专题02 特殊的因式分解法（5大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

**基本信息** 聚焦五种特殊因式分解方法，以题型建模为框架，通过分层例题构建“方法-应用”逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整体法|4题（含跨地区期末题）|换元思想转化多项式|从单一整式到复合代数式的分解迁移| |完全平方公式求最值|4题（含阅读材料题）|配方法构建非负模型|公式应用从分解到最值问题的拓展| |十字相乘法|4题（含步骤解析题）|“竖乘首尾、叉乘凑中”口诀|二次三项式分解的系数匹配推理| |分组分解法|4题（含分组策略题）|“两两/三一分组”后提公因式或套公式|多顶式结构分析与分解策略选择| |因式分解的应用|4题（含几何与代数综合题）|建模思想解决面积、最值等问题|从代数分解到实际问题的模型转化|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02特殊的因式分解法 ■目录■ A题型建模·专项突破 题型一、利用整体法因式分解 题型二、利用完全平方公式因式分解求最值， 3 题型三、十字相乘法因式分解 .7 题型四、分组分解法因式分解… 题型五、因式分解的应用..15 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、利用整体法因式分解 1.(25-26八年级上河北张家口期末)将下列各式分解因式. 1)x2(x-1)-16(x-1): (2)(m-n-6(n-m)+9 2.(25-26八年级上湖北荆门期末)因式分解： (①)3a(b-c-2(b-c): (2)a2(a-b)+9(b-a). 3.(25-26八年级上·江苏南通期末)分解因式： ①4(a-b)+8(6-a}': (2(2x+y}-(x+2y. 4.(25-26八年级上黑龙江大兴安岭期末)因式分解： (1)a3(b-2)+a(2-b) (2)(3x+2)}-(2x-1)月 题型二、利用完全平方公式因式分解求最值 5.(25-26九年级上河北保定·月考)阅读下面的材料并解答后面的问题. 小冰：能求出x2+4x-3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小华：能，求解过程如下： x2+4x-3=x2+4x+4-4-3=（x2+4x+4)-7=(x+2)2-7 因为(x+2)2≥0，所以x2+4x-3的最小值是-7. 问题：你能求出a2+8a+2041的最小值是」 6.(25-26八年级上·甘肃定西期末)阅读材料，并解答问题. 例题：求多项式m2+2m1+2n2-6n+13的最小值 解：m2+2mn+2n2-6n+13=(m2+2mn+m2）+(n2-6n+9)+4=(m+n}+(n-3}+4, (m+n)≥0，(n-3)≥0， 多项式m2+2mn+2n2-6n+13的最小值是4. ()请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是 当m2+2mn+2n2-6n+13取最小值4时，m=一， n=, (2)求多项式2x2-4y+3y2+6y+4的最小值. 7.(25-26八年级上广西北海月考)阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全 平方式与一个常数的和的方法叫做配方法：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个 看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题. 例如：求代数式：x2-12x+2020的最小值， 解：原式=x2-12x+6-62+2020=(x-6)}+1984 .(x-6)20, ∴当x=6时，(x-6)的值最小，最小值为0， .(x-6)}2+1984≥1984 当(x-6)=0时，(x-6)+1984的值最小，最小值为1984， ∴.代数式：x2-12x+2020的最小值是1984. 例如：分解因式：x2-120x+3456 解：原式=x2-2×60x+602-602+3456=(x-60)-144=(x-60)2-12 =(x-60+12)(x-60-12)=(x-48)x-72) (1)根据上面材料学习的方法进行下列题目的分解因式： ①a2+8a+15: 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②x2-26x+168 (2)若y=x2-20x+128,求y的最小值： 8.(24-25八年级下广东梅州月考)我们把多项式a2+2ab+b和a2-2ab+b叫作完全平方式.如果 一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减 去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅 可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最 小值等， 例如：分解因式x2+2x-3=(x2+2x+1)4=(x+1)-4=(c+1+2)(x+1-2)=(x+3)x-1). 例如：求多项式2x2+4x-6的最小值，由2x2+4x-6=2(x+2x+1-6=2(+)-8可知，当x=-1 时，多项式2x2+4x-6有最小值，最小值是8. 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：m2-4m-5= (2)当a,b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值. (3)当a,b为何值时，多项式a2-2ab+2b-4b+27有最小值？并求出这个最小值. 题型三、十字相乘法因式分解 9.(25-26八年级上江西·期末)整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法 (x+p)(x+q)=x2+(p+9)x+p9,‘反过来为x2+(p+9)x+p9=(x+p(x+q),恰好是因式分解.基于上 述原理，将式子x2-x-6分解因式如下： x2-x-6 二次项x2 常数项-6分 分解为xx 解为2×(-3) 一次项-x=x(-3)+x·2,①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项x:2+x:(一3)=-x;③横 向写出两因式：x2-x-6=(x+2)(x-3)」 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：x2-3x+2= (②)若x2+px-8可分解为(x+ax+b)(a,b均为整数)，求出整数p的所有可能值有哪些？ 10.(25-26八年级上：重庆九龙坡期末)阅读材料： 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分解因式(x+3x-3)(x2+3x+4)-8 观察代数式：代数式中有两部分都包含x2+3x,因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量： t=x2+3x.进行换元：将1代入原代数式，则原代数式变为(-3)+4)-8，进一步化简得到t2+t-20. 先对代数式+t-20进行因式分解： ①竖分二次项与常数项：？=t-t,-20=(+5)×(-4) ②交叉相乘，验中间项： >51-4= ③横向写出两因式，得到2+t-20=(t+5)(t-4) 以上对代数式+t-20进行因式分解的过程叫十字相乘法，其要领可简称为“竖乘得首尾，叉乘凑中项”· 将1=x2+3x代回原式得（x2+3x-3)(+3x+4)-8=(x+3x+5)(x2+3x-4),进一步因式分解，得到 (x2+3x-3)(x2+3x+4)-8=(x2+3x+5)(x+4)(x-1). 上述因式分解用到了“换元法”和“十字相乘法”.请同学们根据阅读材料提供的解决问题的思想与方法 以及平时所积累的学习经验，对以下式子进行因式分解： (1)2x2-3x-2: (②)(x2+x+10(x2+x+2）-12 11.(25-26八年级上山西阳泉·期末)阅读与理解 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现八年级上册教材133页有一种因式分解的方法叫十字相乘法， 即(x+p)(x+q)=x2+(p+9)x+p9,则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式x+5x+6因式分 解成(x+2)(x+3),松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常 数项6分成两个整数的积，且这两个整数的和等于5才可以，即P9=6,p+9=5,则口算就可以得到 p=2,9=3或p=3,9=2,然后再将p与9的值代入式子(x+P)x+9)中即可得到(x+2)(x+3).” (①)按照以上方法，若2-5x+6=(x-2x-3),那么二次三项式x2+7x+10应如何分解呢？ x2+7x+10= (2)请你帮松松完成这个因式分解的题目吧：2x2-4x-16; (3)在松松，南南的共同努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，为了锻炼大家的思维，老师准备了一 道拓展思考题：若x2+mx-18可分解为两个一次因式，且m为整数，求的所有可能值.请你帮他们一起 完成这个题吧. 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26八年级上陕西安康期末)材料：如何将x+(p+9)x+p9型的式子分解因式呢？我们知道 (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+p9,所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得： x2+(p+9）x+P9=(c+p)(x+q）.例如：(c+1)(x+2)=x2+3x+2,x2+3x+2=(x+1)(x+2). 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下 角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项 的系数，如图： 1×2+1×1=3 这样，我们可以得到：x2+3x+2=(x+1)(x+2). 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将x2+5x+6分解因式的结果为， (2)用十字相乘法将x2-3x-4分解因式的结果为 (3)若x2+px-15利用十字相乘法可分解为(r+a(x+5)(a,p均为整数)，求a和p的值. 题型四、分组分解法因式分解 13.(25-26八年级上陕西渭南期末)【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 例如：分解因式+9y-15x2y2 解：原式=x4-6x2y2+9y4-9x2y2 =(x4-6xr2y2+9y）-(3xy)月 =(x2-3y2）2-(3xy)月 =(x2-3y2+3xy)x2-3y2-3xy). 像这样分解因式的方法叫做拆项法.请用以上方法分解因式：x+49y-30x2y2, 14.(25-26八年级上·山东泰安期末)八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将 2a-3ab-4+6b因式分解. 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解法一：原式=(2a-3ab)-(4-6b)=a(2-3b)-2(2-3b)=(2-3b)(a-2) 解法二：原式=(2a-4)-(3ab-6b)=2(a-2)-3b(a-2)=(a-2)(2-3b) 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式 法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法在代数式的化简、求值及方程函数等学习 中起着重要的作用.（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】(1)请用分组分解法将x2-a2+x+a因式分解。 【挑战】(2)请用分组分解法将ar+a2-2ab-bx+b因式分解. 15.(25-26八年级上·山东临沂期末)在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲：x2-y+4x-4y 乙：a2-b2-c2+2bc =(x2-y)+(4x-4y）(分成两组) =a2-(b+c2-2bc)(分成两组)=a2-(b-c月 =x(x-y)+4(x-y)(直接提公因式) (直接运用公式)=(a+b-c)(a-b+c) =(x-y)(x+4) 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：a2+b2-9-2ab: (2)若a-b=-5,b-c=3,求式子ab-bc+ac-a2的值. 16.(25-26八年级上江西赣州期末)阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多 项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解. 例1：“两两分组”： ax+ay+bx+by 解：原式=(ar+ay)+(br+by) =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 例2：“三一分组” 2xy+x2-1+y2 解：原式=x2+2xy+y2-1 =(x+y)2-1 =(x+y+1)(x+y-1) 6113 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解。请同学们在 阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)因式分解： ①x2-xy+5x-5y:②x2-2x+1-y2 (2)已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足ab-ac=b-bc.试判断△ABC的形状. 题型五、因式分解的应用 17.(25-26八年级上·福建泉州期末)深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整 数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以 表示为两个正整数的平方差.为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于(3+1)-(（3-1)°=16-4=12,12÷4=3即能被4整除： 而且3×1=2-12，可以表示为2和1的平方差.所以结论正确. (1)若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证： 【规律探究】设两个正整数m,n,且m和n同为奇数或同为偶数，试证明： (2)(m+n)-(m-m)是4的倍数： (3)mn可以表示为两个正整数的平方差. 18.(25-26八年级上江苏泰州期末)数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转 化来解决问题的思想.利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系。 小亮同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形卡片若干张.他用1张A,1张B和2张C卡片拼出一个新 的图形（如图2）.根据图2的面积关系可得等式：a2+2ab+b=(a+b)',即使用拼图将a2+2b+b分 解因式. B 5 b 图1 图2 图3 (1)若小刚拼成的长方形长是(a+2b),宽是(a+b),则需要B卡片 张，C卡片张： (2)动手操作，依照小刚的方法，在图3的方框中画出面积为a2+4ab+3b的长方形拼图，并利用拼图分解 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因式a2+4ab+3b2」 19.(25-26八年级上四川泸州期末)阅读下面的因式分解的过程： m23-m2+2m-2=(m3-m2）+(2m-2）=m2(m-1)+2(m-1)=(m-1)(m2+2）, m3-m2+2m-2=(m3+2m）-(m2+2）=m(m2+2）-(m2+2）=(m-1)(m2+2） 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： (1)分解因式：a3-3a2-4a+12: (2)已知p+q=-3,求p2+3p-92-39的值： (3)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a2-ab+bc-c2=2a2-2ac,证明△ABC是等腰三角形. 20.(25-26八年级上：江西宜春·期末)【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方 式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求 值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用. 例1：因式分解：a2+6a+8. 解：原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3-1)(a+3+1)=(a+2)(a+4). 例2：若M=a2-2ab+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值. 解：a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b2+(b-12+1, (a-b)2≥0，(b-1)2≥0， ∴.当a=b=1时，M有最小值1. 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：a2-12a+35= (2)已知a2+2b2+c2-2ab+4b-6c+13=0,求a+b+c的值. (3)已知P=x2-y2+6x-1,Q=2x2+4y+13,试比较P,Q的大小. (④若a,b为有理数且满足ab=a+b,P=a2-4ab+b2+11,求P的最小值. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上江苏泰州期末)如果14-1能被n整除，则n的值不可能是() 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.13 C.14 D.15 2.(25-26八年级上贵州遵义·期末)已知长方形的长是4，宽是b,它的长与宽的和为7，面积为10.则 a2b+ab2的值为（) A.140 B.70 C.35 D.24 3.(25-26八年级上湖南郴州期末)若3x-2y=a,x-4y=b,则(x+y-(2x-3y)的值为() A.ab B.-ab C.a2+b2 D.a2-b2 4.(25-26八年级上山东东营·期末)小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y,a2-b2分别对应下列六个字：河、爱、我、仙、游、美，现将 (x2-y2)a2-(x2-y2)b因式分解，结果呈现的密码信息可能是（) A.我爱美 B.仙河游 C.我爱仙河 D.美我仙河 二、填空题 5.(25-26八年级上山西吕梁期末)因式分解：a(b-c)-3(c-b)= 6.(25-26八年级上四川遂宁期末)已知：k+2y+5+(x-2y-2=0,则x2-4y2= 7.(25-26八年级上广东云浮期末)已知M=(a+b)(a-2b),N=-3b(a+2b)(ab≠0)，则M与N的大 小关系是一 8.(25-26八年级上·安徽铜陵期末)如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是 边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小 长方形，且a>b a b b b a (1)观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b可以因式分解为 (2)若图中阴影部分的面积为162平方厘米，大长方形纸板的周长为60厘米，图中空白部分的面积为 三、解答题 9.(25-26八年级上广东湛江期末)阅读下列材料： 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分 解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式(x2-9)(x2+1)+25进行因 式分解的过程 解：设x2=y, 原式=(y-9)y+1)+25(第-步) =y2-8y+16(第二步) =(y-4)(第三步) =(x2-4)(第四步) 请根据上述材料回答下列问题： ()小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的： A.提取公因式法B.平方差公式法 C.完全平方公式法 (②)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： ①(x2+2x)(x2+2x+2）+1 ②(x2+3x+3(x2+3x-1)+3 10.(25-26八年级上山东滨州期末)请阅读下列材料，并完成相应的任务： 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这 是数学解题的一个重要原则.” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的 和的形式.配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛 应用 一、配方法在因式分解中的应用 二、配方法在求最值问题中的应用 例1因式分解：x2+4x-5 例2求2x2-4x+1的最小值. 解：原式=x2+4x+4-4-5第一 解：原式=2(x2-2x)+1 步 =2[(x2-2x+1)-1]+1 =(x+2)2-9第二步 =(x+2+3)(x+2-3)第三步 =2[6x-102-1+1 10/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2(x-1)2-2+1 =2(x-102-1 =(x+5)(x-1)第四步 (x-1)2≥0， .当(x-1)2=0,即x=1时，2x2-4x+1的值最小，最小值为 2×0-1=-1. 任务： (I)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是 (用等式表示) (2)用配方法将x2+6x+8因式分解. (3)用配方法求：当x为何值时，代数式2x2+8x-4的值最小，最小值是多少. (4)当x=时，代数式-2x2+6x-3有最」 值，是 11.(2425八年级上福建泉州期中)阅读下列材料： 将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：x2=xx,-35=(-5)×(+7). ②交叉相乘，验中项：之+7→7x-5x ③横向写出两因式：x2+2x-35=(x+7)(x-5). 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法. 试用上述方法分解因式： (1)x2+5x+4: (②)x2-6x-7: (3)x2-6x+8: (④2x2+x-6, 12.(25-26八年级上·福建龙岩·期末)如果一个正整数m能表示为两个正整数的平方差，那么就称正整数 m为“可乐数”.例如：3=2-1P,8=32-1,64=102-6,所以3,8,64都是“可乐数”. (1)在正整数：①12；②15；③18中，是“可乐数”的有-；（填序号） (2)求证：当正整数n≥1时，m=2n+1是“可乐数”； (3)把所有的“可乐数”从小到大排列，求第2026个“可乐数”， 13.(25-26八年级上江西赣州期末)【阅读理解】 例题：若m2+2mn+2n2-4n+4=0,求m和n的值： 11/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：由题意得：(m2+2mn+n2)+(n2-4n+4)=0, (m+n2+(n-2}=0, [m+n=0 [m=-2 n-2=0,解得n=2 【问题解决】 (1)若x2+4y+5y2-4y+4=0,求x+y的值： (②)若a,b,c是△ABC的边长，满足a+b2=12a+8b-52,c是△ABC的最长边，且c为偶数，则c可能是 哪几个数？ 14.(25-26八年级上·湖北襄阳·期末)我们已经知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法.但某 些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解.下面是甲、乙两名同学对多项式进行因式分解的过程， 甲：x2+y-2x-2y 乙：a2-b2+2b-1 =(x2+xy)-(2x+2y)(先分成两组) =a2-(（b2-2b+1）(先分成两组)=a2-(b-1)月 =x(x+y)-2(x+y) =(x+y)(x-2) =(a+b-1)(a-b+1). 甲、乙两名同学分解因式的方法叫作分组分解法. 请结合甲、乙两名同学分解因式的方法，解答下列问题： (1)分解因式：m2-n2+m+n (2)若a-b=4,a-c=2,求ab-bc+ac-a2的值. (3)已知a、b、c为等腰三角形ABC的三边长，且a2+10b2-6ab-2b+1=0,求△ABC的周长. 15.(25-26八年级上河南南阳期末)在计算多项式乘法时， (a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+ab-ab2+b°，发现中间多项都可以消掉，进而得到 (a+b)(a2-ab+b2)=d+b,大家给这个式子起名叫作“立方和公式”，那么就可以利用“立方和公式” 进行分解因式，d+b=(a+b(a2-ab+b2).如果将B转化为(-b),就会得到 a3-b=a+(-b=[a+(-b)]a2-a(-b)+(-b],整理得d-6=(a-b)(a2+ab+b'）,那么这个式子就 应该叫作“立方差公式”了. ()请你利用“立方和公式”和“立方差公式”完成下列等式： ①分解因式：x2+8=一；②填空：（3m-2)()=27m3-8: (②计算：(c+0x-10x+x+r-x+1）=一 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若a2+b2=15,ab=5,求a3+b3的值. 13/13 专题02 特殊的因式分解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用整体法因式分解 1 题型二、利用完全平方公式因式分解求最值 3 题型三、十字相乘法因式分解 7 题型四、分组分解法因式分解 11 题型五、因式分解的应用 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用整体法因式分解 1．（25-26八年级上·河北张家口·期末）将下列各式分解因式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是关键． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 2．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）提取公因式即可分解因式； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26八年级上·江苏南通·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解题的关键． （1）先确定公因式，再提取即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再提公因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 4．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先把原式变形为，再提取公因式，最后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二、利用完全平方公式因式分解求最值 5．（25-26九年级上·河北保定·月考）阅读下面的材料并解答后面的问题． 小冰：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小华：能，求解过程如下： ． 因为，所以的最小值是． 问题：你能求出的最小值是__________． 【答案】2025 【分析】本题考查了用完全平方公式因式分解的应用，熟练掌握用完全平方公式因式分解是解题的关键． 根据阅读材料，先现进行配方，得到结果，再根据平方式的非负性求解即可． 【详解】解：， 因为， 所以的最小值是2025． 6．（25-26八年级上·甘肃定西·期末）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， ∴多项式的最小值是4． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是______； 当取最小值4时，______，______． (2)求多项式的最小值． 【答案】(1)完全平方公式，， (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式以及完全平方数的非负性是解题的关键． （1）观察例题分解过程，确定用到的公式，再根据完全平方数的非负性求出、的值； （2）通过配方法将多项式转化为含有完全平方的形式，再根据完全平方数的非负性求最小值． 【详解】（1）解：过程中使用了完全平方公式． ， 当，时，式子取到最小值， 此时，，，； （2）解： ， ，， ， ∴当且仅当时，有最小值． 7．（25-26八年级上·广西北海·月考）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ∵， ∴当时，的值最小，最小值为0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为1984， ∴代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)根据上面材料学习的方法进行下列题目的分解因式： ①； ② (2)若，求的最小值； 【答案】(1)①；② (2)的最小值28 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式以及平方差公式，准确理解题意的配方法是解题的关键． （1）①根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可；②根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可； （2）根据题例进行配方，根据平方大于等于0的性质进行判断即可． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解： ， ∵， ∴当时，的值最小，最小值为0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为28， ∴的最小值是28． 8．（24-25八年级下·广东梅州·月考）我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当，时，原式有最小值，最小值为5 (3)当时，原式有最小值，最小值为23． 【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答； （3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴当，时，有最小值，最小值为5． 即，时，原式有最小值，最小值为5． （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即当时，原式有最小值，最小值为23． 题型三、十字相乘法因式分解 9．（25-26八年级上·江西·期末）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)7或或2或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘再相加得到，据此可得答案． （2）把展开，得出，，把分解成两个整数的乘积形式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数，且， ∴或或或或或或或 ∴或或或或或或或 ∴整数p的所有可能值为7或或2或． 10．（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）阅读材料： 分解因式． 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量：．进行换元：将t代入原代数式，则原代数式变为，进一步化简得到．先对代数式进行因式分解： ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式，得到． 以上对代数式进行因式分解的过程叫十字相乘法，其要领可简称为“竖乘得首尾，叉乘凑中项”． 将代回原式得，进一步因式分解，得到． 上述因式分解用到了“换元法”和“十字相乘法”．请同学们根据阅读材料提供的解决问题的思想与方法以及平时所积累的学习经验，对以下式子进行因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，整体思想，换元思想，十字相乘法，掌握换元法和十字相乘法是解题的关键． （1）模仿示例方法直接利用十字相乘法进行因式分解即可； （2）模仿示例，利用换元法逐步进行因式分解即可． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式， （2）解：设，则原代数式化为， 对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解得到 所以，． 11．（25-26八年级上·山西阳泉·期末）阅读与理解 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现八年级上册教材133页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项6分成两个整数的积，且这两个整数的和等于5才可以，即，，则口算就可以得到，或，，然后再将p与q的值代入式子中即可得到．” (1)按照以上方法，若，那么二次三项式应如何分解呢？ ________； (2)请你帮松松完成这个因式分解的题目吧：； (3)在松松，南南的共同努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，为了锻炼大家的思维，老师准备了一道拓展思考题：若可分解为两个一次因式，且m为整数，求m的所有可能值．请你帮他们一起完成这个题吧． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（）根据题意中十字相乘的方法即可求解； （）先提“” ，再用十字相乘的方法即可求解； （）根据十字相乘的方法把分成两个整数的积，再求这两个整数的和即可； 此题考查了利用十字相乘法因式分解，解题的关键是正确理解和掌握十字相乘法因式分解的应用． 【详解】（1）解：二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后将与的值代入式子中即可得到， 故答案为： （2）解： ， ； （3）解：∵， ，，，，，， ∴可能为：，，． 12．（25-26八年级上·陕西安康·期末）材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的因式分解： （1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解：由题意得， 均为整数， ， ． 题型四、分组分解法因式分解 13．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 例如：分解因式． 解：原式 ． 像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 14．（25-26八年级上·山东泰安·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法在代数式的化简、求值及方程函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解． 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是正确运用分组分解法进行因式分解． （1）根据题意，得，提取公因式解答即可； （2）根据题意，得，后因式分解解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：根据题意，得 ． 15．（25-26八年级上·山东临沂·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组）（直接提公因式） 乙： （分成两组）（直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查用分组分解法分解因式，分组分解时往往还要用到提公因式法和公式法，首先观察给出的多项式，将多项式进行适当的分组，使分成的各组中有公因式或可以用公式分解；然后要再用提公因式法或公式法进行分解，注意因式分解要分解到不能分解为止． （1）把前两项和第四项结合后利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式因式分解； （2）先对式子进行分组分解，把已知的两式相加得，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵，， ∴， ∴原式． 16．（25-26八年级上·江西赣州·期末）阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例：“两两分组”： 解： 原式 例：“三一分组” 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)因式分解： ； (2)已知，，是的三边长， 且满足．试判断的形状． 【答案】(1)①；② (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题关键； （1）①两两分组进行因式分解；②三一分组进行因式分解； （2）移项后两两分组进行因式分解求得的关系即可． 【详解】（1）解：①原式 ； ②原式 ； （2）解：， ， ， ∴或， 即：或， ∴是等腰三角形． 题型五、因式分解的应用 17．（25-26八年级上·福建泉州·期末）深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于即能被4整除； 而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确． （1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证； 【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明： （2）是4的倍数； （3）可以表示为两个正整数的平方差． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题目模仿即可解答； （2）运用平方差公式求出结果即可得证； （3）由（2）可得，再进行说明即可． 【详解】解：（1）即能被4整除， 结果是4的倍数， 又， 可以表示为3和1的平方差， 故验证结论正确； （2）证明：， 且均为正整数， 是4的倍数； （3）由（2）可知，， 的奇偶性相同，不妨设， 都是正偶数， 和都是正整数， 一定能表示为两个正整数的平方差． 18．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的思想．利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系． 小亮同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形卡片若干张．他用张，张和张卡片拼出一个新的图形（如图）．根据图的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)若小刚拼成的长方形长是，宽是，则需要卡片张，卡片______张； (2)动手操作，依照小刚的方法，在图的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 【答案】(1)， (2)图见解析， 【分析】此题考查多项式乘以多项式计算法则，多项式因式分解， （1）计算长方形的面积，即可得到所需B卡片，C卡片的数量；    （2）根据因式分解方法分解即可． 【详解】（1）解：拼成的一个长为，宽为的大长方形的面积为， ∵B卡片面积为，C卡片面积为， ∴需要B卡片2张，C卡片3张； （2）解：如图 19．（25-26八年级上·四川泸州·期末）阅读下面的因式分解的过程： ， 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长分别为a，b，c，且满足，证明是等腰三角形． 【答案】(1) (2)0 (3)是等腰三角形． 【分析】（1）分组分解，前两项提取公因式，后两项提取，得到，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可； （2）分组分解，前两项用平方差公式，后两项提取3，得到，提取公因式，代入计算即可； （3）移项整理等式，分组分解后提取公因式，得到，根据三角形边长性质，推出即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， 即， ， ， ， ∵的三边长分别为a，b，c， ∴， 即， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 20．（25-26八年级上·江西宜春·期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：________； (2)已知，求的值． (3)已知，，试比较，的大小． (4)若为有理数且满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)3 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用． （1）找到常数项为一次项系数一半的平方，然后整理成完全平方公式，再运用公式法进行分解因式，即可作答； （2）根据完全平方公式因式分解，再根据非负数的性质，求得的值，代入代数式，即可求解； （3）根据因式分解求得，根据例2的方法，即可求解； （4）根据因式分解可得，同例2的方法，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：． （2）， ， ， 又，，， ，，， ，， ． （3），， ，， ． （4）解：， ， ， 当时，有最小值，最小值为3，此时满足， 故答案为：3． 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如果能被n整除，则n的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分解因式，掌握平方差公式是解题的关键． 利用平方差公式对进行因式分解，分析其因数，即可求解． 【详解】解：根据因式分解，可得， 的因数为2和7，而中不含因数2和7， 不能被整除，即n的值不可能是． 故选：C． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知长方形的长是a，宽是b，它的长与宽的和为7，面积为10．则的值为（   ） A．140 B．70 C．35 D．24 【答案】B 【分析】由题意可得，，再对进行因式分解，最后代入求值即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用平方差公式分解因式、整体代入法求代数式的值，先利用平方差公式对所求代数式进行因式分解，可得：原式，再将分解后的式子与已知条件建立联系，代入计算即可得出结果. 【详解】解： ， ，， 原式 ． 故选：B． 4．（25-26八年级上·山东东营·期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：河、爱、我、仙、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．仙河游 C．我爱仙河 D．美我仙河 【答案】C 【分析】先对原式进行因式分解，再根据因式与汉字的对应关系得到密码信息即可． 【详解】解：∵ ， ∵对应我，对应爱，对应仙，对应河， ∴结果呈现的密码信息可能是：我爱仙河． 二、填空题 5．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法进行因式分解，先将式子中互为相反数的因式转化为相同形式，确定公因式，再利用提公因式法进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·四川遂宁·期末）已知：，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，利用平方差公式分解因式； 根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零，则每个部分均为零，得到，，然后直接利用因式分解求值． 【详解】解：∵， ∴，且， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知，，则M与N的大小关系是__． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用、整式的乘法混合运算，利用作差法比较大小是解题的关键． 通过计算与的差，并化简表达式，利用完全平方公式判断其符号，即可得出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． （2）若图中阴影部分的面积为162平方厘米，大长方形纸板的周长为60厘米，图中空白部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握等积法是解题的关键： （1）根据等积法得到代数式是边长为，的长方形的面积，即可得出结果； （2）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由题意，； 故答案为：； （2）由题意，， 即， ∴， ∴， ∴空白部分的面积为． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 【答案】(1)C (2) (3)； 【分析】本题考查了因式分解的换元法，公式法，提公因式法，十字相乘法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）①仿照材料中求解方法，设，用换元法、公式法进行分解因式即可； ②设，用换元法、提公因式法、十字相乘法进行分解因式即可． 【详解】（1）解：由可知，小涵同学运用了完全平方公式法进行因式分解， 故答案为：C； （2）， 该因式分解的最后结果为：， 故答案为：； （3）①设， ； ②设， ． 10．（25-26八年级上·山东滨州·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是_______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当______时，代数式有最_______值，是_________． 【答案】(1)，； (2)； (3)当时，有最小值，最小值为； (4)，大，． 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式的应用． （1）根据完全平方公式、平方差公式作答即可； （2）仿照例1作答即可； （3）仿照例2作答即可； （4）仿照例2作答即可． 【详解】（1）解：例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是，， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． ， ， ∴当时，有最小值，最小值为； （4）解： ， ， 当时，有最大值，最大值为． 故答案为：，大，． 11．（24-25八年级上·福建泉州·期中）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】该题主要考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解题意． （1）根据题干方法解答即可； （2）根据题干方法解答即可； （3）根据题干方法解答即可； （4）根据题干方法解答即可； 【详解】（1）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （2）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （3）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （4）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． 12．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称正整数为“可乐数”．例如：，所以3，8，64都是“可乐数”． (1)在正整数：①12；②15；③18中，是“可乐数”的有 ；（填序号） (2)求证：当正整数时，是“可乐数”； (3)把所有的“可乐数”从小到大排列，求第2026个“可乐数”． 【答案】(1)①② (2)见解析 (3)2704 【分析】本题考查了新定义“可乐数”以及平方差公式的运用． （1）根据“可乐数”的定义解答即可； （2）根据解答即可； （3）由（2）可知，所有不小于3的正奇数都是“可乐数”，若偶数是“可乐数”，根据 与的奇偶性相同，可得是偶数，则一定是4的倍数，且，所有的“可乐数”从小到大排列为：，进而得到当时，所有“可乐数”可以表示为，当时，分别是第个“可乐数”，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴12，15是“可乐数”， ∵18不能表示为两个正整数的平方差， ∴18不是“可乐数”； 即“可乐数”的有①②； （2）解：证明：∵， ∴ 即能表示为两个正整数和的平方差， ∴当正整数时，是“可乐数”． （3）解：由（2）可知，所有不小于3的正奇数都是“可乐数”， 若偶数是“可乐数”，则存在正整数，使得， ∴， ∵与的奇偶性相同， ∴是偶数， 因为是偶数，且与的奇偶性相同， 所以与均为偶数，故一定是4的倍数 所有的“可乐数”从小到大排列为：， 当时，所有“可乐数”可以表示为， 当时，分别是第个“可乐数”， ∵， ∴第2026个“可乐数”为． 13．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【阅读理解】 例题：若，求和的值； 解：由题意得：， ， ，解得 【问题解决】 (1)若，求的值； (2)若是的边长，满足是的最长边，且为偶数，则可能是哪几个数？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先因式分解将变形为，再根据非负数的性质，求出，，最后代入求值即可； （2）先因式分解将变形为，再根据非负数的性质得出，然后根据三角形三边关系得出，最后根据c为最长边，且c为偶数，得出答案即可． 【详解】（1）解：， ． ． ． ，， ． （2）解：， ， ， ∴，， 解得：， ， 即， 又为最长边， ． 为偶数， 或． 14．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）我们已经知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法．但某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两名同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） 乙： （先分成两组）． ． 甲、乙两名同学分解因式的方法叫作分组分解法．请结合甲、乙两名同学分解因式的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)若，求的值． (3)已知为等腰三角形的三边长，且，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分组分解法，因式分解的应用，等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）前两项一组，后两项一组，利用平方差公式法和提公因式法进行因式分解即可； （2）前两项一组，后两项一组，利用分组分解法进行因式分解后，整体代入法求值即可； （3）等式左边利用分组分解法，转化为两个完全平方的和的形式，根据非负性，求出的值，根据等腰三角形的定义，分类讨论进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴原式； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等腰三角形， ∴当时，，满足题意，此时等腰三角形的周长为； 当时，，不能构成三角形，不符合题意； 综上等腰三角形的周长为7． 15．（25-26八年级上·河南南阳·期末）在计算多项式乘法时，，发现中间多项都可以消掉，进而得到，大家给这个式子起名叫作“立方和公式”，那么就可以利用“立方和公式”进行分解因式，．如果将转化为，就会得到，整理得，那么这个式子就应该叫作“立方差公式”了． (1)请你利用“立方和公式”和“立方差公式”完成下列等式： ①分解因式：_____；②填空：（_____）； (2)计算：_____； (3)若，，求的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握立方和与立方差公式是解题的关键． （1）根据立方和公式和立方差公式逐一进行作答即可； （2）根据立方和公式和立方差公式逐一进行作答即可； （3）利用立方和公式进行因式分解后，整体代入法求值即可． 【详解】（1）解：①； 故答案为： ②； 故答案为：； （2）解： ； 故答案为：； （3）解：由条件可知， ∴， ∵， ∴当时，； 当时，； 故的值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $