1.4.2第1课时　用空间向量研究距离问题导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦用空间向量研究距离问题，涵盖点到直线、点到平面的距离向量表示及转化。以立交桥距离计算为导入，联系生活实际，搭建从向量运算到距离求解的学习支架，引导学生理解距离公式的推导原理。 通过问题驱动公式推导，典例与延伸探究结合，逐步实现距离问题的转化应用。反思感悟总结方法步骤，帮助学生掌握数形结合与转化法，培养数学思维与数学语言表达能力，提升空间观念和应用意识，适合学生自主探究与教师教学使用。

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案第1课时　用空间向量研究距离问题 [学习目标]　1.理解并掌握点到直线的距离、点到平面的距离的向量表示，理解运用向量运算求解空间距离的原理.(重点)2.能运用点到直线、点到平面的距离公式解决立体几何中有关距离的问题，掌握用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”.(难点) 导语 立交桥是伴随着高速公路应运而生的.城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景.在设计过程中，工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师是如何计算出来的？ 一、点到直线的距离 问题1　已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.请找出向量在直线l上的投影向量，其模为多少？如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ 提示　如图，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.||=|(a·u)u|=|a·u|，在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为 PQ==. 知识梳理　点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ==. 典例　在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2，求O1到直线AC的距离. 延伸探究1　在典例的条件下，M，N分别是O1A1，O1C1的中点，证明：MN∥AC，并求直线MN与AC的距离. 反思感悟　(1)用向量法求点到直线的距离的一般步骤 ①求直线的单位方向向量u. ②计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. ③利用公式d=. (2)如果求空间中两条平行直线l，m间的距离，可在其中一条直线(如l)上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到另一条直线m的距离求解. 二、点、直线、平面到平面的距离 问题2　已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.如何利用向量与n求点P到平面α的距离？ 提示　过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，向量在向量n上的投影向量为，借助数量积运算可知||=，向量的长度与P到平面α的距离相等，故点P到平面α的距离为PQ=. 知识梳理　点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ=. 注意点： 实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 延伸探究2　在典例的条件下，E，F分别为AB，BC的中点.求点O到平面O1EF的距离. 延伸探究3　在典例及延伸探究1，2的条件下，证明：MN∥平面O1EF，并求直线MN到平面O1EF的距离. 延伸探究4　在典例及延伸探究1，2的条件下，证明平面BMN∥平面O1EF，并求两平面的距离. 反思感悟　(1)用向量法求点面距离的步骤 ①建系：建立恰当的空间直角坐标系. ②求点坐标：写出(求出)相关点的坐标. ③求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n). ④求距离d=. (2)如果直线l∥平面α，求直线l到平面α的距离，可在直线l上任取一点P，则点P到平面α的距离等于直线l到平面α的距离. (3)如果两个平面α，β互相平行，求这两个平行平面的距离，可在其中一个平面α内任取一点P，则点P到平面β的距离等于这两个平行平面的距离. 1.知识清单： (1)点到直线的距离. (2)点到平面的距离与直线到平面的距离和两个平行平面的距离的转化. 2.方法归纳：数形结合、转化法. 3.常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用.对公式推导过程的理解是应用的基础. 1.已知A(2，2，1)，B(3，2，0)，则点P(2，0，-1)到直线AB的距离为(　　) A. B.2 C. D. 2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是(　　) A. B. C. D. 3.已知棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为(　　) A. B. C. D. 4.已知AB∥平面α，平面α的一个法向量n=(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为　　　. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案第1课时　用空间向量研究距离问题 [学习目标]　1.理解并掌握点到直线的距离、点到平面的距离的向量表示，理解运用向量运算求解空间距离的原理.(重点)2.能运用点到直线、点到平面的距离公式解决立体几何中有关距离的问题，掌握用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”.(难点) 导语 立交桥是伴随着高速公路应运而生的.城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景.在设计过程中，工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师是如何计算出来的？ 一、点到直线的距离 问题1　已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.请找出向量在直线l上的投影向量，其模为多少？如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ 提示　如图，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.||=|(a·u)u|=|a·u|，在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为 PQ==. 知识梳理　点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ==. 典例　在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2，求O1到直线AC的距离. 解　方法一　连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，O1(0，0，2)， C(0，3，0)， ∴=(-2，0，2)，=(-2，3，0)， ∴·=(-2，0，2)·(-2，3，0)=4， 取a==(-2，0，2)， u==， ∴a·u=，∴O1到直线AC的距离 d==. 方法二　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1D⊥AC于点D，设D(x，y，0)， 则=(x，y，-2)，=(x-2，y，0). ∵=(-2，3，0)，⊥，∥， ∴解得 ∴D， ∴||==. 即O1到直线AC的距离为. 延伸探究1　在典例的条件下，M，N分别是O1A1，O1C1的中点，证明：MN∥AC，并求直线MN与AC的距离. 解　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，3，0)，M(1，0，2)，N， ∴=(-2，3，0)， ==， ∴∥，又MN与AC不重合， ∴MN∥AC，故点M到直线AC的距离即所求距离.直线AC的单位方向向量u==，=(1，0，-2)， ∴点M到直线AC的距离 d===， 所以直线MN与AC的距离为. 反思感悟　(1)用向量法求点到直线的距离的一般步骤 ①求直线的单位方向向量u. ②计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. ③利用公式d=. (2)如果求空间中两条平行直线l，m间的距离，可在其中一条直线(如l)上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到另一条直线m的距离求解. 二、点、直线、平面到平面的距离 问题2　已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.如何利用向量与n求点P到平面α的距离？ 提示　过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，向量在向量n上的投影向量为，借助数量积运算可知||=，向量的长度与P到平面α的距离相等，故点P到平面α的距离为PQ=. 知识梳理　点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ=. 注意点： 实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 延伸探究2　在典例的条件下，E，F分别为AB，BC的中点.求点O到平面O1EF的距离. 解　建立如图所示的空间直角坐标系， 则O(0，0，0)，O1(0，0，2)， E，F(1，3，0)， ∴=，=， 设平面O1EF的法向量为n=(x，y，z)， 则即 取y=2，则x=3，z=，∴n=， 又=(0，0，2)， ∴点O到平面O1EF的距离为 ==. 延伸探究3　在典例及延伸探究1，2的条件下，证明：MN∥平面O1EF，并求直线MN到平面O1EF的距离. 解　建立如图所示的空间直角坐标系， 易知MN∥AC，AC∥EF， ∴MN∥EF， 又MN⊄平面O1EF，EF⊂平面O1EF， ∴MN∥平面O1EF， ∴点M到平面O1EF的距离即所求距离. 由延伸探究2知，平面O1EF的一个法向量为n=，=(-1，0，0)， ∴点M到平面O1EF的距离为 ==， 故直线MN到平面O1EF的距离为. 延伸探究4　在典例及延伸探究1，2的条件下，证明平面BMN∥平面O1EF，并求两平面的距离. 解　建立如图所示的空间直角坐标系， 则M(1，0，2)，N， B(2，3，0)， ∴=，=(-1，-3，2)， 设平面BMN的法向量为m=(a，b，c)， 则即 取b=2，则a=3，c=， ∴m==n， ∴平面BMN∥平面O1EF， ∴点M到平面O1EF的距离与两平面的距离相等， 由延伸探究3知，所求距离为. 反思感悟　(1)用向量法求点面距离的步骤 ①建系：建立恰当的空间直角坐标系. ②求点坐标：写出(求出)相关点的坐标. ③求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n). ④求距离d=. (2)如果直线l∥平面α，求直线l到平面α的距离，可在直线l上任取一点P，则点P到平面α的距离等于直线l到平面α的距离. (3)如果两个平面α，β互相平行，求这两个平行平面的距离，可在其中一个平面α内任取一点P，则点P到平面β的距离等于这两个平行平面的距离. 1.知识清单： (1)点到直线的距离. (2)点到平面的距离与直线到平面的距离和两个平行平面的距离的转化. 2.方法归纳：数形结合、转化法. 3.常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用.对公式推导过程的理解是应用的基础. 1.已知A(2，2，1)，B(3，2，0)，则点P(2，0，-1)到直线AB的距离为(　　) A. B.2 C. D. 答案　D 解析　因为A(2，2，1)，B(3，2，0)，P(2，0，-1)，则=(1，0，-1)，=(0，-2，-2)， 所以点P到直线AB的距离 d===. 2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　以P为坐标原点，分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，0)，A(1，0，0)， B(0，1，0)，C(0，0，1). 可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1，1，1)， 则点P到平面ABC的距离为d==. 3.已知棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)， C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)， 所以=(1，0，-1)， =(0，1，-1)， =(-1，0，0)， 设平面A1C1D 的一个法向量为m=(x，y，1)， 则即解得 故m=(1，1，1)， 显然平面AB1C∥平面A1C1D， 所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d===. 4.已知AB∥平面α，平面α的一个法向量n=(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为　　　. 答案　 解析　因为AB∥平面α，所以直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离， 又=(-1，-2，0)，n=(1，0，1)，则点A到平面α的距离d===. . 学科网（北京）股份有限公司 $