第一章 因式分解（复习课件）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了因式分解的概念、方法及应用，通过知识图谱将整式乘法逆运算关系、提公因式法、公式法等核心内容串联，构建“概念认知-方法掌握-应用拓展”的递进知识体系。 其亮点在于采用“基础题型-综合应用-拓展提升”分层设计，如通过几何图形面积验证平方差公式培养几何直观，利用因式分解解决整除问题发展推理意识，帮助学生巩固知识，教师可高效备课提升复习针对性。

单元复习课件 第一章 因式分解 新教材鲁教版五四制·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.精准掌握因式分解定义及与整式乘法的逆运算关系，明确公因式确定原则；熟练运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式，牢记“一提二套三查”步骤，确保分解彻底，规避漏提公因式等易错点。 3.将因式分解与整式化简、方程求解、代数式求值等知识关联，简化计算与推理；运用逆向、整体等思想解决整除性判断、实际应用等问题，体会实用价值，为后续代数学习筑牢基础。 2. 提升观察多项式项数、系数、结构特征的能力，能快速选择合适分解方法；强化运算准确性与验证推理能力，规范书写步骤，通过整式乘法逆向验证结果，形成严谨思维。 单元学习目标 与整式乘 法的关系 多项式 几个整式的积的形式 方法 提公因式法 步骤 1.提公因式法 2.运用公式法 a2±2ab+b2=(a±b)2 因式分解 公式法 a2-b2=(a+b)(a-b) 三变：改变形式 四查：用整式乘法检验一遍，必须分解彻底 注意事项 二套：灵活选择合适的方法 一提：优先提公因式 步骤：找公因式，提公因式 依据：am+bm+cm=m(a+b+c) 因式分解 整式乘法 单元知识图谱 知识点一、因式分解的概念 1.把一个多项式化成几个整式的　____的形式，叫做多项式的_________，也叫将多项式__________. 2.因式分解的过程和整式乘法的关系 因式分解 乘积 分解因式 整式乘法与分解因式是互逆运算 整式乘法 分解因式 和的形式 积的形式 考点串讲 知识点二、提公因式法分解因式 1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个多项式各项_______，简称多项式的________. 2. 公因式的确定： (1)定系数：多项式各项整数系数的 ___； (2)定字母：多项式各项　 　的字母（多项式）； (3)定指数：取相同字母或多项式中次数最　　__的． 公因式 公因式 最大公约数 相同 最低 3.定义：逆用乘法对加法的______律，可以把_______写在括号外边，作为积的一个_______，这 种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法. 分配 公因式 因式 考点串讲 知识点三、公式法分解因式 （一）平方差公式 1.因式分解中的平方差公式 a2－b2＝　 　； 2.多项式的特征：(1)可化为个____整式； (2)两项负号______； (3)每一项都是整式的______. 3.注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式; (2)进行到每一个多项式都不能再分解为止. 两 相反 平方 (a＋b)(a－b) 考点串讲 知识点三、公式法分解因式 （二） 完全平方公式 1.完全平方公式：a2+2ab+b2=( )2 a2 -2ab+b2=( )2 2.多项式的特征： (1)三项式； (2)有两项符号_____,能写成两个 整式的_________的形式； (3)另一项是这两整式的______的 _____倍. 3.注意事项：有公因式时，应先提出_______. a+b a-b 相同 平方和 乘积 2 公因式 考点串讲 知识点四、十字相乘法分解因式（拓展知识） x2 + (p + q)x + pq x x p q x2 + (p + q)x + pq=(x+p)(x+q) 注意：1.拆两边；2.十字交叉相乘再相加；3.是否等于中间项. 二次项系数为1时 这种把二次多项式因式分解的方法叫作十字相乘法. 考点串讲 知识点四、十字相乘法分解因式（拓展知识） dex²＋(em＋dn)x＋mn dx ex m n dex²＋(em＋dn)x＋mn =(dx+m)(ex+n) 二次项系数不为1时 考点串讲 知识点五、分组法分解因式（拓展知识） 2.四项式的分组分式： 二、二分组：既可运用提公因式法，又可将平方差公式和提公因式法混合使用.（如x2y2+ax+ay ）。 一、三分组：主要运用完全平方公式和平方差公式。 (如a2+2ab+b2c2 ) 1.利用分组来分解因式的方法叫作分组分解法。 考点串讲 题型一、概念辨析 1.判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由： (1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a; (2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10; (3)x2-6x+9=(x-3)2; (4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2. 不是 不是 是 不是 2．式子n2－1与n2＋n的公因式是( ) A．n＋1 B．n2 C．n D．n－1 A 题型剖析 （1）多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式； （2）右边的因式都是整式； （3）判断过程要从左到右保持恒等变形 方法技巧 题型一、概念辨析 题型剖析 题型一、概念辨析 4．下列各组多项式中，没有公因式的是 ( ) A．ax－bx和by－ay B．3x－9xy和6y2－2y C．x2－y2和x－y D．a＋b和a2－2ab＋b2 D 3．下列因式分解正确的是 ( ) A．x2＋y2＝(x＋y)2 B．x2＋2xy＋y2＝(x－y)2 C．x2＋x＝x(x－1) D．x2－y2＝(x＋y)(x－y) D 题型剖析 题型一、概念辨析 5.下列多项式：①－x2＋16y2，②81（a2－2ab＋b2）－（a＋b）2，③m2－mn＋n2，④－x2－y2能用公式法因式分解的有（　C　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 题型剖析 题型二、提公因式法分解因式 1.把下列各式因式分解(口答) （1）3x+x3 （2）7x3 - 21x2 （3）-4x3+12x2 - 28x =x(3+x2) =7x2(x-3) （4）4m3 - 6m2 （5）a2b - 5ab+9b （6）-a2+ab - ac （7）-2x3+4x2 - 6x =-4x(x2-3x+7) =2m2(2m-3) =b(a2-5a+9) =-a(a-b+c) =-2x(x2-2x+3) 题型剖析 题型二、提公因式法分解因式 2.把下列多项式分解因式： (1)-3x2+6xy-3xz； (2)3a3b+9a2b2-6a2b. 解：-3x2+6xy-3xz =(-3x)·x+(-3x)·(-2y)+(-3x)·z =-3x·(x-2y+z). 3a3b+9a2b2-6a2b =3a2b·a+3a2b·3b-3a2b·2 =3a2b(a+3b-2) 题型剖析 题型二、提公因式法分解因式 (3)x(x－y)2－y(x－y)； 解：原式＝(x－y)(x2－xy－y) (4)x(x2－xy)－(4x2－4xy)； 解：原式＝x2(x－y)－4x(x－y)＝x(x－y)(x－4) (5)2a(x－2y)2－3b(2y－x)3. 解：原式＝(x－2y)2(2a＋3bx－6by) 题型剖析 题型二、提公因式法分解因式 3.已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值. 解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12. 4. 当x＝1，m＝3时，求4x(m－2)－5(2－m)的值． 解：4x(m－2)－5(2－m)＝(m－2)(4x+5). 当x＝1，m＝3时，原式＝(3－2)(4×1+5)＝－9 5.计算：13.8×0.125+86.2× 解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125 =0.125×(13.8+86.2) =0.125×100=12.5 题型剖析 1.公因式：要提尽； 2.不要漏项； 3.首项有负常提负，要注意变号 4.分解因式是一种恒等变形； 5.公因式既可以是单项式的形式，也可以是多项式的形式. 方法技巧 题型二、提公因式法分解因式 题型剖析 6.以下四种变形是否正确. 正确 正确 错误 错误 题型二、提公因式法分解因式 题型剖析 方法技巧 题型二、提公因式法分解因式 （1）a-b与b-a互为相反数. （2）a+b与-a-b互为相反数. (a-b)ⁿ =(b-a)ⁿ （n是偶数） (a-b)ⁿ =-(b-a)ⁿ （n是奇数） (-a-b)ⁿ =(a+b)ⁿ （n是偶数） (-a-b)ⁿ =-(a+b)ⁿ （n是奇数） 当公因式为多项式时： 题型剖析 题型三、公式法分解因式 1. 把下列各式分解因式： (1) 16a2-9b2=_________________; (2) (a+b)2-(a-b)2=_________________; (3) 9xy3-36x3y=_________________; (4) -a4+16=_________________. (4a+3b)(4a-3b) 4ab 9xy(y+2x)(y-2x) (4+a2)(2+a)(2-a) 把下列各式因式分解： (1)7x²－63； (2)a³－a； (3)3a²－3b²； (4)y²－9(x+y)²； 2. 解：(1)7x²－63=7(x²－9)=7(x+3)(x－3)； (2)a³－a=a(a²－1)=a(a+1)(a－1)； (3)3a²－3b²=3(a²－b²)=3(a+b)(a－b)； (4)y²－9(x+y)²=(y－3x－3y)(y+3x+3y)=－(3x+2y)(4y+3x)； 题型剖析 题型三、公式法分解因式 3.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值． 原式=-40×5=-200． 解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n) =(4m+n)(3n-2m) =-(4m+n)（2m-3n)， 当4m+n=40，2m-3n=5时， 题型剖析 题型三、公式法分解因式 4. (1)已知m＋n＝10，m－n＝2，求m2－n2的值； 解：∵m＋n＝10，m－n＝2， ∴m2－n2＝(m＋n)(m－n)＝10×2＝20 (2)已知a＋b－4＝0，a2－b2＝8，求a－b的值． 解：由a＋b－4＝0，得a＋b＝4， ∵a2－b2＝8， ∴(a＋b)(a－b)＝8，即4(a－b)＝8， ∴a－b＝2 题型剖析 题型三、公式法分解因式 5. (1)992-1能否被100整除吗？ ∵n为整数 ∴(2n+1)2-25能被4整除. (2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？ ∴992-1能否被100整除. (2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5) =(2n+6)(2n-4) =2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2). 解：(1)∵ 992-1=(99+1)(99-1)=100×98， 题型剖析 题型三、公式法分解因式 1. 因式分解：(1)a2－24a＋144＝__________； (2)a2b2＋2ab＋1＝___________； (3)(a＋b)2－4(a＋b)＋4＝____________． (a－12)2 (ab＋1)2 (a＋b－2)2 2(1)若100x2-kxy+49y2 是一个完全平方式，则k=________. (2)若x2+10x+m是一个完全平方式,则m=________. (3)若k2x2-20x+25是一个完全平方式，则k=______ 25 ±140 ±2 题型剖析 题型三、公式法分解因式 3. 因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2. ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16) ＝－3a2(x－4)2； (2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2 ＝(a＋2)2(a－2)2. 题型剖析 题型三、公式法分解因式 4.已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值． ＝112＝121. 解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0， ∴(x－2)2＋(y－5)2＝0. ∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0， ∴x－2＝0，y－5＝0， ∴x＝2，y＝5， ∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2 题型剖析 题型三、公式法分解因式 5.把下列完全平方公式分解因式： (1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162. 解：(1)原式=（100－99)² (2)原式＝(34＋16)2 =1. ＝2500. 题型剖析 题型三、公式法分解因式 6(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 原式＝2×52＝50. 解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 　当ab＝2，a＋b＝5时， 题型剖析 题型四、十字相乘法分解因式（拓展题型） 1.把下列多项式因式分解： (1) x2－4x－5； (2) 6x2＋11x＋3. 解：(1) x2－4x－5＝(x＋1)(x－5) (2) 6x2＋11x＋3＝(2x＋3)(3x＋1). 1 1 1 -5 2 3 3 1 题型剖析 题型四、十字相乘法分解因式（拓展题型） -2 2.将多项式8x2+bx-3分解因式,二次项系数8和常数项-3的正确分解如图所示,则b的值为　 　. 3.把下列多项式分解因式: (1)x2+5x+6; (2)2x2-7xy+6y2;  解:(1)x2+5x+6=(x+2)(x+3). (2)2x2-7xy+6y2=(x-2y)(2x-3y). 题型剖析 题型五、分组法分解因式（拓展题型） 1.用分组分解法将x2xy+2y2x分解因式，下列分组不恰当的是( ) A．(x22x)+(2yxy) B．(x2xy)+(2y2x) C．(x2+2y)+(xy2x) D．(x22x)(xy2y) 2.下列六个多项式中，在实数范围内，能因式分解的有( )个 ①   ②   ③   ④   ⑤   ⑥ A．3 B．4 C．5 D．6 C B 题型剖析 题型五、分组法分解因式（拓展题型） 3.因式分解：(1) 解：(1)原式 (2)3ax＋4by＋4ay＋3bx. (2)原式＝(3ax＋3bx)＋(4by＋4ay) ＝3x(a＋b)＋4y(a＋b) ＝(a＋b)(3x＋4y) 题型剖析 题型五、分组法分解因式（拓展题型） 已知a，b，c是△ABC的三边， 且满足a2－b2+ac－bc=0，请判断△ABC的形状，并说明理由. 4. 解：a2－b2+ac－bc=(a+b)(a－b)+c(a－b)=(a－b)(a+ b+c)=0. 因为a，b，c是△ABC的三边，所以a+b+c≠0， 所以a－b=0，即a=b. 所以△ABC是等腰三角形. 题型剖析 方法技巧 题型六、综合应用 一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先提取公因式； 三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能“提” 或能“套”。[如(x+y)²-x-y=(x+y)(x+y-1）] 二套：再看有几项：如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则 考虑用完全平方公式； 四查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解，如能 分解，应分解到不能再分解为止。 题型剖析 题型六、综合应用 1.若因式分解得：，则、的值为( ) A．， B．， C．， D．， A 题型剖析 题型六、综合应用 2.如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形.然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒.用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（　A　） A.（b－6a）（b－2a） B.（b－3a）（b－2a） C.（b－5a）（b－a） D.（b－2a）2 题型剖析 题型六、综合应用 3.如图①，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图②，根据图形的面积，甲同学写出了一个等式a2－b2＝（a＋b）（a－b），乙同学也写出了一个等式（a－b）2＝a2－2ab＋b2，则（　C　） C A.甲乙都正确 B.甲乙都不正确 C.甲正确，乙不正确 D.甲不正确，乙正确 题型剖析 题型六、综合应用 4.【学科素养·几何直观】现有若干个长方形和正方形纸片如图①所示，将其拼成一个大长方形，如图②，根据面积关系，我们有：a2＋3ab＋2b2＝（a＋2b）（a＋b），请利用拼图分解因式：2a2＋5ab＋2b2＝________________ ______. （2a＋b）（a＋ 题型剖析 题型六、综合应用 点拨：如图所示，2a2＋5ab＋2b2＝（2a＋b）（a＋2b）. 题型剖析 题型六、综合应用 5. 已知整式 A = x(x＋3)＋5，整式 B = ax－1. (1) 若 A＋B＝(x－2)2，求 a 的值； (2) 若 A－B 可以分解为 (x－2)(x－3)，求 a 的值. 解：(1) 因为A＋B＝x(x＋3)＋5＋ax－1＝x2＋(3＋a)x＋4， 且 A＋B＝(x－2)2＝x2－4x＋4， 所以 3＋a＝－4. a＝－7. (2) 因为A－B＝x(x＋3)＋5－(ax－1)＝x2＋(3－a)x＋6， 且 A＋B＝(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6， 所以 3－a＝－5. a＝8. 题型剖析 题型六、综合应用 解：(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)或a2－2ab＝a(a－2b)； (答案不唯一) 6．给出三个单项式：a2，b2，2ab. (1)在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解； (2)当a＝2 023，b＝2 022时，求代数式a2＋b2－2ab的值． 解：(2)a2＋b2－2ab＝(a－b)2， 当a＝2 023，b＝2 022时， 原式＝(2 023－2 022)2 ＝1. 题型剖析 题型六、综合应用 7．阅读下面材料，并完成以下问题： 解：∵523－521＝521×52－521 ＝521(52－1) ＝521×24 ＝520×120， 小明说：“两个连续奇数的平方差一定能被8整除”．你知道为什么吗？小明通过举例如下：52－32＝(5＋3)(5－3)＝8×2，通过因式分解，得到一个因数是8，所以能被8整除． 请你用上述方法证明523－521能被120整除． 题型剖析 针对训练 1.把下列各式因式分解： (1)a(x－y)－b(y－x)+c(x－y)； (2)x(m+n)－y(n+m)+(m+n)； (5)a(x－y)－b(y－x)+c(x－y) =a(x－y)+b(x－y)+c(x－y) =(x－y)(a+b+c)； (6)x(m+n)－y(n+m)+(m+n)=(m+n)(x－y+1)； 针对训练 2．阅读并解决问题： 对于形如x2＋2ax＋a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x＋a)2的形式，但对于二次三项式x2＋2ax－3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，使它与x2＋2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有： x2＋2ax－3a2＝(x2＋2ax＋a2)－a2－3a2＝(x＋a)2－(2a)2＝(x＋3a)(x－a). 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 针对训练 (1)利用“配方法”分解因式：a2－8a＋12； 解：(1)a2－8a＋12 ＝a2－8a＋16－4 ＝(a－4)2－22 ＝(a－4－2)(a－4＋2) ＝(a－6)(a－2)； 针对训练 (2)若a＋b＝7，ab＝11，求：①a2＋b2； 解：(2)①a2＋b2 ＝(a＋b)2－2ab ＝49－22＝27， ②a4＋b4的值； 解：②a4＋b4 ＝(a2＋b2)2－2a2b2 ＝487； 针对训练 (3)已知x是实数，试比较x2－6x＋11与－x2＋6x－10的大小，说明理由． 解：(3)x2－6x＋11＝(x－3)2＋2 ≥ 2， －x2＋6x－10＝－(x－3)2－1 ≤ －1， ∴x2－6x＋11＞－x2＋6x－10. 针对训练 3．【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(如图1)，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形(如图2)，根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式①_____________________； a2－b2＝(a＋b)(a－b) 解：【知识再现】根据图1、图2阴影部分 的面积相等可得a2－b2＝(a＋b)(a－b)； 故答案为a2－b2＝(a＋b)(a－b)； 针对训练 【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b的小正方体后，余下的部分(如图3)再切割拼成一个几何体(如图4)根据它们的体积关系得到关于a，b的等式为②a3－b3＝ ____________________(结果写成整式的积的形式). 解：【知识迁移】 根据图3可知：体积为a3－b3， 根据图4可知：体积为a2(a－b)＋ab(a－b)＋b2(a－b)， ∴a3－b3 ＝a2(a－b)＋ab(a－b)＋b2(a－b) ＝(a－b)(a2＋ab＋b2). 针对训练 解：【知识运用】 ∵a－b＝4，ab＝3， ∴a2＋b2＝(a－b)2＋2ab ＝16＋6 ＝22. ∴a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2) ＝4×(22＋3) ＝100. 【知识运用】已知a－b＝4，ab＝3，求a3－b3的值． ✅ 知识构建： 以整式乘法为基础，构建“概念认知—方法掌握—应用拓展”的递进知识体系。先通过整式乘法逆变形引出因式分解定义，再掌握提公因式法、公式法两大核心方法，遵循“一提二套三查”步骤，最后延伸到代数式求值、整除性判断等应用场景。 ✅ 思想方法： 数形结合：将数量关系转化为图形关系 整体思想：把将复杂多项式或单项式整体看作公式中的a、b，灵活套用平方差、完全平方公式 建模思想：类比整数因数分解的概念与思路，降低因式分解的理解难度。 化归思想：把复杂多项式通过提公因式、套公式，转化为简单整式乘积的形式，实现化繁为简把复杂多项式通过提公因式、套公式，转化为简单整式乘积的形式，实现化繁为简。 今天，都有哪些收获？快来说说吧！ 课堂总结 感谢聆听! $