+)· f(g)≥f(2)=4,则ag的最小值为4，此时q=2,则a cost,则g(t)=2cost-(kπ十t)sint<0,所以g(t)即 =a=1.故选A. (在（受，x)上单调递减，又k(受)=1>0， 6.B【解析】由AB-号-石得w=3,代人x=0, h(π)=一(k十1)π<0，所以由零点存在定理可知 得2sing=E,由9<罗，得g=于，故f(x) ()在（受，π）上有唯一零点，所以(0在每个小区 间内先增后减.当k为偶数时，f(x)在该小区间内有 2sin(3x+牙)，令-号+2km≤3x十于≤受+2km,k 一个极大值点：当k为奇数时，f(x)在该小区间内有 ∈Z.得-平十2≤x≤危+，k∈Z,所以f) 一个极小值点，因此极小值点个数等于0,1，…，m一1 中奇数的个数，代入m=1,2,4,5,极小值点个数分别 的单调递增区间为[-子+2，吾+2]，k∈五故 为0,1,2,2，只有a=2时为奇数.故选B ·高三数学· 参考答案及解析 二、多选题 第二象限仅有一个最高点，故C正确；当x>0时， 9,ABD【解析】由q:x>1,得q:x>1或x<-1,因 P,的轨迹在第四象限，且y=一e2x+1(1十2x)<0, 为p:x>1,所以p是q的充分不必要条件，故A正 因此P,在(0，十∞)上单调递减，不存在最低点，故 确；因为r是q的必要不充分条件，所以q→r,r书q, D错误.故选ABC. 从而p→r,且r户p,所以p是r的充分不必要条件， 三、填空题 故B正确：因为q:x>1台|x|>1,所以命题r不能 12.1【解析】令t=x十a,则x=t一a,所以f(t)=(t 是“x>1”,故C错误；因为x>1或x-1→x≠0， a)2+2(t-a)+3=f+(2-2a)t+a2-2a十3，因为 但x≠0x>1或x<-1,所以命题r可以是“x≠ f(x)为偶函数，所以f(t)表达式中的一次项系数为 0”,故D正确.故选ABD. 0,即2-2a=0,解得a=1,经检验满足题意.故答案 10.ABD【解析】对于A,Sm=2-1,当n≥2时，am= 为1. Sn-Sm-1=2n-1,当n=1时，a1=2-1=1=21, 13.f(x)= 2©（答案不唯一，满足题意即可）【解析】 所以an=2-1,则am出=2，所以数列{an}为等比数 an 当f)=多e时，f+)=1 2f()f(y)= 列，故A正确；对于B,Sn=2n2,当n≥2时，an=S 2Xee=e,符合条件.故答案为了 1 1 -Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2,当n=1时，a1=2 =4一2，所以an=4n-2,则an+1一an=4,所以数列 e(答案不唯一). 1 {an}为等差数列，故B正确；对于C,取an=0符合 题设，但等比数列的各项均不为0，故C错误：对于 14.23 3 【解析】若1为f()的零点，则士否，士号中 D.记a}的公差为d则s,=号i+(a-号)m: 必有一个为f(x)的零点，此时考虑x十p=kπ，k∈ 取k=号，令么=S。-km,则6，=(a一号)n,所以 Z的解，不妨设其一个零点为k1π，k1∈Q,此时对应 的k为ko,则k1π十p=kπ，p=(ko一ak1)π，则x= b1一6=a一号，为常数，所以数列S.一n)为等 红二E=一k,十wk元，其中一ks十a的∈Q,则x任 差数列，故D正确.故选ABD. 11.ABC【解析】曲线y=e在x=t处的切线方程为 Q,这与假设矛盾，故f0)=1,则可得B（-否，0)， y-e=e(x-t),即y=ex十e(1-t),与x轴交于 B(0),所以最小正周期T=2[号-(-晋)门 点A,(t-1,0),与y轴交于点B,(0,e(1-t),所以 P(分，D),令x=号2，则=2x+1,从而 =元=2红，则u=2,所以f(x)=Asin(2x十p),则 y-(1,2红=D=一x0+1,P的轨迹与x轴 f(-)=Asin（(-琴+p）=0,所以-号+g 2 的交点满足一xex+1=0,只有x=0满足，故A正 km,k∈Z,又0<9<受，所以9=号，故f(x)= 确；P,的轨迹与y轴交点满足x=0,只有原点，故B Asim(2x十号），由f(0)=1,得A=1,则A 正确；当x<0时，P,的轨迹在第二象限，且y= -e+(1+2),由=0，得x=-是，且x<-号 2故答案为 时，>0，-号<x<0时<0，所以卫，的轨迹在 ·2 参考答案及解析 ·高三数学· 四、解答题 则fx)=1十x+奇十…+ 15.解：(1)因为25=25<300<625=252，且y=25 x 在R上单调递增， 故(x)=1+x+27+…+ (n-1)I (8分) 所以1<n<2, (2分) 所以当x>0时，∫(x)-f(x)=- 因为12=144<300<1728=123，且y=12在R n10, 上单调递增， 即当x>0时，f(x)<f(x). (10分) 所以2<m<3, (4分) (i)设g(x)=fx) e 故1<n<2<m<3. (5分) (2)由12m=300,得12=300六： (i)得gx)=f)f)<0, e 由25"=300，得25=3007， (9分) 所以g(x)在(0，十∞)上单调递减， (13分) 两式相乘得300=300六+分， (11分) 因此g(1)<g(0),即f(1)<, 又y=300在R上单调递增，所以1+ 所以b+b2+…十bn<e-1. (15分) 二1. n 18.解：(1)因为g(x)=f(x) 1 (13分) f且fx)>0, 16.解：(1)由S2=3,得a1(1十q)=3, 所以g)-f-侣-f®-山 f(x) 所以a1≠0，且q≠一1， (2分) =f(x)(f(x)-1)(f(x）+1) 又a3=a1q,由a=4a1,得a1q=4a1, f(x) (4分) 所以g=4,则q=2或g=-2. (5分) (2))由(1)得g(x)=)f)-1D()+1 (x) (2)由q>4,得q>2或q<-2. (7分) 因为g'(x)≥0，f(x)>0,f(x)>0,f(x)+1>0, 由S2=3,得a1(1十q)=3, 所以f(x)-1≥0，即f(x)≥1. (6分) 所以S,=a1(1十g十q)=31十士2) 1+g 若存在x∈R,使得f(xo)=1, =(a+)=3(g1+。. (9分) 因为f(x)>0在R上恒成立，所以f(x)在R上单 调递增， 当9>2时，1+9>3，故S,>3(3+号-1)=7， 又x0-1<x0,则f(x0-1)<f(xo)=1,与f(x)≥1 所以S>7; (11分) 矛盾， 当q<-2时，1+g<-1,故S<3(-1-1-1)= 所以f(x)>1. (10分) -9, (ⅱ)方程g(x)十x=0有且仅有一个实根.(11分) 所以S:<-9, (13分) 因为g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增，(12分) 所以S的取值范围为(-o∞，一9)U(7,十∞). 令F(x)=g(x)十x, (15分) F'(x)=g'(x)+1>0, 所以F(x)在R上单调递增， 17.解：(1)由题得an+1十1=(n十1)(an十1)，(1分) 因此方程F(x)=0至多有一个实根. (14分) 所以当n≥2时，an十1=n!,则an=n!-1,(4分) 因为f(x)>0,且f(x)的图象为一条连续不断的 上式对n=1也成立，所以an=n！-1. (5分) 曲线， (2)(1)由(1)得b=元' 1 (6分) 所以F(0)=g(0)>0, ·3· ·高三数学· 参考答案及解析 取x1=一g(0),则x1<0,从而g(x1)<g(0), 综上，x1十x2>4. (9分) 所以F(x1)=g(x1)十x1=g(x1)-g(0)<0, 由e=ax,e2=a.x相乘，得e+2=axix. (16分) 因为a>0,1>0,>0,所以ar1x=e2 由零点存在定理可知F(x)在(x,0)内至少有一个 零点， 又a十>4，所以5专产>2，所以a>d。 故方程g(x)十x=0有且仅有一个实根. (17分) (11分) 19.解：(1)曲线C:y=e在x=2处的切点为(2，e), （i)因为点A,B均在抛物线y=ax上， 切线斜率为e, 所以A(x1,ax),B(x2,ax), 所以l的方程为y-e2=e2(x-2),即y=e2x-e2. 则直线AB的斜率为iaE=a(x十x), xx-x1 (3分) 所以直线AB的方程为y=a(x十xr2)x一ax1x2: (2)(i)由题可得x1>0,x2>0,且e1=axi,e2 (13分) -axi, 由(1)知l:y=e2x-e2, 两式相除：得1=普即e2子- (4分) 联立两直线方程，得a(x1十x2)xo一a.x1x2=exo 设1=24，则>0，且x=xe, -e2, 即[a(x1十x2）-e2]xo=ax1x-e2, 由x2-x1=2t,得x1(e-1)=2t, 由(1)知x1十x2>4, 所以。马=兴则十=2心 2t e-1 又a> 4,所以a(x1十x2)>e', (6分) axixz-e2 当t>2时，因为中>1，所以4十4>2>4： 由(1)知a>c,因此w=a千)e>0, e- (15分) 当t=2时，同样有x1十x2>2t=4: 因为a(x1十x2)-e2>0, 当0<2时，令g0=h岩4 所以要证xo<2, 则=克21=>0 只需证ax1x2-e2<2[a(x十x)-e], 即证a(2m十2x2-x1x)>e. 所以(t)>0在(0,2)上单调递增， 因为x1<2<x2,所以(x1-2)(x-2)<0, 所以g0>g以0y=0.即n 则2x1十2x2-x1x2=4-(x1-2)(x2-2)>4, 所以a(2xr1十2x2-x1x2)>4a>e,x<2得证. 所以尝台e, 综上，直线AB与l交点的横坐标xo∈(0,2). 因为2-t>0, (17分) 所以(2-t)e<2十t,即t(1+e)>2(e-1), 所以1+4=21士e2>4. e-1