16.3.2 完全平方公式 第一课时 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式，通过回顾多项式乘法法则与平方差公式，引导学生计算特殊多项式乘积，从特殊到一般归纳公式，构建前后知识联系的学习支架。 其亮点在于结合几何直观（图形面积推导公式）和推理意识（从具体到一般归纳规律），通过错误辨析、实际应用题（如草坪造价）培养模型意识和应用意识。学生能提升运算准确性和逻辑推理，教师可利用完整流程和多样化例题提高教学效率。

第十六章 整式的乘法 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 16.3 乘法公式 16.3.2 完全平方公式 第一课时完全平方公式 1 学习目标 1. 通过多项式乘法的探究活动，经历从特殊到一般的归纳过程，理解完全平方公式的代数推导与几何意义，能准确表述公式的结构特征. 2. 运用完全平方公式解决整式乘法计算问题，能正确处理公式中的符号问题及与平方差公式的辨析，提升运算准确性与灵活性. 3. 在公式推导与应用中体会数形结合思想和转化思想，通过解决实际问题感受数学的实用性，培养严谨的逻辑推理能力和合作探究意识. 2 知识回顾 多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 列式： . (a+b) (a-b) = a2-b2 (a+b)(p+q) = ap+aq+bp+bq 列式： . 3 知识回顾 计算：（1）(a+2b)(a-2b)； （2）(-5+2a)(5+2a). 解：（1）(a+2b)(a-2b) = a2-(2b)2 = a2-4b2； （2）(-5+2a)(5+2a) = (2a+5)(2a-5) = (2a)2-52 =4a2-25. 4 新知探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律? 探究 (1) (p+1)2= = = . (2) (m+2)2= = = . (p+1)(p+1) p2+p+p+12 p2+2p+1 (m+2)(m+2) m2+2m+2m+22 m2+4m+4 两数和的 平方 多项式乘 多项式 两数的平方和加上它们 积的2倍. 5 新知探究 【发现】两个数的和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍. 计算：(a+b)2. (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2 6 新知探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律? 探究 (3) (p-1)2= = = . (4) (m-2)2= = = . (p-1)(p-1) p2-p-p+12 p2-2p+1 (m-2)(m-2) m2-2m-2m+22 m2-4m+4 两数差的 平方 多项式乘 多项式 两数的平方和减去它们 积的2倍. 7 新知探究 【发现】两个数的差的平方，等于这两个数的平方和，减去这两个数的积的2倍. 计算：(a-b)2. (a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2-ab-ab+b2 = a2-2ab+b2 8 新知探究 完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. (a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2. 注：公式中的字母a、b可以表示数、单项式和多项式. 9 新知探究 (a+b)2= a2+2ab+b2. (a-b)2= a2-2ab+b2. 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题： 1.说一说积的次数和项数； 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有什么关系？ 3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a,b有什么关系？它的符号与什么有关？ 10 新知探究 公式特征： 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同； (a+b)2= a2+2ab+b2. (a-b)2= a2-2ab+b2. 11 新知探究 思考 你能根据下图中图形的面积说明完全平方公式吗？ a b a a b a b b 12 新知探究 a b a a b a b b (a+b)2 =a2 (a-b)2 +ab +ab +b2 =a2+2ab+b2 =a2 =a2-2ab+b2 -ab +b2 -ab a2 ab ab b2 a2 ab ab b2 (a+b)2 (a-b)2 13 典例解析 例3 运用完全平方公式计算： (1) (4m+n)2； (2) (y - )2. 解：(1)(4m+n)2 =(4m)2+2•(4m)•n+n2 =16m2+8mn+n2 (2) (y - )2 = y2-2•y• +()2 = y2-y+ . 14 典例解析 例4 运用完全平方公式计算： (1) 1022 (2) 992 解：(1) 1022=(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404 (2) 992=(100-1)2 =1002-2×100×1+12 =10000-200+1 =9801 15 新知探究 思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗？(a-b)2与(b-a)2相等吗？(a-b)2与a2-b2相等吗？为什么？ (1) (a+b)2与(-a-b)2 ∵ (a+b)2=a2+2ab+b2 (−a−b)2=(−a)2+2⋅(−a)⋅(−b)+(−b)2=a2+2ab+b2 ∴ (a+b)2 = (-a-b)2. 16 新知探究 思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗？(a-b)2与(b-a)2相等吗？(a-b)2与a2-b2相等吗？为什么？ (2) (a-b)2与(b-a)2 ∵ (a−b)2=a2−2ab+b2 (b−a)2=b2−2⋅b⋅a+a2=a2−2ab+b2 ∴ (a-b)2 = (b-a)2 . 17 新知探究 思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗？(a-b)2与(b-a)2相等吗？(a-b)2与a2-b2相等吗？为什么？ (3) (a-b)2与a2-b2 ∵ (a−b)2=a2−2ab+b2（含 “中间项 −2ab”和 “b2 项”）， a2−b2=(a−b)(a+b) （仅两项，无中间项，且是 “−b2”）. (a−b)2 比 a2−b2 多了 “−2ab+2b2”， ∴只有当这部分为 0 时，两者才相等，即：−2ab+2b2=0⟹2b(b−a)=0 ∴仅当 b=0 或 b=a 时，等式成立. 18 课堂练习 1.下面的计算是否正确?如果不正确，应当怎样改正? (1) (a+b)2=a2+b2； (2)(a-b)2=a2-ab+b2. 解：(1) 结论：不正确 错误原因：完全平方公式的展开需要包含 “首项平方、尾项平方、首尾项乘积的 2 倍” 三部分，此计算遗漏了中间项 “2ab”. 正确推导过程： (a+b)2=(a+b)(a+b)=a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2. 正确结果：(a+b)2=a2+2ab+b2. 19 课堂练习 1.下面的计算是否正确?如果不正确，应当怎样改正? (1) (a+b)2=a2+b2； (2)(a-b)2=a2-ab+b2. (2)结论：不正确 错误原因：中间项的系数错误，完全平方公式中 “首尾项乘积的 2 倍” 不能省略系数 “2”，此计算将中间项 “−2ab” 误写为 “−ab”. 正确推导过程： (a−b)2=(a−b)(a−b)=a⋅a−a⋅b−b⋅a+b⋅b=a2−ab−ab+b2=a2−2ab+b2. 正确结果：(a−b)2=a2−2ab+b2. 20 课堂练习 2.运用完全平方公式计算： (1) (x+6)2； (2) (y-5)2； (3) (-2x+5)2； (4) ( x- y)2. 解：(1) (x+6)2​ = x2+2⋅x⋅6+62 = x2+12x+36；​ (2) (y−5)2​ = y2−2⋅y⋅5+52 = y2−10y+25； (3) (−2x+5)2 ​= (5−2x)2 = 52−2⋅5⋅2x+(2x)2 = 25−20x+4x2 = 4x2−20x+25； (4) ( ​x− ​y)2 ​= ( ​x)2−2⋅ ​x⋅ ​y+( y)2 = ​x2−2⋅ ​xy+ ​y2 = ​x2−xy+ ​y2​. 21 课堂练习 3.运用完全平方公式计算： (1) 982； (2) 70.52. 解：(1) 982​ = (100−2)2 = 1002−2×100×2+22 = 10000−400+4 = 9604​ (2) 70.52​ = (70+0.5)2 = 702+2×70×0.5+0.52 = 4900+70+0.25 = 4970.25​ 22 课程小结 完全平方公式 (a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2. 可以合写成 (a±b)2=a2±2ab＋b2 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 简记为：“首平方，尾平方，积的2倍中间放(和加差减)” 公式特征： 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同； 23 随堂演练 1.计算： (1) (a+5)2= ； (2) 1012= . 2.若(3x+a)2=9x2+bx+4，则a+b的值为_______. 3.将4个数a, b，c, d排成2行2列，两边各加一条坚直线记为 ， 定义=ad-bc，上述记号就叫做2阶行列式.若=11， 则x=_____. a2+10a+25 10201 ±14 3 24 随堂演练 4．下列计算正确的是（     ） A. B. C. D 5．计算的结果是（     ） A． B． C. D． 6．计算：（　 ） A.﹣2000 B.﹣1995 C.2000 D.1995 B B B 25 随堂演练 7．若，则的值为（     ） A．26 B．24 C．20 D．28 8．如果是一个完全平方式，那么k的值是（ 　） A．4 B．±8 C．8 D．±4 9．已知，则等于（     ） A． B． C． D． D B B 26 随堂演练 10.先化简，再求值：，其中，b=2． 解：原式 ， 将，b=2代入， 原式． 27 随堂演练 11．已知（x＋y）2 ＝1，（ x－ y）2 ＝49，求： (1) xy的值； (2) x2＋y2的值． 解： (1) (x＋y)2 −(x − y)2= (x2+2xy+y2)−(x2−2xy+y2) =1−49 4xy= −48 ，可得：xy​= −12； (2) (x＋y)2 +(x − y)2= (x2+2xy+y2)+(x2−2xy+y2) =1+49 2(x2+y2) =50 ，可得：x2+y2 =25 . 28 随堂演练 12.如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为6a米，四条小路的长与宽都为b米和米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每 平米30元． (1)用含a、b的代数式表示草坪（阴影） 面积并化简． (2)若a＝6，b＝6，计算草坪的造价． b b b b 6a 29 随堂演练 b b b b 6a （1）解：根据题意得：阴影部分的面积为：大正方形的面积减去4个长方形的面积再减去中间小正方形的面积， ∴草坪（阴影）面积为： 平方米； （2）解：草坪的造价为： 元． 30 随堂演练 13.若，求m，n的值． 解：∵， ∴( )=0，即( )+( )=0． 根据非负数的性质，得m=n= ． (1)阅读上述解答过程，并补充横线处的内容； (2)设等腰三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足 ，求△ABC的周长． 31 随堂演练 （1）解：完善例题的解题过程： ∵， ∴ ， 即， ∴ m=n=4； 32 随堂演练 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴a−2=0且b−3=0， ∴a=2，b=3， ∵等腰△ABC的三边长为：a、b、c， ∴当c=a时，三边分别为：2、2、3,此时能围成三角形,△ABC的周长=7； 当c=b时，三边分别为：2、3、3,此时能围成三角形,△ABC的周长=8； 综上所述，等腰△ABC的周长为7或8． 33 第十六章 整式的乘法 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 16.3 乘法公式 16.3.2 完全平方公式 第一课时完全平方公式 34 $