第1章 特殊平行四边形 单元检测（培优） 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 2026年北师大版数学九年级上册“特殊平行四边形”培优单元卷，聚焦核心素养，通过基础巩固与综合探究，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|菱形、矩形性质判定，动态面积|结合尺规作图（题1）、折叠问题（题4），考查空间观念| |填空题|5/15|中点问题、动点最值|如9题菱形中点动态最值，体现几何直观与抽象能力| |解答题|7/61|新定义（对直四边形）、折叠探究、证明推理|19题新定义探究，20题矩形折叠迁移应用，培养推理意识与创新意识|

2026年北师大版数学九年级上册 特殊平行四边形 单元检测（培优） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质．根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，菱形中，，，，，垂足分别为，连接，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，由菱形的性质得出，，证明是等边三角形，作于，分别计算出和的长，再由计算即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，， ，， ，， ，，，， ，， 是等边三角形， ， 如图，作于， 则， ， ， 故选：B． 3．如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，动点问题的函数图象，由函数图象，得到，，，再由勾股定理，三角形面积公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：作于， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由图象知：，，， 令， ∴ 由勾股定理： ∴， ∴， 故选：B． 4．矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图作已知角的平分线，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定；设交于点Q，先由矩形的性质和勾股定理可求出，然后证明可得，，进而求出，由等腰三角形的性质和判定可得，最后由勾股定理可求出. 【详解】解：设交于点Q， 在矩形中，，， ∵，， ∴， 由作图得：平分， ∴， ∵过点C作的垂线分别交，于点M，N， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：A. 5．下列说法中，不正确的是（   ） A．四个角都相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形 C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴 D．如图，四边形中，，顺次连接四边形各边中点得到的图形是矩形 【答案】D 【分析】本题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，中点四边形，中位线的性质，根据矩形的判定，正方形的性质，菱形和平行四边形的判定对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，说法正确； B、对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形，说法正确； C、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，说法正确； D、如图，四边形中， 设四边形各边中点分别为， ∴ 又∵， ∴ ∴四边形是菱形，即顺次连接四边形各边中点得到的图形是菱形，原说法错误； 故选：D． 6．如图，在正方形纸片中，M，N分别是的中点，将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕交于点F，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明是矩形，再推出是的垂直平分线，求出，再利用勾股定理求出，得到，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴是矩形， ∴，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质、矩形的判定与性质、正方形的性质，翻折变换的性质，适时利用勾股定理是解答此类问题的关键． 7．如图，正方形的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点在直线上，直线l分别交x轴，y轴于点E，F，将正方形沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上．则m的值为（    ） A．5 B．7 C．3 D．6 【答案】B 【分析】先根据待定系数法求得的解析式，过点作于点，过点作于点，证明，即可得到的长，再证明，即可得到点坐标，再根据平移可得平移后的坐标，代入直线，即可解答． 【详解】解：点在直线上， ， ， 直线解析式为， 如图，过点作于点，过点作于点， 则，， ，， 在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， 将正方形沿y轴向下平移个单位长度后，点C恰好落在直线l上， 设平移后点， ， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平移的性质，正确做出辅助线是解题的关键． 8．如图，在矩形 中， ，点 为边 上一点，将 沿 所在直线翻折，得到 ， 点 恰好是 的中点， 为 上一动点，作 于 ，则 的最小值为 （    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形与折叠，勾股定理得到，如图所示，过点作，交于点，过点作于点，交于点，得到四边形是矩形，，则，则，当时，，根据点到直线垂线段最短得到此时的值最小，最小值为的值，根据题意可证，得到，，，则是等边三角形，，由等边三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵点是的中点， ∴，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 如图所示，过点作，交于点，过点作于点，交于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，则， ∴， 当时，，根据点到直线垂线段最短得到此时的值最小，最小值为的值， ∵于点， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，，即， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴是等边三角形， 又， ∴， ∴， ∴ 的最小值为， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查矩形判定和性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，则的最小值为 __． 【答案】 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，即得到最小值，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出最小值即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ， ，分别为、的中点， 是的中位线， ， 当时，则，最小，即得到最小值， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线． 10．如图，点O为菱形的对称中心，连接，，连接并延长交边于点F，则四边形的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，证明为等边三角形，过点作，过点作，用的面积减去的面积进行求解即可． 【详解】解：∵点O为菱形的对称中心，， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴，， 过点作，过点作， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 11．如图，在矩形中，点E，F分别是边，上的动点，点P是线段的中点，过点P作，，垂足分别为G，H，连接．若，，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．连接，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得到，当三点共线，最小即可得到答案． 【详解】解：连接， 矩形， ， ， ， 点P是线段的中点， ， ， ， 四边形是矩形， ， 当三点共线，最小， 则的最小值为， 故答案为：． 12．如图，矩形中，，，P是上不与A和B重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值是__________．    【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出，，利用矩形的对角线相等且互相平分以及三角形中线的性质求出的面积，然后根据列方程求解即可． 【详解】解： 设与相交于点O，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中线的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键． 13．如图，已知正方形中，，，垂直于，已知，则_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 过点作，交的延长线于点，设，则，，证明和全等，得，，则，，在中，由勾股定理可求出，进而得，，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图所示， ， ， 设，则， ． 四边形是正方形， ，． ． 在中，， ， ． ． 在和中， ． ，． ． ． 在中，由勾股定理得：， ． ，． 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．如图，在中，点E，F分别在边，上，且． (1)求证：； 下面是小轩的证明过程： 证明：四边形是平行四边形， ，，．① ， ，② 在与中， ， ③； 上述推理过程从第_________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程． (2)在不添加新的点和线的情况下，请你添加一个条件_________，使四边形是菱形．（直接填空，不需说明理由） 【答案】(1)②； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ， ， ∴ 在与中， ， ； (2)（答案不唯一） 【分析】（1）由于，根据平行线的性质得不到，故②错误；根据平行四边形的性质证明出，再由证明全等即可； （2）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形添加条件即可； 【详解】（1）解：上述推理过程从第②步开始出现错误，因为得不到； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形． 15．如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，， ． (1)求证：四边形是矩形； (2)在边上有一点，沿翻折，使得点的对应点落在上，用无刻度尺子和圆规作出折痕，保留作图痕迹，不写作图过程， (3)在（2）的基础上，若，连接，求的长度，直接写出答案． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，为线段的中点， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形是矩形； (2) 根据折叠得到，折痕平分，则尺规作的角平分线即可，如图所示， 或根据折叠得到， ，以点D为圆心，以为半径画弧交于点，过点F作的垂线即可，如图所示， (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再证明，得到，且，由矩形的判定方法即可求证； （2）根据折痕平分，或根据角平分线的性质定理尺规作图即可； （3）由勾股定理得到，连接，过点B作于点，由等面积法得到，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：∵， ∴， ∵点O是中点， ∴， 如图所示，连接，过点B作于点， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，尺规作角平分线，尺规作垂线，勾股定理等知识的综合运用，掌握矩形的判定和性质，尺规作图的方法，勾股定理的计算是关键． 16．活动课上，老师给同学们发了一张平行四边形的纸片（），要求利用尺规作图，在上各找一点，使四边形为矩形． (1)某数学小组想出以下两种方法，请选择其中一种作法，证明其正确性． 思路一 思路二 作图步骤 过点作于点，在上作．则四边形即为所求． 连接交于点，以点为圆心，以为半径画弧，分别交边于点．则四边形为所求． 作图痕迹 我选择思路，理由如下： (2)数学小组将作出的矩形纸片，剪下来，提出了一个新问题： 如图，点是矩形对角线的交点，过点作分别交于点，连接，若，，求四边形的周长． 【答案】(1) 解：思路一： 由作图可知，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 思路二：如图，连接，， 由作图可知，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点三点共线， ∴， ∴四边形是矩形， (2)四边形的周长为． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，尺规作图，菱形的判定与性质，勾股定理知识点，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据作图和矩形的判定方法即可求解； （）由四边形是矩形，得，，，，证明，则，故有四边形是平行四边形，从而可得四边形是菱形，所以，设，则，然后通过勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴四边形的周长为． 17．如图1，四边形中， ，，，，，动点在线段边上以每秒1个单位的速度由点向点运动，动点从点同时出发，以每秒3个单位的速度向点运动，设动点的运动时间为秒． (1)当为何值时，满足和？请说明理由． (2)如图2，若是上一点，，那么在线段上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 解： 连接，如图所示， 若满足和，则四边形为平行四边形， ， 设动点的运动时间为秒， 则，， ， ， 解得：，符合题意， 当，满足和； (2) 解：假设在线段上存在一点，使得四边形是菱形，连接，， 设动点的运动时间为秒，则， ，要使得四边形是菱形，则需要， ，， ， 在中，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， 此时，， 当时，在线段上存在一点，使得四边形是菱形． 【分析】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，勾股定理，解题关键是能正确建立方程． （1）要满足和，即四边形为平行四边形，已有，故需要，由此可以得到关于的方程，解方程即可求解； （2）利用菱形的判定，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到，再利用勾股定理建立方程求解即可； 【详解】（1）略 （2）略 18．小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 　　 (2)性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形的面积与两对角线，之间的数量关系： 　　． (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，． ①求证：四边形为垂美四边形； ②求出四边形的面积． 【答案】(1)菱形、正方形 (2) (3) ①证明：连接和，设与相交于点，与相交于点，如图2所示： ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形； ② 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）根据列式求解即可； （3）①连接，，证出，由SAS证明，得出，，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出，得出即可； ②根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、和正方形， ∴菱形和正方形一定是垂美四边形； （2）解：； （3）①略 ②解：∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形为垂美四边形， ∴四边形的面积． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查的是垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 19．探究与实践． 【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． 【问题解决】 （1）写出一个你知道的对直四边形： ． （2）如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是 ． （3）如图在方格纸中，A、B两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形，且点C、D都在格点上． 【拓展探究】 （4）如图4，在边长为4的正方形中，点E，F分别在，上，且点E为的中点，，试说明四边形是对直四边形． 【实践应用】 （5）某新建小区的建筑工地有一批铺完室内地板后剩下的瓷砖，形状如图5所示，其中，，．现根据要求，需将每张四边形瓷砖进一步切割成一个等腰三角形瓷砖和一个“对直四边形”瓷砖，用来铺设小区内花园的小路，要求原材料充分利用无剩余．请直接写出切割后得到的等腰三角形瓷砖的腰长是　　　　　．（写出所有情况） 【答案】（1）矩形（答案不唯一）； （2）； （3）如图，答案不唯一 （4）证明：连接， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， ， 四边形是对直四边形； （5）或或 【分析】（1）根据新定义得矩形或正方形，即可求解； （2）连接，由勾股定理得，，即可求解； （3）根据新定义画出图形即可求解； （4）连接，由正方形的性质及勾股定理及其逆定理得，为直角三角形，即可求解； （5）分类讨论：①过点作交于，②在①的条件下，过点作交于，③过点作交于；即可求解． 【详解】解：（1）矩形（答案不唯一）， 故答案为：矩形（答案不唯一）； （2）连接，根据题意可得， ， ， 故答案为：； （3）略 （4）略 （5）①过点作交于， ， 四边形是矩形， 四边形是对直四边形， ， ， ， 为等腰三角形， ； 故腰长为； ②在①的条件下，过点作交于， 同理可证：， 是等腰三角形， ∴， 四边形是对直四边形， 由①得，， ， ， ， 故腰长为； ③过点作交于， ， 四边形是对直四边形， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 故腰长为； 综上所述：等腰三角形瓷砖的腰长是或或． 【点睛】本题考查了新定义，等腰三角形的判定，勾股定理及其逆定理，矩形的判定及性质，正方形的性质；理解新定义，能根据腰不同进行分类讨论是解题的关键． 20．综合与实践课，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，连接，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中______°； (2)迁移探究 小新同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，求和的度数； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，请直接写出的长． 【答案】(1)30 (2)①； ②，理由如下： ，， ， ； (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得； （2）①根据折叠的性质，可证，即可求解， ②根据折叠的性质，可证，即可求解； （3）由（2）可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设，分别表示出，，，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ，， ， ， ， ； 故答案为：30； （2）解：①四边形是正方形， ，， 由折叠性质得：，， ； ， ， ， ， ； ②略 （3）解：当点在点的下方时，如图， ，，， ，， 由（2）可得，， 设，， ， 即， 解得：， ∴ 当点在点的上方时，如图， ，，， ，， 由（2）可知，， 设，， ， 即， 解得：， ∴． 综上所述：为或． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 试卷第30页（共31页） 试卷第11页（共31页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北师大版数学九年级上册 特殊平行四边形 单元检测（培优） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 2．如图，菱形中，，，，，垂足分别为，连接，则的面积是（   ） A． B． C． D． 3．如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（    ） A． B． C． D．9 4．矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为（    ） A． B． C．4 D．5 5．下列说法中，不正确的是（   ） A．四个角都相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形 C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴 D．如图，四边形中，，顺次连接四边形各边中点得到的图形是矩形 6．如图，在正方形纸片中，M，N分别是的中点，将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕交于点F，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点在直线上，直线l分别交x轴，y轴于点E，F，将正方形沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上．则m的值为（    ） A．5 B．7 C．3 D．6 8．如图，在矩形 中， ，点 为边 上一点，将 沿 所在直线翻折，得到 ， 点 恰好是 的中点， 为 上一动点，作 于 ，则 的最小值为 （    ） A． B．3 C． D． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，则的最小值为 __． 10．如图，点O为菱形的对称中心，连接，，连接并延长交边于点F，则四边形的面积为___________． 11．如图，在矩形中，点E，F分别是边，上的动点，点P是线段的中点，过点P作，，垂足分别为G，H，连接．若，，，则的最小值为______． 12．如图，矩形中，，，P是上不与A和B重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值是__________．    13．如图，已知正方形中，，，垂直于，已知，则_______． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．如图，在中，点E，F分别在边，上，且． (1)求证：； 下面是小轩的证明过程： 证明：四边形是平行四边形， ，，．① ， ，② 在与中， ， ③； 上述推理过程从第_________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程． (2)在不添加新的点和线的情况下，请你添加一个条件_________，使四边形是菱形．（直接填空，不需说明理由） 15．如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，， ． (1)求证：四边形是矩形； (2)在边上有一点，沿翻折，使得点的对应点落在上，用无刻度尺子和圆规作出折痕，保留作图痕迹，不写作图过程， (3)在（2）的基础上，若，连接，求的长度，直接写出答案． 16．活动课上，老师给同学们发了一张平行四边形的纸片（），要求利用尺规作图，在上各找一点，使四边形为矩形． (1)某数学小组想出以下两种方法，请选择其中一种作法，证明其正确性． 思路一 思路二 作图步骤 过点作于点，在上作．则四边形即为所求． 连接交于点，以点为圆心，以为半径画弧，分别交边于点．则四边形为所求． 作图痕迹 我选择思路，理由如下： (2)数学小组将作出的矩形纸片，剪下来，提出了一个新问题： 如图，点是矩形对角线的交点，过点作分别交于点，连接，若，，求四边形的周长． 17．如图1，四边形中， ，，，，，动点在线段边上以每秒1个单位的速度由点向点运动，动点从点同时出发，以每秒3个单位的速度向点运动，设动点的运动时间为秒． (1)当为何值时，满足和？请说明理由． (2)如图2，若是上一点，，那么在线段上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 18．小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 　　 (2)性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形的面积与两对角线，之间的数量关系： 　　． (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，． ①求证：四边形为垂美四边形； ②求出四边形的面积． 19．探究与实践． 【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． 【问题解决】 （1）写出一个你知道的对直四边形： ． （2）如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是 ． （3）如图在方格纸中，A、B两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形，且点C、D都在格点上． 【拓展探究】 （4）如图4，在边长为4的正方形中，点E，F分别在，上，且点E为的中点，，试说明四边形是对直四边形． 【实践应用】 （5）某新建小区的建筑工地有一批铺完室内地板后剩下的瓷砖，形状如图5所示，其中，，．现根据要求，需将每张四边形瓷砖进一步切割成一个等腰三角形瓷砖和一个“对直四边形”瓷砖，用来铺设小区内花园的小路，要求原材料充分利用无剩余．请直接写出切割后得到的等腰三角形瓷砖的腰长是　　　　　．（写出所有情况） 20．综合与实践课，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，连接，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中______°； (2)迁移探究 小新同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，求和的度数； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，请直接写出的长． 试卷第2页（共7页） 试卷第1页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $