第一章 特殊平行四边形章 复习课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的定义、性质、判定及中点四边形等核心内容，通过知识结构图呈现四边形层级关系，用表格对比对称性，以定义-性质-判定逻辑链串联知识点，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于采用“题型归纳-解题通法-综合提升”复习策略，如矩形折叠问题通过“找等量-用勾股”培养推理意识，正方形线段最值用将军饮马模型发展几何直观，新定义“筝形”探究提升创新意识。分层例题设计让不同学生巩固知识，教师可精准教学，提高复习效率。

第一章 特殊平行四边形 数学北师大版九年级上册 通过完成导学任务，请同学展示本章的知识结构图. 特殊平行四边形 矩形 定义 性质定理 判定定理 菱形 性质定理 判定定理 正方形 性质定理 判定定理 认识 对称性 特殊平行四边形 菱形：有一组邻边相等的平行四边形. 矩形：有一个角是直角的平行四边形. 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. 定义 菱形、矩形、正方形都是平行四边形，具有平行四边形的所有性质. 四边形之间的关系 四边形 平行四边形 梯形 矩形 菱形 正方形 特殊平行四边形 菱形、矩形、正方形的对称性 图形 对称性 对称轴 对称轴条数 对角线所在直线 过对边中点的直线 对角线所在直线及过对边中点的直线 2条 2条 4条 菱形、矩形、正方形都是轴对称图形 特殊平行四边形 菱形的性质与判定 菱形的性质 定理 菱形的四条边相等. 定理 菱形的对角线互相垂直. A C B D O 菱形的其他特殊性质： (1)菱形的每条对角线都平分一组对角. (2)菱形被对角线所分成的四个直角三角形全等. 菱形的面积 A B C D O E 菱形的性质与判定 菱形的判定 定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 定理：四边相等的四边形是菱形. 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. A C B D O 菱形的性质与判定 矩形的性质 定理 矩形的四个角都是直角. 定理 矩形的对角线相等. A O B D C 矩形的性质与判定 直角三角形斜边中线的性质 C B A O 矩形的性质与判定 矩形的判定 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 定理：有三个角是直角的四边形是矩形. 定理：对角线相等的平行四边形是矩形. A O B D C 矩形的性质与判定 正方形的性质 定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分. A B C D O 正方形的其他性质： (1)正方形的面积=边长的平方=对角线乘积的一半. (2)正方形的每条对角线平分一组对角. (3)正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 正方形的性质与判定 正方形的判定 定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 定理 有一组邻边相等的矩形是正方形. 定理 对角线互相垂直的矩形是正方形. 定理 有一个角是直角的菱形是正方形. 定理 对角线相等的菱形是正方形. A B C D O 正方形的性质与判定 中点四边形 中点四边形 定义：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形. 如图，在四边形ABCD中，若E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是中点四边形. A B C D E F G H 中点四边形 形状：中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系. 对角线垂直且相等 正方形 对角线相等 菱形 对角线垂直 矩形 对角线不垂直，不相等 平行四边形 中点四边形 题型1 菱形性质的应用 题型2 菱形面积的求法 题型3 菱形的判定 题型4 矩形性质的应用 题型5 矩形的折叠问题 题型6 矩形的判定 题型7 正方形性质的应用 题型9 正方形的判定 题型8 正方形中的线段最值问题 题型10 中点四边形 题型归纳·内容归纳 C 题型1 菱形性质的应用 A O D C B E ∟ A E O D C B ∟ 题型2 菱形面积的求法 A E O D C B ∟ C 题型2 菱形面积的求法 利用菱形的性质求高的解题思路： 1.借助菱形的对角线互相垂直平分，结合勾股定理算出两条对角线长度. 2.用对角线乘积的一半计算菱形面积. 3.利用面积=边长×高，变形求出高的数值. 等积转化 题型2 菱形面积的求法 题型3 菱形的判定 如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是菱形的是(     ) A.AB=CD B.AC=BD C.∠ACB=∠ACD D.∠ACB=∠CAD A D C B 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD∥BC，根据“两直线平行，内错角相等”，则∠CAD=∠ACB，当∠ACB=∠ACD， 可得∠CAD=∠ACD， 题型3 菱形的判定 如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是菱形的是(     ) A.AB=CD B.AC=BD C.∠ACB=∠ACD D.∠ACB=∠CAD C A D C B 根据“等边对等角”，可得AD=CD， 根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知四边形ABCD是菱形. 选项C正确. 题型4 矩形性质的应用 30 A D C B O E 题型5 矩形的折叠问题 如图，将矩形纸片ABCD沿直线DE折叠，使点A落在BC边上的F处，若CD=9，AE=5，则CF的长为_____. A D C B F E 题型5 矩形的折叠问题 如图，将矩形纸片ABCD沿直线DE折叠，使点A落在BC边上的F处，若CD=9，AE=5，则CF的长为_____. 12 设BC=x，则DF=AD=BC=x，CF=BC−BF=x−3.在Rt△DCF中，CD²+CF²=DF²，即9²+(x−3)²=x². 整理得：81+x²−6x+9=x². 解得：x=15.∴CF=15−3=12. A D C B F E 矩形折叠问题的解题步骤： 1.根据折叠前后图形全等找到相等线段或相等角； 2.利用矩形的性质将已知边长转化到直角三角形中； 3.设未知数表示出未知线段，利用勾股定理列方程. 核心思路：利用折叠的等量关系，把条件集中到直角三角形中，再用勾股定理计算. 题型5 矩形的折叠问题 题型6 矩形的判定 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是(     ) A.AC=BD B.AB=BC C.AB∥CD D.AC⊥BD 选项A：矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形ABCD中对角线AC=BD，满足条件，可以判定它是矩形，该选项正确. A D C B 题型6 矩形的判定 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是(     ) A.AC=BD B.AB=BC C.AB∥CD D.AC⊥BD 选项B：邻边相等(AB=BC)的平行四边形是菱形，不能判定是矩形，该选项错误. 选项C：平行四边形本身就具有对边平行的性质，AB∥CD本来就是平行四边形的已有性质， A D C B 题型6 矩形的判定 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是(     ) A.AC=BD B.AB=BC C.AB∥CD D.AC⊥BD A 无法判定它是矩形，该选项错误. 选项D：对角线互相垂直(AC⊥BD)的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项错误. 故选：A. A D C B 题型7 正方形性质的应用 D A D C B E F 题型8 正方形中的线段最值问题 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是(     ) A.5 B.10 C.12 D.14 如图，连接DE，交AC于P′，连接BP′，则此时PB+PE的值最小. ∵四边形ABCD是正方形， ∴B、D关于AC对称，∴PB=PD.∴PB+PE=PD+PE≥DE. A D C B E P P′ 题型8 正方形中的线段最值问题 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是(     ) A.5 B.10 C.12 D.14 B A D C B E P P′ 线段最值问题(将军饮马模型)解题步骤： 1.找对称点； 2.转化线段； 3.计算长度. 核心思路：利用轴对称将折线转化为直线，再用勾股定理求线段长. 题型8 正方形中的线段最值问题 题型9 正方形的判定 ∵在矩形ABCD中，当AO=AD时，不能判定四边形ABCD是正方形，故A不符合题意； 当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形，故B符合题意； A D C B O B A D C B O 题型9 正方形的判定 如图，E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，下列说法不正确的是(     ) A.四边形EFGH一定是平行四边形 B.若AC=BD，则四边形EFGH是菱形 C.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形 D.若四边形ABCD是矩形，则四边形EFGH是正方形 题型10 中点四边形 ∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF、FG、GH分别为△ABC、△BCD、△ADC的中位线， 如图，E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，下列说法不正确的是(     ) A.四边形EFGH一定是平行四边形 B.若AC=BD，则四边形EFGH是菱形 C.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形 D.若四边形ABCD是矩形，则四边形EFGH是正方形 题型10 中点四边形 如图，E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，下列说法不正确的是(     ) A.四边形EFGH一定是平行四边形 B.若AC=BD，则四边形EFGH是菱形 C.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形 D.若四边形ABCD是矩形，则四边形EFGH是正方形 题型10 中点四边形 当AC=BD时，EF=FG，则平行四边形EFGH为菱形， 当AC⊥BD时，EF⊥FG，则平行四边形EFGH是矩形， 如图，E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，下列说法不正确的是(     ) A.四边形EFGH一定是平行四边形 B.若AC=BD，则四边形EFGH是菱形 C.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形 D.若四边形ABCD是矩形，则四边形EFGH是正方形 题型10 中点四边形 若四边形ABCD是矩形，则四边形EFGH是菱形，不一定是正方形.故选：D. D 中点四边形的解题思路： 利用三角形的中位线转化为对角线的关系来判断中点四边形的形状. 特殊四边形的中点四边形： 矩形(对角线相等)的中点四边形是菱形； 菱形(对角线垂直)的中点四边形是矩形； 正方形(对角线相等且垂直)的中点四边形是正方形. 题型10 中点四边形 A D C B O 选项A：平行四边形中，若对角线AC=BD，则四边形ABCD是矩形，不是菱形，A错误； A D C B O A D C B O 选项C：平行四边形中，若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形，不是矩形，C错误； A D C B O D 如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线BD的垂直平分线分别交BD、AD、BC于点O、E、F， (1)求证：四边形BEDF是菱形； A D C B O ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠ODE=∠OBF， ∵EF垂直平分BD，∴BO=DO， 在△DOE和△BOF中，∠ODE=∠OBF，OD=OB，∠DOE=∠BOF， E F 如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线BD的垂直平分线分别交BD、AD、BC于点O、E、F， (1)求证：四边形BEDF是菱形； A D C B O E F A D C B O E F 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，AF与DE交于点O，连接DF. (1)求证：四边形AEFD是矩形； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵CF=BE， ∴BE+CE=CE+CF， ∴BC=EF，∴AD=EF， 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，AF与DE交于点O，连接DF. (1)求证：四边形AEFD是矩形； (3)当x=2时，四边形APQD是哪种特殊四边形？请说明理由. 四边形APQD为菱形.理由如下： ∵x=2，∴AP=2×2=4cm，DQ=6−2=4cm， ∴AP=DQ，∵AP∥DQ， ∴四边形APQD是平行四边形， ∵AD=4cm，∴AP=AD， ∴四边形APQD是菱形. 动点问题的解题思路： 1.定图形性质：先明确图形的边、角、对角线性质. 2.设动点参数：设未知数，写出相关线段的表达式. 3.列方程：根据题目要求列等式. 4.验证取值范围：检查动点的运动范围，排除不符合题意的解. 如图，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，这样特殊的四边形称为“筝形”. (1)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的定义， 请你给“筝形”下一个定义； 筝形定义：有两组邻边分别相等的四边形叫作筝形.即：四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则四边形ABCD为筝形. 如图，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，这样特殊的四边形称为“筝形”. (2)根据你给出的定义，在我们所学过的特殊四边形中， 有没有“筝形”？如果有，说明四边形的形状； 如果没有，请说明理由； 特殊四边形中有筝形，菱形和正方形是特殊的筝形.理由如下： 菱形和正方形的四条边都相等，因此必然满足“两组邻边分别相等”，所以菱形和正方形属于筝形. 如图，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，这样特殊的四边形称为“筝形”. (3)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的性质 的探究过程，探究“筝形”性质，给出三条“筝形” 的性质，并证明；(合理即可) 如图，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，这样特殊的四边形称为“筝形”. (3)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的性质 的探究过程，探究“筝形”性质，给出三条“筝形” 的性质，并证明；(合理即可) O 如图，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，这样特殊的四边形称为“筝形”. (3)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的性质 的探究过程，探究“筝形”性质，给出三条“筝形” 的性质，并证明；(合理即可) ∵AB=AD，∴AO⊥BD，OB=OD，∴AC⊥BD，且AC平分BD.性质 3：筝形是轴对称图形，对称轴为较长的对角线(AC所在直线)； O 如图，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，这样特殊的四边形称为“筝形”. (3)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的性质 的探究过程，探究“筝形”性质，给出三条“筝形” 的性质，并证明；(合理即可) 证明：由性质2知，AC垂直平分BD，因此将四边形沿AC折叠，点B与点 D重合，两边完全重合，故筝形是轴对称图形，对称轴为对角线AC所在直线. O 如图，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，这样特殊的四边形称为“筝形”. (4)类似于特殊的四边形判定探究过程，给出除定义 之外的一种“筝形”的判定方法，并证明这一判定. 判定方法：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形.证明如下： 设四边形ABCD中，对角线AC垂直平分BD， 且交点为O. O 如图，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，这样特殊的四边形称为“筝形”. (4)类似于特殊的四边形判定探究过程，给出除定义之 外的一种“筝形”的判定方法，并证明这一判定. ∵ AC垂直平分BD，∴AB=AD，CB=CD， ∴四边形ABCD满足筝形的定义，故为筝形. O $