26.3二次函数与一元二次方程 第1课时课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过复习一次函数与一元一次方程的数与形联系，搭建从一次到二次的认知支架，引导学生类比探究二次函数图象与x轴公共点和方程根的对应关系。 其亮点在于以“观察—归纳—应用”为主线，结合具体函数实例培养几何直观的数学眼光，通过小球飞行、大棚通风口等问题发展模型意识与推理能力，帮助学生深化数形结合思想，教师可借助结构化总结和分层练习提升教学效率。

二次函数 第二十六章 第1课时 数学人教版九年级上册 一次函数y=kx+b(k≠0) 与一元一次方程kx+b=0的根有什么关系？ 一次函数与 一元一次方程 数：一元一次方程 ax+b=0 的解就是当函数 y=ax+b(a≠0)的函数值为0时自变量的值. 形：一元一次方程 ax+b=0 的解就是函数 y=ax+b(a≠0)的图象与 x 轴交点的横坐标. 二次函数与一元二次方程之间是否也存在类似的联系呢？ 1 如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？ (1) y=x2+x-2； (2) y=x2-8x+16； (3) y=x2-x+1. 由此，你能说说方程 x2+x-2=0， x2-8x+16=0，x2-x+1=0. 的根的情况吗? x 2 4 6 8 2 O y 2 4 8 -2 6 y=x2-8x+16 y=x2+x-2 y=x2-x+1 活动一：探究二次函数与一元二次方程的关系 由此可知，方程x2+x-2=0有两个不相等的实数根-2，1. 当x取公共点的横坐标时，函数值是0. 抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标分别是-2，1. x 2 4 6 8 2 O y 2 4 8 -2 6 y=x2+x-2 (1)y=x2+x-2 活动一：探究二次函数与一元二次方程的关系 由此可知，方程x2-8x+16=0有两个相等的实数根4. 当x=4时，函数值是0. 抛物线y=x2-8x+16与x轴只有一个公共点，这个点的横坐标是4. (2) y=x2-8x+16 x 2 4 6 8 2 O y 2 4 8 -2 6 y=x2-8x+16 活动一：探究二次函数与一元二次方程的关系 x 2 4 6 8 2 O y 2 4 8 -2 6 y=x2-x+1 由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根. 抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点. (3) y=x2-x+1 活动一：探究二次函数与一元二次方程的关系 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与x轴的公共点的情况. 若一元二次方程存在两个不相等的实数根，则对应二次函数图象与x轴有两个公共点；(x2+x-2=0，Δ>0) x 2 4 6 8 2 O y 2 4 8 -2 6 y=x2-8x+16 y=x2+x-2 y=x2-x+1 活动一：探究二次函数与一元二次方程的关系 若一元二次方程有两个相等的实数根，则对应二次函数图象与x轴有一个公共点；(x2-8x+16=0，Δ=0) 若一元二次方程没有实数根，则对应二次函数图象与x轴没有公共点.(x2-x+1=0，Δ<0) x 2 4 6 8 2 O y 2 4 8 -2 6 y=x2-8x+16 y=x2+x-2 y=x2-x+1 活动一：探究二次函数与一元二次方程的关系 活动一：探究二次函数与一元二次方程的关系 一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象，可得如下结论： (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根. y=ax2+bx+c→(x0,0)→ax02+bx0+c=0→x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根. 活动一：探究二次函数与一元二次方程的关系 一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象，可得如下结论： (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，分别对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. y=ax2+bx+c与x轴的公共点 没有公共点 有一个公共点 有两个公共点 ax2+bx+c=0根的个数 没有实数根 两个相等的实数根 两个不相等的实数根 对应条件 Δ=b24ac<0 Δ=b24ac=0 Δ=b24ac>0 2 活动二：探究二次函数与一元二次方程的实际应用 如图以 40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度 h (单位：m)与飞行时间 t (单位：s)的关系近似为 h20t5t2.小球的飞行高度能否达到 20m？如果能，需要多长时间？ 问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数h20t5t2的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程20=20t5t2的根的问题. 活动二：探究二次函数与一元二次方程的实际应用 当h=20时，由函数关系h20t5t2， 列得方程 20=20t5t2， 即 t2-4t+4=0. 解方程，得 t1=t2=2. 这说明，当自变量t=2时，二次函数 h20t5t2的函数值为20，即当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m. 2s 20 m 结合图象分析，小球为何只在一个时刻高度达到20m? 抛物线h20t5t2与直线h=20只有一个公共点. O h t 20 关于活动探究2，回答下列问题： (1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多长时间？ (1)当h=15时，由函数关系h20t5t2，列得方程 15=20t-5t2 即 t2-4t+3=0 解方程，得 t1=1，t2=3 因此，当小球飞行1s或3s时，它的飞行高度为15m. 关于活动探究2，回答下列问题： (2)小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多长时间？ (2)当h=20.5时，由函数关系h20t5t2，列得方程 20.5=20t-5t2 即 t2-4t+4.1=0 因为 (-4)2-4×4.1=-0.4<0，所以方程无实数根. 这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m. 关于活动探究2，回答下列问题： (3)小球从飞出到落地，需要多长时间？ (3)小球飞出时和落地时的高度h都为0m， 因此有 0=20t-5t2 即 t2-4t=0 解方程，得 t1=0，t2=4 因此，当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m . 这表明小球从飞出到落地要用4s. 1.已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，求k的取值范围. 解：当k=3时，函数y=2x+1是一次函数． ∵一次函数y=2x+1与x轴有一个交点，∴k=3； 当k≠3时，y=(k-3)x2+2x+1是二次函数． ∵二次函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点， ∴Δ=b2-4ac≥0，∵b2-4ac=22-4(k-3)=-4k+16， ∴-4k+16≥0，∴k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示. (1)写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根； 解：(1)∵抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0) 即x=1或x=3时，y=0 ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=1或x2=3 x 1 2 3 4 1 O y 1 2 -1 3 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示. (2)写出关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集； 解：(2)∵当x<1或x>3时，y<0. ∴关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为 x<1或x>3 x 1 2 3 4 1 O y 1 2 -1 3 2.(3)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 解：(3)∵抛物线顶点的纵坐标为2， ∴直线y=2与抛物线y=ax2+bx+c只有一个交点. 要使直线y=k和抛物线有两个交点，则直线y=k必须在顶点下方， ∴k<2时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根. x 1 2 3 4 1 O y 1 2 -1 3 大棚拱形通风口结构设计探究 任务 温室大棚通风口横截面为抛物线拱形，以通风口底边中点为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，拱形解析式：y=-0.1x2+0.9(−3≤x≤3)(y：竖直高度 /m，x：水平距离 /m). 依据本节课知识完成以下计算： 1.计算通风口拱顶的最大高度； 2.计算通风口底边的总宽度； x y O 1.与同桌交流分享：结合大棚拱形通风口问题，说一说你的解题思路，谈谈在解决实际问题时，如何建立二次函数与一元二次方程之间的联系？ 2.结合本题的求解过程，请归纳总结利用二次函数解决实际几何问题的完整建模与转化流程. 任务 探究 3.计划在高度 0.6m 处加固横杆，横杆的实际长度是多少； 4.若在高度 1m 处加固横杆，方案是否可行； 大棚拱形通风口结构设计探究 $