第1章特殊平行四边形——旋转专题训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以旋转性质为核心，系统整合菱形、矩形、正方形的旋转问题，构建"概念-性质-应用"三阶训练体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |菱形旋转|11题|旋转角转化、等腰三角形构造、动态轨迹分析|以60°/120°特殊角为切入点，结合菱形四边相等性质，推导旋转后图形全等关系| |矩形旋转|10题|直角坐标系旋转、三点共线判定、面积不变性应用|依托矩形直角特性，聚焦旋转过程中线段位置关系与数量关系的动态变化| |正方形旋转|12题|90°旋转构全等、对称性质应用、最值问题转化|利用正方形四边等且角为直角的特性，强化旋转前后图形的全等变换与几何证明|

特殊平行四边形的旋转专题 考点1与菱形有关的旋转 考点2有矩形有关的旋转 考点3有正方形有关的旋转 ◆知识梳理◆ 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这 个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角，旋转不改变图形的形状和大小 定义 B' 要素 旋转中心、旋转角和旋转方向 (1)旋转前后的图形全等； 性质 (2)对应线段相等，对应角相等： (3)对应点到旋转中心的距离相等，一定可以得到等腰三角形： (4)每组对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 (1)确定旋转中心、旋转方向和旋转角： (2)找出原图形的关键点： 作图步骤 (3)连接各关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； (4)按原图形依次连接各对应点，得到旋转后的图形 ◆专题突破◆ 考点1与菱形有关的旋转 1.(26-27九年级上·湖南长沙开学检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A 在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形 OAB'C,则点B的对应点B的坐标为() 试卷第1页（共21页） A.(6,-6)B.(2,-2) C.(5,-3) D.(4,-4) 2.（25-26九年级上·湖北武汉·期末)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，将菱形ABCD绕点A 逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG,点E在AC上，EF与CD交于点P,则DP的长是() G D P B A.V3-1 B.V3-2 C.2W3-1 D.2W5-2 3.(2026黑龙江牡丹江中考真题)如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为(2,2√3)， 将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为() B A.(-2,-2V3)或(2W3,-2) B.(2,2V3) C.(-2,2V3) D.(-2,-2W3)或(2,2W3) 4.(2026河南商丘·二模)如图，在菱形ABCD中，顶点A,B,C,D在坐标轴上，且A(0,1),∠ABC=60°， 分别以点A,D为圆心，以AD的长为半径作弧，两弧交于点E,连接EA,ED.将菱形ABCD与△EAD 构成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点E22的坐标为() O D C 试卷第2页（共21页） A.（5,-2 B.（-5,2 c.（-2,-5) D.(（2,-5 5.（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测)如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上一动点，将AE绕点A 逆时针旋转30°至点F,连接CF、DF,若∠ABC=60°，AB=2,设△CDF的面积为S,则关于S说法正 确的是() A D A.S=V3-1 B.S=3 C.3-155s D.5sS≤5 2 2 6.(25-26九年级上·河南周口·期中)如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，若E为直线AB上一动点， 将线段DE绕着点D顺时针旋转120°得到DF,连接FC,线段FC最小值为 B 7.(2026山东滨州·二模)如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，G是对角线AC的中点，△BEF是等腰直 角三角形，∠EBF=90°，将△BEF绕点B顺时针旋转，连接AE,EG.己知AB=6,EF=V6,在旋转过 程中，当△AEG为直角三角形时，EG的长为 8.（25-26九年级上山西晋中阶段检测)综合与实践： 问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题： 已知，在菱形ABCD中，BD为对角线，∠BAD=60°，AB=4,将菱形ABCD绕顶点A顺时针旋转，旋转 角为α（单位）.旋转后的菱形为AB'CD'.在旋转探究活动中提出下列问题，请你帮他们解决. 试卷第3页（共21页） D M D B B 图1 观察证明： (1)如图1，若旋转角a<60°，AD'与BD相交于点M,AB与B'D'相交于点N.请说明线段DM与B'N 的数量关系； D D D D D B B B B 图2 图3 图4 操作计算： (2)如图2，连接CD',菱形ABCD旋转的过程中，当B'D'与AB互相垂直时，CD的长为_； (3)如图3，若旋转角a<60°，分别连接DD,BD',过点A分别作AE⊥DD',AF⊥BD',连接EF, 菱形ABCD旋转的过程中，发现在△AEF中存在长度不变的线段EF,请求出EF长度： 操作探究： (4)如图4，在(3)的条件下，请判断以DD',CD',BD'三条线段长度为边的三角形是什么特殊三角 形，并说明理由. 试卷第4页（共21页） 9.（2026山西晋中·二模)问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展 数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开，得△ABC和△ACD. D C D C A Q E C C 图1 图2 图3 (I)操作发现：将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠a,使∠a=∠BAC,得到如图2 所示的△ACD,分别延长BC和DC'交于点E,则四边形ACEC'的形状是； (2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠a,使∠a=2∠BAC,得到如图3 所示的△AC"D,连接DB、C"C,得到四边形BCCD,发现它是矩形.请你证明这个结论 (3)实践探究：缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm,AC=10cm,然后提出一 个问题：将△AC"D沿着射线DB方向平移acm,得到△AC"D',连接BD'、CC",使四边形BCC"D'恰好为 正方形，请你探究并直接写出所有a的值. 试卷第5页（共21页） 10.(25-26八年级下·上海徐汇·期末)在菱形ABCD中，AB=10cm,∠ABC=60°，点E为对角线AC所 在直线上的一个动点，以DE为边，沿着点E顺时针方向作∠DEF=60°，角的另一边EF交射线BC于点F, 交射线DC于点G,连接BE、DF. A D D 图1 备用图 (1)如图1，当点E在对角线AC上（点E不与点A、C重合）时， ①求证：BE=EF: ②设CE的长为xCm,△BEF的面积为ycm2.求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)连接AF,当△ADF是直角三角形时，直接写出CE的长. 试卷第6页（共21页） 11.(2026山西忻州·模拟预测)综合与实践一探究图形旋转中的问题，问题背景：在一次综合实践活动 课上，同学们以两个菱形为对象，研究相似菱形旋转中的数学问题.已知菱形ABCD∽菱形A'B'C"D',它 们各自对角线的交点重合于点O,且AB=8,A'B=2,∠B=∠B'=60°， B B 图1 图2 图3 观察发现：(1)如图1，若AB∥AB,连接AA',DD,则AA与DD'的数量关系是； 操作探究：(2)保持图1中的菱形ABCD不动，将菱形AB'C"D'从图1的位置开始绕点O顺时针旋转，设 旋转角为a. ①当0°<α<90°时，得到图2.此时（1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由： ②小颖发现，在菱形A'B'C"D'绕点O顺时针旋转到图3位置时，连接CC',AC',AC判断四边形AACC 的形状，并说明理由： ③当菱形AB'C'D'绕点O旋转至A,A,D三点共线时，直接写出此时线段AA的长. 试卷第7页（共21页） 考点2与矩形有关的旋转 12.（2026·浙江湖州·一模)如图，矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG,在旋转过程中，FG恰好过点 C,过点G作MN平行AD交AB,CD于M,N.若AB=3,BC=5,则图中阴影部分的面积的是() F D N A.3 B.4 C.5 D. 2 13.(2026广东广州·二模)如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转 至矩形A'B'C'D',旋转角为a(0<a≤18O),当点C,B和C'三点共线时，B'E的长为(). C B D E D A A日 B. C.6v6 5 D.1 6 14.(25-26九年级下·重庆·阶段检测)如图，在矩形ABCD中，∠ABD=60°，BD=16,连接BD,将△BCD 绕点D顺时针旋转°(0°<<90°)，得到dB'CD,连接BB',CC,延长CC交BB'于点N,连接AB,当 ∠BAB=∠BNC时，则△ABB'的面积为() D B N A.813-16V39 B. 21 10 C.839-24V5 D.9 15.(26-27九年级上·江苏南京·开学考试)如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形A'B'CD', E、F分别是BD、B'D'的中点，若AB=lcm,BC=7cm,则EF的长为cm. 试卷第8页（共21页） 16.（26-27九年级上·全国·单元复习)数学综合实践课上，王老师和同学们一起以“矩形的旋转”为主题开 展探究活动.如图1，矩形EFGH和矩形EF'G'H'重合，EH=6,GH=10.矩形EFGH保持不动，将矩 形EF'G'H'绕点E逆时针方向旋转. FF E GG)HH) G 图1 图2 图3 图4 (I)【问题初探】如图2，创新小组同学将矩形EFG'H'的顶点F'旋转至边GH上，求GF的长度： (2)【问题再探】如图3，创新小组同学继续旋转矩形EFGH',发现：当点F'落在FH的延长线上时，点G、 H、G在同一条直线上，你认为创新小组同学的发现正确吗？请说明理由； (3)【深度探究】在(2)的条件下，如图4，连接FG'交EH于点M,延长GF'交EH的延长线于点N,请 直接写出MW的长. 试卷第9页（共21页） 17.（2026山东枣庄·二模)问题情境 如图1，已知矩形ABCD中，点E,F是AD,BC的中点，连接EF,将矩形ABCD沿FF剪开，得到四边 形ABFE和四边形EPCD (1)求证：四边形EPCD是矩形： 操作探究 保持矩形EPCD位置不变，将矩形ABFE从图1的位置开始，绕点E按逆时针方向旋转.设旋转角为α(O° <<360°)操作中，提出了如下问题，请你解答 (2)如图2，当矩形ABFE旋转到点A落在线段EP上时，线段EF恰好经过点D,设DC与AB相交于点 G.判断四边形EAGD的形状，并说明理由， (3)在矩形ABFE旋转过程中连接线段AP和BP,当AP=BP时，求旋转角的度数. E D D A F(P) 图1 图2 备用图 试卷第10页（共21页） 18.(2026河北沧州一模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,将边AB绕点B顺时针旋转 a(O°<a<I8O)得到AB,连接A,过点B作BF⊥AA于点E,交矩形ABCD边于点F,连接F. B B 备用图 (I)当点F在边AD上时，∠BF的度数为 (2)连接DA',在旋转过程中求出DA的最小值，并求出此时DF的长： (3)若点'到直线BC的距离为3时，求边BA扫过区域的面积： (4)连接DE,直接写出DE的最小值. 试卷第11页（共21页) 19.(2026山西模拟预测)综合与探究 问题情境：将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形A'B'CD',点A,B, D的对应点分别为点，B,D',设直线AD与直线AD交于点E, E A'(E) D D B B 图① 图② 猜想证明： (1)猜想DE与DE的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点B恰好落在矩形ABCD的对角线BD上时，点A'恰好落在AD的延长 线上（即点A'与点E重合），连接A'C,求证：四边形A'DBC是平行四边形： 问题解决： (3)在矩形ABCD绕点C顺时针旋转的过程中，设直线CE与直线'B相交于点F,若AB=5,BC=3, 当A,B,D三点在同一条直线上时，请直接写出4E 的值. B'E 试卷第12页（共21页) 20.（2026山西运城三模)综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们利用准备好的两个矩形纸片进行探究活动. 智慧小组准备了两张矩形纸片ABCD和DEFG,其中AB=6BC=8,DE=3,EF=4,将它们按如图1所示 的方式放置，点E落在AD上，点G落在CD的延长线上，连接AG和BF. 观察发现： (1)如图2连接BD,FD,则BD和FD的位置关系是 AG BE 操作探究： (2)如图3，将矩形DEFG绕点D按顺时针方向旋转a(0°<a<360°)，试探究(1)中AG和BF的数 量关系是否仍然成立，并说明理由， 拓展延伸： (3)在矩形DEFG旋转的过程中，当B、G、F三点共线时，直接写出线段AG的长. D 图1 图2 图3 试卷第13页（共21页） 考点3与正方形有关的旋转 21.(25-26九年级上·重庆·开学考试)如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE,将△BCE 绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF,连接EF,若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为() B C A.30° B.25° C.20° D.15° 22.(25-26九年级上·安徽合肥·期末)如图，点E是边长为4的正方形ABCD内部一点，∠EAD=∠EBA, 将DE按逆时针方向旋转90°得到DF,连接EF,则EF的最小值为() D B A.25 B.210-2W2 C.2W5-2 23.(25-26九年级上·宁夏吴忠·期中)如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形 A'B'CD',图中阴影部分的面积为() C B B A(4) D' A. B.d 2 e}…} 24.(2026江苏连云港·二模)如图，正方形ABCD的面积为2，P是以A为圆心，AB为半径的弧BD上的 一动点，连接AP,CP,将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ,连接AQ.则△APQ的最大面 积是() 试卷第14页（共21页) A. B.2-1 c.2+1 D.√2-1 2 2 25.(25-26八年级下.福建福州·期末)把边长为5的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB'C'D', 边BC与DC交于点E,则四边形ABED的周长是() A.5+52 B.10+√2 C.15√2-5 D.10W2 26.(26-27九年级上·北京东城·开学考试)如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕O点顺时针旋 转45°后，得到正方形0AB,C,以此方式，绕O点连续旋转2022次得到正方形0A022B222C202,如果点C的 坐标为(0,1)，那么点B2的坐标为 27.(25-26九年级上·陕西安康·期中)综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将 边长为√5的正方形ABCD与边长为√的正方形AEFG按如图1所示的位置放置，AD与AE在同一条直 线上，AB与AG在同一条直线上.连接DG,BE,易得DG=BE且DG⊥BE(不需要说明理由). G E 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为a15°<au<165). 试卷第15页（共21页) ①连接DG,BE,判断DG与BE之间的数量关系和位置关系，并说明理由： ②在旋转过程中，如图3，连接BG,GE,ED,DB,求四边形BGED面积的最大值. (2)如图4，分别取BG,GE,ED,DB的中点M,N,P,Q,连接MN,NP,PQ,QM,则四边形 MWPQ的形状为_，四边形MNPQ面积的最大值是· 试卷第16页（共21页） 28.(25-26八年级下·浙江宁波·期末)如图1，在正方形ABCD中，AB=5√2，点E为正方形内一点，连 接AE,BE,∠AEB=90°. D M 图1 图2 图3 图4 (I)如图2，将线段BE绕点B按顺时针方向旋转90°得到BF,连结CF,求证：△ABE2△CBF. (2)如图3，在(1)的条件下，当CF=√0时，连结AF,EF,求AAEF的面积. (3)如图4，若将△ABE绕点B按顺时针方向旋转C得到△NBM(0<a<180),当点C在直线MN上，且 △AMN面积为3时，求AE2的值. 试卷第17页（共21页) 29.（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测)综合与探究 以“图形的旋转与面积”为主题开展下列数学活动. A B B B C ① ② ③ 提出问题 (1)如图①，将边长为2的正方形ABCD的对角线AC绕点C顺时针旋转90°得到线段EC,连接BE,过 点E作EF⊥BC,交BC的延长线于点F,易证△ABC≌△CFE,得到△BCE的面积为 问题探究 (2)如图②，在矩形ABCD中，BC=m,将对角线AC绕点C顺时针旋转90°得到线段EC,连接BE, 求△BCE的面积：（用含m的代数式表示） 解决问题 (3)如图③，在锐角三角形ABC中，AB=AC,BC=10,将边AC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC, 连接BD,求△BCD的面积. 试卷第18页（共21页) 30.（25-26九年级上·山西大同阶段检测)综合与探究 问题情境： 在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,点E是 正方形ABCD内的一点，∠AEB=90°，将△AEB绕点A逆时针旋转90°得到△AFD,点B,E的对应点分 别为点D,F,直线EF经过点O 特例探究： (1)如图2，当点O与点E重合时，判断EF和BE的数量关系并证明： 操作探究： (2)如图1，当点O与点E不重合时，判断BE,OE和OF之间的数量关系，并说明理由： 类比探究： (3)如图3，将“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”,将“△AEB绕点A逆时针旋转90°得到△AFD”改为 “△AEB绕点A逆时针旋转60°得到△AFD”,其余条件不变，请直接写出BE,OE和OF之间的数量关系 F D A B O OE) E B B 图1 图2 图3 试卷第19页（共21页） 31.(2026山东枣庄·二模)如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺 时针方向旋转90°，得到△CBE(点A的对应点为点C).延长AE交CE于点F,连接DE. D C D A 图① B A 图② B 猜想证明： (1)四边形BEFE的形状是 (2)如图②，若DA=DE,请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明； (3)如图①，若AB=15,CF=3,求DE的长. 试卷第20页（共21页) 32.（25-26九年级上山西吕梁·期末)综合与实践 已知四边形ACBD与AEFG均为正方形. D C D D c E A B A E B 图1 图2 图3 数学思考： (1)如图1，当点E在AB边上，点G在AD边上时，线段BE与DG的数量关系是 ,位置关系是 (2)在图1的基础上，将正方形AEFG以点A为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到图2，则（1)中的 结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由： 拓展探索： (3)如图3，若点D,E,G在同一直线上，且AB=2AE=2√2，则线段BE长为·（直接写出答案 即可，不要求写过程). 试卷第21页（共21页) 特殊平行四边形的旋转专题 考点1 与菱形有关的旋转 考点2 有矩形有关的旋转 考点3 有正方形有关的旋转 ———————————◆知识梳理◆————————— 定义 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角，旋转不改变图形的形状和大小 要素 旋转中心、旋转角和旋转方向 性质 （1）旋转前后的图形全等; （2）对应线段相等，对应角相等； （3）对应点到旋转中心的距离相等，一定可以得到等腰三角形； （4）每组对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 作图步骤 （1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）找出原图形的关键点； （3）连接各关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； （4）按原图形依次连接各对应点，得到旋转后的图形 ———————————◆专题突破◆————————— 考点1 与菱形有关的旋转 1.（26-27九年级上·湖南长沙·开学检测）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA'B'C'，则点B的对应点B'的坐标为（　　） A．（，﹣） B．（2，﹣2） C．（，﹣） D．（4，﹣4） 2.（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是(       ) A． B． C． D． 3.（2026·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2)，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（    ） A．或 B． C． D．或 4.（2026·河南商丘·二模）如图，在菱形中，顶点，，，在坐标轴上，且，，分别以点，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点，连接，．将菱形与构成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5.（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上一动点，将AE绕点A逆时针旋转至点F，连接CF、DF，若，，设的面积为S，则关于S说法正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，菱形的边长为2，，若为直线上一动点，将线段绕着点顺时针旋转得到，连接，线段最小值为___________． 7．（2026·山东滨州·二模）如图，菱形中，，G是对角线的中点，是等腰直角三角形，，将绕点B顺时针旋转，连接．已知，，在旋转过程中，当为直角三角形时，的长为________． 8.（25-26九年级上·山西晋中·阶段检测）综合与实践： 问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题： 已知，在菱形ABCD中，BD为对角线，，AB=4，将菱形ABCD绕顶点A顺时针旋转，旋转角为（单位°）．旋转后的菱形为．在旋转探究活动中提出下列问题，请你帮他们解决． 观察证明： （1）如图1，若旋转角，与BD相交于点M，AB与相交于点N．请说明线段DM与的数量关系；    操作计算： （2）如图2，连接，菱形ABCD旋转的过程中，当与AB互相垂直时，的长为 ； （3）如图3，若旋转角，分别连接，，过点A分别作，，连接EF，菱形ABCD旋转的过程中，发现在中存在长度不变的线段EF，请求出EF长度； 操作探究： （4）如图4，在（3）的条件下，请判断以，，三条线段长度为边的三角形是什么特殊三角形，并说明理由． 9．（2026·山西晋中·二模）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片沿对角线剪开，得和． (1)操作发现：将图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图2所示的，分别延长和交于点，则四边形的形状是________； (2)创新小组将图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图3所示的，连接、，得到四边形，发现它是矩形．请你证明这个结论． (3)实践探究：缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中，，然后提出一个问题：将沿着射线方向平移，得到，连接、，使四边形恰好为正方形，请你探究并直接写出所有的值． 10．（25-26八年级下·上海徐汇·期末）在菱形中，，，点为对角线所在直线上的一个动点，以为边，沿着点顺时针方向作，角的另一边交射线于点，交射线于点，连接、． (1)如图1，当点在对角线上（点不与点、重合）时， ①求证：； ②设的长为，的面积为．求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)连接，当是直角三角形时，直接写出的长． 11．（2026·山西忻州·模拟预测）综合与实践——探究图形旋转中的问题，问题背景：在一次综合实践活动课上，同学们以两个菱形为对象，研究相似菱形旋转中的数学问题．已知菱形菱形，它们各自对角线的交点重合于点，且，，，    观察发现：（1）如图1，若，连接，，则与的数量关系是　 　； 操作探究：（2）保持图1中的菱形不动，将菱形从图1的位置开始绕点O顺时针旋转，设旋转角为α． ①当时，得到图2．此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； ②小颖发现，在菱形绕点O顺时针旋转到图3位置时，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； ③当菱形绕点O旋转至A，，三点共线时，直接写出此时线段的长． 考点2 与矩形有关的旋转 12．（2026·浙江湖州·一模）如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 13．（2026·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转至矩形，旋转角为，当点C，和三点共线时，的长为（        ）． A． B． C． D． 14.（25-26九年级下·重庆·阶段检测）如图，在矩形ABCD中，∠ABD＝60°，BD＝16，连接BD，将△BCD绕点D顺时针旋转n°（0°＜n＜90°），得到ΔB′C′D，连接BB′，CC′，延长CC′交BB′于点N，连接AB′，当∠BAB′＝∠BNC时，则△ABB′的面积为（　　） A． B． C． D． 15．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 _____ ． 16．（26-27九年级上·全国·单元复习）数学综合实践课上，王老师和同学们一起以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．如图1，矩形和矩形重合，，．矩形保持不动，将矩形绕点E逆时针方向旋转． (1)【问题初探】如图2，创新小组同学将矩形的顶点旋转至边上，求的长度； (2)【问题再探】如图3，创新小组同学继续旋转矩形，发现：当点落在的延长线上时，点、H、G在同一条直线上，你认为创新小组同学的发现正确吗？请说明理由； (3)【深度探究】在（2）的条件下，如图4，连接交于点M，延长交的延长线于点N，请直接写出的长． 17．（2026·山东枣庄·二模）问题情境 如图1，已知矩形ABCD中，点E，F是AD，BC的中点，连接EF，将矩形ABCD沿FF剪开，得到四边形ABFE和四边形EPCD． （1）求证：四边形EPCD是矩形； 操作探究 保持矩形EPCD位置不变，将矩形ABFE从图1的位置开始，绕点E按逆时针方向旋转．设旋转角为α（O°＜α＜360°）操作中，提出了如下问题，请你解答． （2）如图2，当矩形ABFE旋转到点A落在线段EP上时，线段EF恰好经过点D，设DC与AB相交于点G．判断四边形EAGD的形状，并说明理由． （3）在矩形ABFE旋转过程中连接线段AP和BP，当AP＝BP时，求旋转角α的度数． 18．（2026·河北沧州·一模）如图，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，交矩形边于点，连接． (1)当点在边上时，的度数为______； (2)连接，在旋转过程中求出的最小值，并求出此时的长； (3)若点到直线的距离为3时，求边扫过区域的面积； (4)连接，直接写出的最小值． 19．（2026·山西·模拟预测）综合与探究 问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点．    猜想证明： （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，求证：四边形是平行四边形； 问题解决： （3）在矩形绕点顺时针旋转的过程中，设直线与直线相交于点，若 ，，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 20．（2026·山西运城·三模）综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们利用准备好的两个矩形纸片进行探究活动． 智慧小组准备了两张矩形纸片和，其中，将它们按如图所示的方式放置，点落在上，点落在的延长线上，连接和． 观察发现： （1）如图连接，则和的位置关系是__________，___________． 操作探究： （2）如图，将矩形绕点按顺时针方向旋转（），试探究（1）中和的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 拓展延伸： （3）在矩形旋转的过程中，当三点共线时，直接写出线段的长． 考点3 与正方形有关的旋转 21．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 24．（2026·江苏连云港·二模）如图，正方形的面积为2，是以为圆心，为半径的弧上的一动点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．则的最大面积是（     ） A． B． C． D． 25．（25-26八年级下·福建福州·期末）把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 26．（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_______． 27．（25-26九年级上·陕西安康·期中）综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． (1)如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为． ①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值． (2)如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____． 28．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在正方形中，，点E为正方形内一点，连接，，． (1)如图2，将线段绕点B按顺时针方向旋转得到，连结，求证：． (2)如图3，在（1）的条件下，当时，连结，，求的面积． (3)如图4，若将绕点B按顺时针方向旋转得到，当点C在直线上，且面积为3时，求的值． 29．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）综合与探究 以“图形的旋转与面积”为主题开展下列数学活动． 提出问题 （1）如图①，将边长为2的正方形的对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点作，交的延长线于点，易证，得到的面积为________； 问题探究 （2）如图②，在矩形中，，将对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积：（用含的代数式表示） 解决问题 （3）如图③，在锐角三角形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积． 30．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）综合与探究 问题情境： 在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图，正方形的对角线和相交于点，点是正方形内的一点，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，直线经过点． 特例探究： （1）如图2，当点与点重合时，判断和的数量关系并证明； 操作探究： （2）如图1，当点与点不重合时，判断，和之间的数量关系，并说明理由； 类比探究： （3）如图3，将“正方形”改为“菱形”，将“绕点逆时针旋转得到”改为“绕点逆时针旋转得到”，其余条件不变，请直接写出，和之间的数量关系．    31．（2026·山东枣庄·二模）如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE． 猜想证明： (1)四边形BE'FE的形状是______； (2)如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明； (3)如图①，若AB＝15，CF＝3，求DE的长． 32．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 已知四边形与均为正方形． 数学思考： （1）如图1，当点在边上，点在边上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______． （2）在图1的基础上，将正方形以点为旋转中心，逆时针旋转角度，得到图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 拓展探索： （3）如图3，若点，，在同一直线上，且，则线段长为_____．（直接写出答案即可，不要求写过程）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 特殊平行四边形的旋转专题 考点1 与菱形有关的旋转 考点2 有矩形有关的旋转 考点3 有正方形有关的旋转 ———————————◆知识梳理◆————————— 定义 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角，旋转不改变图形的形状和大小 要素 旋转中心、旋转角和旋转方向 性质 （1）旋转前后的图形全等; （2）对应线段相等，对应角相等； （3）对应点到旋转中心的距离相等，一定可以得到等腰三角形； （4）每组对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 作图步骤 （1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）找出原图形的关键点； （3）连接各关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； （4）按原图形依次连接各对应点，得到旋转后的图形 ———————————◆专题突破◆————————— 考点1 与菱形有关的旋转 1.（26-27九年级上·湖南长沙·开学检测）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA'B'C'，则点B的对应点B'的坐标为（　　） A．（，﹣） B．（2，﹣2） C．（，﹣） D．（4，﹣4） 【答案】A 【分析】作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，根据菱形的性质得到∠COB＝30°，再根据旋转的性质得∠BOB′＝75°，OB′＝OB＝2，则∠COB′＝∠BOB′﹣∠COB＝45°，所以△OB′H为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可计算得OH＝B′H＝，然后根据第四象限内点的坐标特征写出B′点的坐标． 【详解】解：作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，作AD⊥OB轴于D点，如图， ∵四边形OABC为菱形， ∴OB平分∠AOC，AO=AB ∴∠COB＝∠AOB==30°， ∴， 又∵AD⊥OB ∴BD=2OD，∠ADO=90°， ∴OD=， ∴OB= ∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至第四象限OA′B′C′的位置， ∴∠BOB′＝75°，OB′＝OB＝2， ∴∠COB′＝∠BOB′﹣∠COB＝45°， ∴△OB′H为等腰直角三角形， ∴OH＝B′H＝OB′＝， ∴点B′的坐标为（，﹣）． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、菱形的性质、坐标与图形变化-旋转，准确计算是解题的关键． 2.（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接BD交AC于O，根据四边形ABCD是菱形，得到AD=CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=，∠ACD=∠BAC=∠BAD=，OA=OC，AC⊥BD，求出AC=2，由旋转得AE=AB=2，∠EAG=∠BAC=，求出CE=AC-AE=2-2，再证得∠CPE=，求出PC=PE=3-，根据DP=CD-PC求出数值即可． 【详解】连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=，∠ACD=∠BAC=∠BAD=，OA=OC，AC⊥BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴OB=AB=1， ∴OA=， ∴AC=2， 由旋转得AE=AB=2，∠EAG=∠BAC=， ∴CE=AC-AE=2-2， ∵四边形AEFG是菱形， ∴EF∥AG， ∴∠CEP=∠EAG= ∵∠CEP+∠ACD=， ∴∠CPE=， ∴PE=CE=-1，PC=PE=3-， ∴DP=CD-PC=2-(3-)=-1， 故选：A． ． 【点睛】此题考查旋转的性质，菱形的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记菱形的性质是解题的关键． 3.（2026·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2)，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，根据题意易得△AOB为等边三角形，在旋转过程中，点A有两次落在x轴上，当点A落在x轴正半轴时，点C落在点C′位置，利用旋转的性质和菱形的性质求解，当A落在x轴负半轴时，点C落在点C′′位置，易证此时C′′与点A重合，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E， 则，OA=， ∴∠AOE=60°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴△AOB是等边三角形， 当A落在x轴正半轴时，点C落在点C′位置， 此时旋转角为60°， ∵∠BOC=60°，∠COF=30°， ∴∠C′OF=60°-30°=30°， ∵OC′=OA=4， ∴OF=， C′F=， ∴C′（）， 当A落在x轴负半轴时，点C落在点C′′位置， ∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°， ∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30° 又∵OA=OC′′， ∴此时C′′点A重合，C C′′， 综上，点C的对应点的坐标为或， 故答案为：D． 【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形和旋转的性质，解题的关键是根据题意，分析点A的运动情况，分情况讨论． 4.（2026·河南商丘·二模）如图，在菱形中，顶点，，，在坐标轴上，且，，分别以点，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点，连接，．将菱形与构成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将菱形与构成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转45°，即点E，绕点O，逆时针旋转，每次旋转45°，所以点E每8次一循环，又因为2022÷8=252…..6，所以E2022坐标与E6坐标相同，求出点E6的坐标即可求解． 【详解】解：如图，将菱形与构成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转45°，即点E，绕点O，逆时针旋转，每次旋转45°， 由图可得点E每8次一循环， ∵2022÷8=252…..6， ∴E2022坐标与E6坐标相同， ∵A（0，1）， ∴OA=1， ∵菱形，， ∴∠ABO=∠ADO=30°， ∴AD=AB=2OA=2， ∴OD=， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE=60°，DE=AD=2， ∴∠ODE=90°， ∴∠DOE+∠DEO=90°， 过点E6作E6F⊥x轴于F， ∴∠OFE6=∠ODE=90°， ∵∠E6OE=90°， ∴∠DOE+∠E6OF=90°， ∴∠∠DEO=∠E6OF， ∵OE=OE6， ∴△ODE≌△E6FO（AAS）， ∴OF=DE=2，E6F=OD=， ∴E6（2，-）， ∴E2022（2，-）， 故选：D． 【点睛】本题考查图形变换规律，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，本题属旋转规律型，坐标变换规律型问题，找出图形变换规律，即得出点E变换规律是解题的关键． 5.（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上一动点，将AE绕点A逆时针旋转至点F，连接CF、DF，若，，设的面积为S，则关于S说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到点F到的距离为定值，进而得到的面积为定值． 【详解】过F作MN⊥AB于M，交CD于N，过D作DH⊥AB于H，过A作AG⊥BD于G, ∵菱形ABCD，， ∴，，，CD∥AB ∴ ∴, ∵过F作MN⊥AB于M，交CD于N，过D作DH⊥AB于H， ∴四边形DHMN为矩形 ∴ ∵将AE绕点A逆时针旋转至点F ∴， ∵ ∴ ∵过A作AG⊥BD于G, ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵CD∥AB, MN⊥AB于M ∴MN⊥CD ∴ 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质及旋转综合题，解题的关键是根据得到点F到的距离为定值，比较难想到． 6．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，菱形的边长为2，，若为直线上一动点，将线段绕着点顺时针旋转得到，连接，线段最小值为___________． 【答案】 【分析】将线段绕点顺时针旋转得到，连接，证明，得到点的运动轨迹．再由全等三角形的性质以及菱形的性质得到是等腰三角形，用等腰三角形的性质证明，得到线段最小值就是的长度．最后用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． 由题意得，，，， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， 直线为定直线， 线段的最小值为点到直线的距离． 如图，连接，作， 菱形的边长为2，且， ，． 又， ． ， ， 是等腰三角形， ，， ，， 线段的最小值就是的长度． 在中， ， ， 线段的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，含30°角的直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 7．（2026·山东滨州·二模）如图，菱形中，，G是对角线的中点，是等腰直角三角形，，将绕点B顺时针旋转，连接．已知，，在旋转过程中，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】 【分析】由菱形，，可得，是等边三角形，则，，由是等腰直角三角形，可得，在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接，当为直角三角形时，分，，三种情况求解；当时，由题意知，三点共线，，根据，计算求解；当时，当时，由题意知，此两种情况不成立，然后作答即可． 【详解】解：∵菱形，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵G是对角线的中点， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接， 当为直角三角形时，分，，三种情况求解； 当时，由题意知，三点共线， ∴， ∴； 当时，，， 此时到的距离为， ∵， ∴此情况不成立； 当时，由题意知，此情况不成立， 综上所述，的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，余弦，圆，旋转的性质等知识．分类讨论是解题的关键． 8.（25-26九年级上·山西晋中·阶段检测）综合与实践： 问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题： 已知，在菱形ABCD中，BD为对角线，，AB=4，将菱形ABCD绕顶点A顺时针旋转，旋转角为（单位°）．旋转后的菱形为．在旋转探究活动中提出下列问题，请你帮他们解决．    观察证明： （1）如图1，若旋转角，与BD相交于点M，AB与相交于点N．请说明线段DM与的数量关系；    操作计算： （2）如图2，连接，菱形ABCD旋转的过程中，当与AB互相垂直时，的长为 ； （3）如图3，若旋转角，分别连接，，过点A分别作，，连接EF，菱形ABCD旋转的过程中，发现在中存在长度不变的线段EF，请求出EF长度； 操作探究： （4）如图4，在（3）的条件下，请判断以，，三条线段长度为边的三角形是什么特殊三角形，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）2；（4）以，，三条线段为边的三角形是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据旋转的性质利用ASA易证得，从而证得； （2）证得点在菱形的对角线AC上，即可求解； （3）利用等腰三角形三线合一的性质证明EF是的中位线，即可求解； （4）以为边向外作等边三角形，利用证得，求得，即可求解． 【详解】（1）， 理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB= AD． ∴∠ADB=∠ABD， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴(ASA) ， ∴； （2）连接菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，    ∵四边形ABCD是菱形，且，AB=4， ∴， ∴，则， 根据旋转的性质，且与AB互相垂直， ∴， ∴点在菱形ABCD的对角线AC上， ∴ ∴； （3）如图，连接BD，    根据旋转的性质可知： ∵ AE⊥D， ∴（等腰三角形三线合一），同理BF=F， ∴EF是的中位线， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD， 又∵，是等边三角形， ∴， ∴； （4）以，，三条线段为边的三角形是直角三角形， 理由如下： 如图，以为边向外作等边三角形，连接DB，CM,    ∵四边形ABCD是菱形，， ∴与是等边三角形，， 由（3）可知：与都是等腰三角形， ∴ ， ∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，, ∴， ∴是直角三角形， 即以，，三条线段长度为边的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握旋转变换的性质、菱形的性质是解题的关键． 9．（2026·山西晋中·二模）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片沿对角线剪开，得和． (1)操作发现：将图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图2所示的，分别延长和交于点，则四边形的形状是________； (2)创新小组将图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图3所示的，连接、，得到四边形，发现它是矩形．请你证明这个结论． (3)实践探究：缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中，，然后提出一个问题：将沿着射线方向平移，得到，连接、，使四边形恰好为正方形，请你探究并直接写出所有的值． 【答案】(1)菱形； (2) 证明：如图3， 作AE⊥CC′于点E， 由旋转得：AC′＝AC， 则∠CAE＝＝∠BAC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BA＝BC， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴∠CAE＝∠BCA， ∴AE∥BC，同理可得：AE∥DC′， ∴BC∥DC′． 又∵BC＝DC′， ∴四边形BCC′D是平行四边形． ∵AE∥BC，∠CEA＝90°， ∵∠BCC′＝90°＝180°﹣∠CEA＝90°， ∴四边形BCC′D是矩形； (3)或． 【分析】（1）利用旋转的性质结合菱形的性质得出：∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠1＝∠4，AC＝AC′，进而利用菱形的判定方法得出答案； （2）利用旋转的性质结合菱形的性质得出，四边形BCC′D是平行四边形，进而得出四边形BCC′D是矩形； （3）首先求出CC′的长，分别利用①点C″在边C′C上，②点C″在C′C的延长线上，求出a的值． 【详解】（1）解：如图（2）对图形进行角标注， 由题意可得：∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠1＝∠4，AC＝AC′， ∴AC′∥EC，AC∥C′E， ∴四边形ACEC′是平行四边形． ∵AC＝AC′， ∴四边形ACEC′的形状是菱形； （2）略 （3）如图（3），过点B作BF⊥AC，垂足为F， ∵BA＝BC， ， 在Rt△BCF中，， 在△ACE和△CBF中， ∵∠CAE＝∠BCF，∠CEA＝∠BFC＝90°， ∴△ACE∽△CBF， ，即， 解得：， ∵AC＝AC′，AE⊥CC′， ， 当四边形BCC″D′恰好为正方形时，分两种情况： ①点C″在边C′C上，， ②点C″在C′C的延长线上，， 综上所述：a的值为：或． 【点睛】此题主要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及矩形的判定方法等知识，正确利用相似三角形的判定与性质得出CC′的长是解题关键． 10．（25-26八年级下·上海徐汇·期末）在菱形中，，，点为对角线所在直线上的一个动点，以为边，沿着点顺时针方向作，角的另一边交射线于点，交射线于点，连接、． (1)如图1，当点在对角线上（点不与点、重合）时， ①求证：； ②设的长为，的面积为．求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)连接，当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)①证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②； (2)或 【分析】（1）①先证明，可得，，利用三角形外角性质可得，即得，即可求证； ②过点作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三线合一可得，即可由三角形面积公式得到与的函数表达式，最后由点在对角线上且点不与点、重合，可得自变量的取值范围； （2）根据题意分和两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）①略； ②解：过点作于，则， ∵， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 点在对角线上且点不与点、重合， ， ∴； （2）解：当时，是直角三角形，如图所示， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ，即， 的长为； 当时，是直角三角形，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴的长为， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题以菱形为背景，综合考查全等三角形的判定与性质、锐角三角函数解直角三角形、二次函数面积建模以及直角三角形存在性分类讨论，解题关键在于通过全等及角度传递证明，架起边角转化的桥梁，利用等腰三角形“三线合一”将底边用表示，再借助角的三角函数建立面积与的二次函数关系，最后对直角三角形可能情形逐一排除，锁定唯一情况，结合边长关系列方程求解，体现数形结合与分类讨论的核心思想． 11．（2026·山西忻州·模拟预测）综合与实践——探究图形旋转中的问题，问题背景：在一次综合实践活动课上，同学们以两个菱形为对象，研究相似菱形旋转中的数学问题．已知菱形菱形，它们各自对角线的交点重合于点，且，，，    观察发现：（1）如图1，若，连接，，则与的数量关系是　 　； 操作探究：（2）保持图1中的菱形不动，将菱形从图1的位置开始绕点O顺时针旋转，设旋转角为α． ①当时，得到图2．此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； ②小颖发现，在菱形绕点O顺时针旋转到图3位置时，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； ③当菱形绕点O旋转至A，，三点共线时，直接写出此时线段的长． 【答案】（1）；（2）①结论仍然成立，理由见解析；②四边形是平行四边形，理由见解析；③ 【分析】（1）可得出，，从而、、共线，、、共线，进而得出，进一步得出结果； （2）①连接，，，，可推出，，从而，从而得出，进一步得出结论； ②连接，，由四边形和四边形是菱形得出，，从而得出四边形是平行四边形； ③分为：当在上时，作，可求得，，，从而，，进而得出，进一步得出结果；当在的延长线上时，作于，可得，，进一步得出结果． 【详解】解：（1）如图1，    连接，， 菱形菱形，， ，， 、、共线，、、共线， ， ， ， 故答案为：； （2）①如图1，    结论仍然成立，理由如下： 连接，，，， 四边形和四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ； ②如图2，    四边形是平行四边形，理由如下： 连接，， 四边形和四边形是菱形， ，， 四边形是平行四边形； ③如图4，    当在上时，作， 可得，，， ，， ， ， ， 如图5，    当在的延长线上时，作于， 由上知：，， ， ， 综上所述：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定，解直角三角形等知识，解决问题的关键是画出图象，分类讨论． 考点2 与矩形有关的旋转 12．（2026·浙江湖州·一模）如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质和矩形的性质结合勾股定理求出的长，再运用四边形、是平行四边形进行转换求出面积即可解答； 【详解】解：∵矩形绕点旋转得到矩形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形,，， ∴四边形是平行四边形， ， ∴阴影部分的面积， 故选：A 【点睛】本题主要考查了勾股定理、旋转的性质、矩形的性质以及平行四边形的判定和性质等知识点，解答时需注意阴影部分面积的转换是解答该题的重要技巧，解题的关键是熟练运用这些知识点． 13．（2026·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转至矩形，旋转角为，当点C，和三点共线时，的长为（        ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当点C，和三点共线，，先根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，通过证明，得出，设，则，在中，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：∵点C，和三点共线， ∴， ∵矩形绕点A逆时针旋转至矩形， ∴，， 在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， 在和中， ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即，解得：， 故选：A．    【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确画出图形，根据勾股定理列出方程求解． 14.（25-26九年级下·重庆·阶段检测）如图，在矩形ABCD中，∠ABD＝60°，BD＝16，连接BD，将△BCD绕点D顺时针旋转n°（0°＜n＜90°），得到ΔB′C′D，连接BB′，CC′，延长CC′交BB′于点N，连接AB′，当∠BAB′＝∠BNC时，则△ABB′的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点D作DE⊥AB′，交的延长线于点E，利用直角三角形的边角关系可得AD的长，由旋转可知：DC＝DC′，DB＝DB′，∠CDC′＝∠BDB′，得到△CDC′∽△BDB′，则∠DCC′＝∠DBB′，利用三角形的内角和定理可得∠BNC=∠CDB=60°，于是∠BAB′＝60°；在中利用直角三角形的边角关系可得AE，DE，在中，利用勾股定理可求，则AB′＝B′E﹣AE；利用平行线之间的距离相等可得△ABB′中AB′边上的高等于DE，利用三角形的面积公式结论可求． 【详解】解：过点D作DE⊥AB′，交B′A的延长线于点E，如图， 在矩形ABCD中， ∵∠ABD＝60°，BD＝16， ∴AD＝BC＝BD•sin∠ABD＝16×＝8． 由旋转可知：DC＝DC′，DB＝DB′，∠CDC′＝∠BDB′， ∴， ∴△CDC′∽△BDB′． ∴∠DCC′＝∠DBB′． ∴∠BNC＝∠CDB． ∵∠CDB＝∠ABD，∠BNC＝∠BAB′，∠ABD＝60°， ∴∠BAB′＝60°． ∵∠BAD＝90°， ∴∠EAD＝180°﹣∠BAB′﹣∠BAD＝30°． ∴DE＝＝4， AE＝AD•cos∠EAD＝8×＝12． ∴B′E＝． ∴AB′＝B′E﹣AE＝4﹣12． ∵∠BAB′＝∠ABD＝60°， ∴AB′∥BD． ∴△ABB′中AB′边上的高等于DE． ∴ ＝×（4﹣12）×4 ＝8﹣24． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系，相似三角形的判定与性质，过点D作DE⊥，添加适当的辅助线，利用直角三角形的边角关系求得的长是解题的关键． 15．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 _____ ． 【答案】5 【分析】连接，，根据矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线可得，最后根据旋转的性质可得：，，从而利用等腰直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由旋转得：，， ∴． 16．（26-27九年级上·全国·单元复习）数学综合实践课上，王老师和同学们一起以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．如图1，矩形和矩形重合，，．矩形保持不动，将矩形绕点E逆时针方向旋转． (1)【问题初探】如图2，创新小组同学将矩形的顶点旋转至边上，求的长度； (2)【问题再探】如图3，创新小组同学继续旋转矩形，发现：当点落在的延长线上时，点、H、G在同一条直线上，你认为创新小组同学的发现正确吗？请说明理由； (3)【深度探究】在（2）的条件下，如图4，连接交于点M，延长交的延长线于点N，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)正确，理由如下： 连接，， ∵矩形和矩形全等， ∴，，， ∴，， ， ． ， ∴四边形是平行四边形， ． ， ，，在同一条直线上； (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出，进而求解即可； （2）连接，，证明四边形是平行四边形，得到，然后结合即可求解； （3）连接，求出，，设，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形和矩形重合， ，， ， ； （2）略 （3）解：连接， 由（2）得四边形是平行四边形， ，． ， ． ，， ， ． 设， 在同一条直线上， ， 在中，利用勾股定理得，， ∴， 解得， ． 17．（2026·山东枣庄·二模）问题情境 如图1，已知矩形ABCD中，点E，F是AD，BC的中点，连接EF，将矩形ABCD沿FF剪开，得到四边形ABFE和四边形EPCD． （1）求证：四边形EPCD是矩形； 操作探究 保持矩形EPCD位置不变，将矩形ABFE从图1的位置开始，绕点E按逆时针方向旋转．设旋转角为α（O°＜α＜360°）操作中，提出了如下问题，请你解答． （2）如图2，当矩形ABFE旋转到点A落在线段EP上时，线段EF恰好经过点D，设DC与AB相交于点G．判断四边形EAGD的形状，并说明理由． （3）在矩形ABFE旋转过程中连接线段AP和BP，当AP＝BP时，求旋转角α的度数． 【答案】 （1）证明：如图1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠C＝90°，AD＝BC， ∵点E，F是AD，BC的中点， ∴ED＝PC， ∴四边形EPCD是平行四边形，∵∠C＝90°， ∴四边形EPCD是矩形； （2）结论：四边形EAGD是正方形， 理由：如图2中， ∵EF∥AB，AE∥GD， ∴四边形EAGD是平行四边形， ∵E是AD的中点， ∴ED＝AE， ∵∠EAG＝90°， ∴四边形EAGD是正方形； （3）旋转角α的度数是60°或300°． 【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，可知AD∥BC，∠C＝90°，AD＝BC，又点E，F是AD，BC的中点，ED＝PC，可得四边形EPCD是平行四边形，根据∠C＝90°，可证四边形EPCD是矩形. （2）由EF∥AB，AE∥GD，可先证得四边形EAGD是平行四边形，根据E是AD的中点，可知ED＝AE，结合∠EAG＝90°，可证四边形EAGD是正方形； （3）根据题意画图可知有两种情况.①由四边形AEFB是矩形，可知AE＝BF，∠EAB＝∠FBA，当PA＝PB，时∠PAB＝∠PBA，即∠EAP＝∠FBP，可证△EAP≌△FBP（SAS），故得EP＝PF、由旋转的性质可得：EP＝EF，所以EP＝PF＝EF，即△EFP是等边三角形，此时α＝∠PEF＝60°；②根据四边形AEFB是矩形，可知AE＝BF，∠EAB＝∠FBA＝90°，当PA＝PB时，∠PAB＝∠PBA，即∠EAP＝∠FBP，可证得△EAP≌△FBP（SAS），即EP＝PF，由旋转可知：EP＝EF，此时EP＝PF＝EF，即△EFP是等边三角形，所以∠PEF＝60°，此时α＝360°∠PEF＝300°； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，连接PF， ∵四边形AEFB是矩形， ∴AE＝BF，∠EAB＝∠FBA， ∵PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA， ∴∠EAP＝∠FBP， ∴△EAP≌△FBP（SAS）， ∴EP＝PF， 由旋转得：EP＝EF， ∴EP＝PF＝EF， ∴△EFP是等边三角形， ∴α＝∠PEF＝60°； 如图4，连接PF， ∵四边形AEFB是矩形， ∴AE＝BF，∠EAB＝∠FBA＝90°， ∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA， ∴∠EAP＝∠FBP，∴△EAP≌△FBP（SAS）， ∴EP＝PF， 由旋转得：EP＝EF， ∴EP＝PF＝EF， ∴△EFP是等边三角形， ∴∠PEF＝60°， ∴α＝360°-∠PEF＝300°； 综上，当AP＝BP时，旋转角α的度数是60°或300°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定，正方形的判定，解本题的关键是注意旋转角为α（O°＜α＜360°），故有两种情况，不要遗漏即可. 18．（2026·河北沧州·一模）如图，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，交矩形边于点，连接． (1)当点在边上时，的度数为______； (2)连接，在旋转过程中求出的最小值，并求出此时的长； (3)若点到直线的距离为3时，求边扫过区域的面积； (4)连接，直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)的最小值为，此时的长为； (3)或； (4) 【分析】（1）由旋转得，结合可知垂直平分，故；用证，结合矩形，得． （2）在以为圆心、为半径的圆上，矩形对角线，故最小值为；设，在中列方程求解得． （3）边扫过区域为扇形，分在矩形内、外两种情况：由到距离为得，在矩形内时旋转角，面积；在矩形外时，面积． （3），取中点，由斜边中线得；在中算得，故最小值为． 【详解】（1）解：∵边绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴． 在和中， ， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． （2）解：∵绕点旋转， ∴点在以为圆心，为半径的圆上． ∵四边形是矩形，，， ∴． 根据两点之间线段最短，当在线段上时，取得最小值，最小值为． 由（1）， ∴，，， ∴，． 设，则． 在中，，解得， ∴． （3）解：如图，过点作于，由题意得． ∵，在中，， ∴． 当在矩形内时，， 此时． 当在矩形外时，， 此时． 综上，边扫过区域的面积或． （4）解：如图，取的中点，连接、． ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，，， ∴，． 在中，由勾股定理得． ∵，当且仅当、、三点共线时，取得最小值， ∴最小值为． 19．（2026·山西·模拟预测）综合与探究 问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点．    猜想证明： （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，求证：四边形是平行四边形； 问题解决： （3）在矩形绕点顺时针旋转的过程中，设直线与直线相交于点，若 ，，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 【答案】（1）， 如图，连接， ∵四边形与四边形都是矩形， ∴， ∴， 即， 根据旋转的性质可得：， ∵，， ∴， ∴． （2）如图：连接， 根据旋转的性质可得：， ∵四边形是矩形， ∴，，， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （3）或． 【分析】（1）连接，根据矩形的性质得出，推得，根据旋转的性质得出，根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）连接，根据旋转的性质得出，根据矩形的性质得出，，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得，根据平行四边形的判定定理即可证明； （3）分为：点，在的同一侧和点，在的异侧，两种情况分别求解，根据勾股定理求出，结合图形求出的值，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定与性质求出的值，根据矩形的性质与相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图，当点，在的同一侧时，    根据旋转的性质可得：，，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即； 如图：当点，在的异侧时，    根据旋转的性质可得：，，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定定理，勾股定理，等角的余角相等，相似三角形的判定与性质等．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 20．（2026·山西运城·三模）综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们利用准备好的两个矩形纸片进行探究活动． 智慧小组准备了两张矩形纸片和，其中，将它们按如图所示的方式放置，点落在上，点落在的延长线上，连接和． 观察发现： （1）如图连接，则和的位置关系是__________，___________． 操作探究： （2）如图，将矩形绕点按顺时针方向旋转（），试探究（1）中和的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 拓展延伸： （3）在矩形旋转的过程中，当三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】（1）；； （2）成立 理由：如下图，连接和． 四边形是矩形，， ∴，， ∴ 四边形是矩形，， ∴， ∴ 在和中， ，， ∴． ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴ （3）或 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，计算较复杂，做出正确的辅助线是解题的关键． （1）由矩形性质得到的长度，求的长度，用勾股定理求解的长度，可得，用勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故． （2）连接和，结合矩形性质和勾股定理可求的长度，求得，且，故，可得、，求得，故，得证； （3）有两种情况，若当点在的延长线上，在直角三角形中求，则，结合（2）中，可求；若点在线段上，在直角三角形中求，则，结合（2）中，可求． 【详解】解：如下图，连接，延长相交于， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴在中，， 同理：， ， ∴ ∵， ∴是直角三角形， ∴，． 故答案为：垂直，； （2）略 （3）的长为或 情况一：如下图，当点在的延长线上时， ， ∴为直角三角形， ∴，即， ∴， ∴． 由（2）得， ∴． 情况二：如图，当点在线段上时， ， ∴为直角三角形， ∴，即， ∴， ∴． 由（2）得， ∴． 综上所述，当三点共线时，线段的长为或． 【点睛】本体考查图像旋转问题，用到旋转的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形全等的判定和性质，孰料掌握知识点、正确做出辅助线是解题关键． 考点3 与正方形有关的旋转 21．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，再根据，即得结果． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 22．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，则点E在以为直径的圆上，取中点G，当过点G时，有最小值，由旋转的性质得到，则此时也取最小值，即可解答． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 取中点G，连接，当过点G时，有最小值，    又∵按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴此时也取最小值， ∵，为的半径，即， ∴此时， ∴， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从而得到点的轨迹． 23．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转与正方形的相关知识，根据旋转的性质以及正方形的性质可得到的度数，根据三角函数求得的长，则的面积即可求得，然后利用正方形的面积减去和的面积即可求解，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，将与的交点记为，连接，    解：在和中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：． 24．（2026·江苏连云港·二模）如图，正方形的面积为2，是以为圆心，为半径的弧上的一动点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．则的最大面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，连接交于点，证明，得到当点在点处时，的值最大，最大值为的长，根据正方形的面积为2，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，连接交于点， ， ， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， 即当点在点处时，的值最大，最大值为的长， 正方形的面积为2， ， ， ， 的最大面积是． 25．（25-26八年级下·福建福州·期末）把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、，由正方形的性质得，，则，，由旋转得，，，则点在上，所以，，则，可证明，则，所以，求得四边形的周长是，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 四边形是边长为5的正方形， ，， ， ， 把正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E， ，，， ，点在上， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形的周长是， 故选：D． 26．（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据正方形性质求出长度及点坐标，根据每次旋转可知每旋转次回到原位，计算的余数，确定与重合，结合图形对称性求出坐标． 【详解】解：连接，如图所示， 四边形是正方形，点坐标为， ，， 点坐标为， ， 每次顺时针旋转，旋转一周需次， 点的对应点坐标每次为一个循环周期 依次推导前几次旋转后点对应点的坐标： 第次旋转，点在轴正半轴，坐标为， 第次旋转，点在第四象限角平分线上，坐标为 ， 第次旋转，点在轴负半轴，坐标为 ， 第次旋转，点在第三象限角平分线上，坐标为 ， 第次旋转，点在轴负半轴，坐标为， 第次旋转，点在第二象限角平分线上，坐标为 ， 第次旋转，点在轴正半轴，坐标为， 第次旋转，点回到第一象限角平分线上，坐标为 ， ， 点的坐标与点的坐标相同 ， 点的坐标为． 27．（25-26九年级上·陕西安康·期中）综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． (1)如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为． ①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值． (2)如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____． 【答案】(1)①．理由如下：设分别交，于点， ∵四边形与四边形均为正方形， ． ，即， ， ， ． ， ． ② (2)正方形； 【分析】（1）①由“”可证，可得，，可证； ②由“”可证，可得，由面积和差关系可求解； （2）根据正方形的判定可判断四边形是正方形，其面积最大为时，根据三角形的中位线定理可求出其边长，进一步求出其最大面积． 【详解】（1）①略；②如图3，过点作于，过点作直线于， ， ， 又， ， ， ， 当有最大值时，四边形面积有最大值， 即当时，有最大值为， 四边形面积的最大值为； （2）解：如图4，连接，， 点，，，分别是，，，的中点， ，，，，，，，， 由（1）知，， ， 四边形为菱形， 由（1）知， ∵，， ∴，即， 菱形为正方形； 如图5，当，，三点在同一条直线上时，，，三点也在同一条直线上， 此时正方形的面积最大， ， ． 28．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在正方形中，，点E为正方形内一点，连结，，． (1)如图2，将线段绕点B按顺时针方向旋转得到，连结，求证：． (2)如图3，在（1）的条件下，当时，连结，，求的面积． (3)如图4，若将绕点B按顺时针方向旋转得到，当点C在直线上，且面积为3时，求的值． 【答案】(1)解：∵正方形， ∴， ∵线段绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ，即， 在和中， ， ； (2)10 (3)或1或 【分析】（1）根据正方形的性质及旋转的性质得出，，，确定，再由全等三角形的判定证明即可； （2）延长交于点M．根据全等三角形的性质得出，勾股定理得出，利用矩形的判定和性质得出，，结合图形求面积即可； （3）分两种情况分析：当在正方形内部时，当在正方形外部时，作出辅助线，利用全等三角形的判定和性质，勾股定理等结合图形求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：延长交于点M， ， ，， ，， ∴， ， ∵， ∴， 四边形是矩形， ，， ． （3）解：当在正方形内部时，过点A作，垂足为F， ∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵点C在直线上， ∴， 在正方形中，， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ． 设，，则，， ， ． ，即， 整理得：， 解得：或，即或1． 当在正方形外部时， 同理得：，， ， ． ，即， 整理得：， ，即． 综上所述，或1或． 29．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）综合与探究 以“图形的旋转与面积”为主题开展下列数学活动． 提出问题 （1）如图①，将边长为2的正方形的对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点作，交的延长线于点，易证，得到的面积为________； 问题探究 （2）如图②，在矩形中，，将对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积：（用含的代数式表示） 解决问题 （3）如图③，在锐角三角形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积． 【答案】（1）2；（2）；（3）25． 【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，先证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可解答； （3）过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，最后根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积为； （2）过点作，交的延长线于点， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 由旋转的性质得：， ∴， ∴ 在和中 ∴（） ∴ 则的面积为 （3）过点作，交的延长线于点， 过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴ ∵， ∴， 由旋转的性质得：， 在和中 ∴（） ∴ ∵， ∴是等腰三角形， ∴是的中点， ∵ ∴ 则的面积为 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 30．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）综合与探究 问题情境： 在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图，正方形的对角线和相交于点，点是正方形内的一点，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，直线经过点． 特例探究： （1）如图2，当点与点重合时，判断和的数量关系并证明； 操作探究： （2）如图1，当点与点不重合时，判断，和之间的数量关系，并说明理由； 类比探究： （3）如图3，将“正方形”改为“菱形”，将“绕点逆时针旋转得到”改为“绕点逆时针旋转得到”，其余条件不变，请直接写出，和之间的数量关系．    【答案】（1），证明见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，，由旋转的性质可得，可得四边形是正方形，即可得出结论； （2）由“”可证，可得，由旋转的性质可得，，，可求，由等腰直角三角形的性质可求，即可求解； （3）由“”可证，可得，由四边形内角和定理可求，由“”可证，可得，可得结论． 【详解】解：（1）． 证明：四边形是正方形， ，，，， 将绕点逆时针旋转得到，点与点重合， ，， ， 四边形是菱形， 又， 四边形是正方形， ； （2），理由如下： 如图，延长至，使，连接，   ，，， ， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， 即：； （3），理由如下， 如图，过点作，交的延长线于点，连接，并延长交的延长线于点，于点，    将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ，都是等边三角形， ， ， ， ， ， 又，， ，， ， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 31．（2026·山东枣庄·二模）如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE． 猜想证明： (1)四边形BE'FE的形状是______； (2)如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明； (3)如图①，若AB＝15，CF＝3，求DE的长． 【答案】(1)正方形 (2)CF＝FE' (3) 【分析】（1）由旋转的特征可得到∠E′＝∠AEB＝90°、∠EBE′＝90°、BE′＝BE，再由∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°，可判定四边形BE′FE是正方形； （2）过点D作DG⊥AE于点G，由DA＝DE得AG＝AE，再证明△ADG≌△BAE，且由四边形BE′FE是正方形，得到FE′＝AG＝CE′，可证得结论； （3）过点D作DG⊥AE于点G，由旋转及四边形BE′FE是正方形可得如下关系：AE＝CE′＝FE′+CF＝FE′+3＝BE+3，在Rt△BAE中根据勾股定理求出BE、AE的长，由（1）可知，△ADG≌△BAE，得到DG＝BE，AG＝BE，再由勾股定理求出DE的长． 【详解】（1）四边形BE′FE是正方形． 理由如下：由旋转得，∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°， ∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°， ∴四边形BE′FE是矩形， 由旋转得，BE′＝BE， ∴四边形BE′FE是正方形． （2）CF＝FE'， 证明：如图2，过点D作DG⊥AE于点G，则∠DGA＝∠AEB＝90°， ∵DA＝DE， ∴AG＝AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠BAE+∠DAG＝90°， ∵∠ADG+∠DAG＝90°， ∴∠ADG＝∠BAE， 在△ADG和△BAE中 ， ∴△ADG≌△BAE（AAS）， ∴AG＝BE； ∵四边形BE′FE是正方形， ∴BE＝FE′， ∴AG＝FE′， 由旋转得，AE＝CE′， ∴AE＝CE′， ∴FE′＝AE＝CE′， ∴CF＝FE'． （3）如图3，过点D作DG⊥AE于点G， ∵BE＝FE′，CF＝3， ∴AE＝CE′＝FE′+CF＝FE′+3＝BE+3， ∵AE2+BE2＝AB2，且AB＝， ∴(BE+3)2+BE2＝()2， 解得，BE＝9或BE＝﹣12（不符合题意，舍去）， ∴AE＝9+3＝12， 由（2）得，△ADG≌△BAE， ∴DG＝AE＝12，AG＝BE＝9， ∴GE＝AE﹣AG＝12﹣9＝3， ∵∠DGE＝90°， ∴DE＝＝＝． 【点睛】此题考查了正方形的性质与判定、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造全等三角形． 32．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 已知四边形与均为正方形． 数学思考： （1）如图1，当点在边上，点在边上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______． （2）在图1的基础上，将正方形以点为旋转中心，逆时针旋转角度，得到图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 拓展探索： （3）如图3，若点，，在同一直线上，且，则线段长为_____．（直接写出答案即可，不要求写过程）． 【答案】（1），；（2）成立．证明见解析；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，，即可证明，； （2）延长，与交于点，证明，得，，再由即可证明结论； （3）过点A作于点M，由，证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AM和EM的长，再算出BM的长，即可得到BE的长． 【详解】解：（1）∵四边形与均为正方形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 故答案是：，； （2）成立， 如图，延长，与交于点， ∵四边形与均为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点A作于点M， 由（2）知， ∵GE是正方形AEFG的对角线， ∴， 则是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行证明求解． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $