2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 讲义 --2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的核心关联，系统梳理一元二次不等式的概念与解法（含参数及不含参数），延伸至分式、高次、绝对值不等式的转化策略，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料以考点分层（如三个“二次”关系）和考向实例（如根的分布、几何应用）为特色，通过分类讨论含参数问题培养数学思维的逻辑性，结合实际问题（如绿化面积计算）引导学生用数学眼光观察现实，课中助力教师系统授课，课后便于学生针对性练习与知识巩固。

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 知识归纳与题型总结 考点01 一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 考向01 一元二次不等式的概念与辨析 【例1】（多选）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断． 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． 考向02 解不含参数的一元二次不等式 【例2】当时，不等式与的解集分别是什么？ 【答案】， 【解析】略 考向03 解含有参数的一元二次不等式 【例3】(多选)对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】ABD 【分析】分三种情况解一元二次不等式. 【详解】对于二次函数，， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为且； 当，即或时， 不等式的解集为或. 考向04 由一元二次不等式的解确定参数 【例4】已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若不等式的解集为，求实数，的值； (3)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)， (3)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为。 【分析】（1）代入参数得二次函数解析式，结合对称轴与区间的位置关系求最大值； （2）根据三个二次的关系，利用韦达定理直接求参数； （3）整理不等式后按的值分类，结合二次函数的性质求解集. 【详解】（1）若，则， 因为 开口向上，，， 所以函数在区间上的最大值为3； （2）因为不等式的解集为， 所以的解集为和， 由韦达定理得：，， 解得； （3）若，整理得， 当时，，解得； 当时，， 当时，， 的解集为； 当时，，的解集为 当时，， 的解集为； 当时，， 的解集为； 综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【对点1】设全集，集合，则中元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先解出全集再计算即可. 【详解】由且，解得全集，则，共有6个元素. 故选：C. 【对点2】解不等式： (1)； (2). 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为，即 等价于或，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）因为，可得，即， 等价于，解得， 所以原不等式的解集为. 【对点3】（1）解不等式 ． （2）求关于x的不等式 的解集，其中a是常数． 【答案】（1）或 （2）当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）分类讨论，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）方程有两个不相等的实数根，． 函数的图象如图所示，与轴有两个交点，， 由图象得不等式 的解集为或． （2）原不等式 可化为 ， 方程的根为或. 当时，不等式的解是； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解是 综上所述，当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 【对点4】若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 【答案】D 【详解】因为一元二次不等式的解集是或， 所以且的两根为， 所以，即， 所以，即， 故ABC错误，D正确. 考点02 分式、高次、绝对值不等式的解法 1．分式不等式的解法 解分式不等式的一般步骤： (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 2．高次不等式的解法 (1)高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”. (2)解高次不等式的一般步骤：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. 3．绝对值不等式的解法 解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 考点03 一元二次不等式恒成立、存在性问题 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 考向01 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【例1】(多选)在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合题设新定义，将原不等式转化为一个含参一元二次不等式在上恒成立的问题，实施参变分离，进而转化为求最值的问题，最后求解关于的一元二次不等式即可． 【详解】由定义知，不等式等价于， 所以对任意实数恒成立，即． 因为，所以，解得． 结合选项可知实数a可以为． 考向02 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【例2】设函数，若恒成立，求的取值范围． 【答案】. 【分析】将不等式化为，由参变分离得恒成立，再求函数在上的最小值，进而得到取值范围即可. 【详解】由恒成立，得， 即在上恒成立， 因为，所以恒成立， 设，， 由二次函数性质得在上单调递增，所以， 于是，当时取得等号， 可得，即的取值范围为. 考向03 一元二次不等式在某区间上有解问题 【例3】已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，结合二次函数图象性质可得答案 【详解】令， 当时，抛物线开口向下，对称轴为， 在上单调递减，且当趋向于时，趋向于， 由函数连续性可知，必存在，使得，故满足要求； 当时，不等式可化为，解得， 故存在使得不等式成立，满足要求； 当时，抛物线开口向上，需满足以下条件，，解得， 此时对称轴为， 所以在上，函数最小值为，满足要求， 即当时，存在，使得， 综上，实数的取值范围为. 【对点1】（多选）下列命题正确的是（    ） A．设，则“是“”的既不充分也不必要条件 B．“关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是“” C．真包含于 D．命题“，”为假命题 【答案】BC 【详解】A选项，当时，若，则，所以是的不充分条件， 反之，若，则必然成立， 所以是的必要条件，则是的必要不充分条件，所以A选项错误； B选项，关于的不等式恒成立等价于，解得：， 所以是不等式恒成立的充分不必要条件，所以B选项正确； C选项，设集合，集合， ，当时，为奇数， ，当时，为奇数或偶数， 所以真包含于，所以C选项正确； D选项，不妨设，由， 所以恒成立，则，为真命题，所以D选项错误. 【对点2】已知，；，． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过分离参数，将全称命题转化为求函数在给定闭区间上的最小值问题，从而解出实数的取值范围； （2）先利用二次方程判别式求出特称命题为真的条件，再分“真假”与“假真”两种情况分别求解不等式组并取并集即可. 【详解】（1）若p为真，在恒成立，即． 时，，故 （2）若q为真，方程有实根， 解得或 由p、q一真一假： ①p真q假：，解得， ②p假q真：，解得， 综上： 【对点3】存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】应用存在性条件结合一元二次不等式计算求解. 【详解】存在，使不等式成立， 则实数，即得， 所以，所以的取值范围是 考点04 三个“二次”的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 注：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 注：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 考向01 一元二次方程根的分布问题 【例1】（多选）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 考向02 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【例2】已知不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】 【详解】根据已知解集可知， 原不等式可化为， 方程的两个根为、， ，． ，，，． 因而不等式可化为． 由，可得 是方程的两个根． 又，． 故不等式的解集为． 考向03 一元二次不等式的实际应用 【例3】某工厂生产的某种产品每件售价为80元，不加收附加税时，每年销量为100万件．若加收附加税，每销售100元要征收元（叫做税率），则每年销售量要减少万件，要使每年的附加税不少于128万元，确定的取值范围． 【答案】 【分析】根据“附加税=年销售额×税率”的等量关系建立关于的不等式，结合实际意义求解一元二次不等式即可得到结果。 【详解】由题意： ，且年销售量为正，即，解得， 此时附加税， 由题意，解得：，满足， 即的取值范围是. 考向04 一元二次不等式在几何中的应用 【例4】爱护环境，从点滴做起，让我们共同守护祖国美丽的蓝天绿水．某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． 【答案】 【详解】设花坛的宽度为，则草坪的长为，宽为， 根据题意得， 整理得，解得（舍去）或， 由题意可知：，可得， 当x在之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 考向05 二次函数的图象分析与判断 【例5】（多选）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由图象知，，对称轴为，由对称轴公式得， 解得， 抛物线与轴交于轴正半轴，则时，， 则，故A错误； 由可得，故B正确； 抛物线与轴有2个不同交点，故一元二次方程有两个不等实根， 则，故C正确； 当时，，即是时的函数值， 由图象可知，时，，且， 故，故D正确． 【对点1】已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 【答案】(1)当时，方程为，有实数根； 当时，方程为一元二次方程，， 此时方程有解． 综上，不论m取何值，方程都有实数根． (2)或 【分析】（1）先讨论m是否为0，再利用一元二次方程根的判别式判断即可. （2）因式分解求解二次方程，再判断根为整数的情况即可． 【详解】（1）略 （2）方程有两个整数根，则且为整数，化简有， 解得，则为整数， 所以或. 【对点2】若不等式解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先由不等式的解集可得，进而可将所求不等式化为，从而可得不等式解集. 【详解】由二次不等式 的解集为. 所以方程的两个根为，且，因此， 即，代入所求不等式 ， 得，因为，所以不等式化为， 即，解得 或 . 因此所求不等式的解集为. 【对点3】（多选）在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 【答案】BC 【分析】设甲的速度为,解不等式得到甲的速度范围；设乙的速度为，解不等式得到乙的速度范围，即得解. 【详解】设甲的速度为 由题得，解得或； 设乙的速度为， 由题得，解得或. 由于，从而得，. 经比较知乙车超过限速，但无法判断甲车是否超过限速. 【对点4】（多选）社区中心有一块三角形闲置空地，为打造居民休闲花园，计划在空地内规划种植区.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）可以取（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】ABC 【分析】设矩形的另一边长为，由三角形相似得出的关系，再根据矩形的面积公式建立不等式即可求解. 【详解】设矩形的另一边长为，如图： 由与相似得且， 所以，又矩形的面积， 所以即，解得， 故边长可以取10，20，30，即ABC符合题意，D不符合题意. 故选：ABC 【对点5】小明为了描点作出函数的图像，取的个值：，且，并分别算出对应的值，列出下表： 51 107 185 285 407 549 717 但由于粗心算错了其中一个值，则算错的值其正确的值是_____________． 【答案】 【分析】根据条件可得为常数，其中，再结合表中数据，即可求解. 【详解】令， 则 ，其中， 所以为常数，其中 由图表知， 则， ， 由此可知错误，由，得到. 一、选择题 1．设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式，再根据不必要条件的判断方法即可确定选项. 【详解】由解得，即不等式的解集为， 而在选项中，仅有C项中的范围是的真子集，故C正确. 2．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过移项通分将分式不等式转化为等价整式不等式组，结合分母不为零的条件求解集． 【详解】， 解得． 3．设是实数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由题意可知：关于的一元二次方程有实根， 则，解得或． 4．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【详解】当，即，方程为，解得，方程有实数根，符合题意； 当，即，∵此时一元二次方程有实数根，∴，解得且； 综上，的取值范围是． 5．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】利用绝对值的意义，分和两种情况，再利用一元二次不等式的解法，即可求解. 当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为. 6．若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A． B． C．1或-1 D．4 【答案】B 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，且，解得， 因为，所以，解得或（舍去）. 所以实数的值为. 7．，，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为有两个不等根，其中一根小于，另一根为即可求解. 【详解】因为，， 所以有两个不等根，其中一根小于，另一根为， 则，即，故B、D选项错误； 消元解得，故A错误，C选项正确. 8．不等式的解集为或，则（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，，由不等式的解集可得, 令，得，得或， 由不等式的解集可得、是方程的解， 所以，所以. 9．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 10．已知，若不等式能成立，则实数的最小值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用计算的取值范围，能成立，即转化为. 【详解】，， 所以，所以， ，所以能成立， 令，所以， 所以当时，有最小值0， 所以，在上有最小值0， 能成立，即， 所以实数的最小值是0. 二、填空题 11．若“，”为真命题，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】当时命题为真； 当时命题为真，必使，即，所以. 综上，实数的取值范围为：. 12．若关于的不等式的非空解集为，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系即可求解． 【详解】由不等式的非空解集为， 则二次函数开口向上，且和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 即，且，整理得， 解得，或， 当时，，不符合题意，所以． 13．已知关于x的不等式的解集是，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由条件知与同解，再对分类讨论，结合二次函数的图象和性质求出实数的取值范围. 【详解】由，解得， 由条件知与同解， 当时，显然不符合条件； 所以，或， 即，或， 解得或，综上. 所以的取值范围为. 14．解不等式________. 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法以及一元二次不等式求解方法解不等式即可. 【详解】要使分式有意义，需满足分母不为0，即， 对任意，恒有，当且仅当时等号成立， 所以不等式的解等价于， 即，解得：或， 所以不等式的解集为：. 15．已知二次函数，反比例函数.若这两个函数的图象的所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数有________个. 【答案】12 【分析】联立方程去分母整理成三次形式，然后将其分解，讨论二次函数根的情况，逐个分析即可求出结果. 【详解】联立这两个函数解析式，得到，注意到始终是方程的根， 所以可以将方程整理为， 当时，， 只要为正整数，， 因此不是方程的根. （1）若无实根，则两个函数图象只有1个交点， 此时，解得， 又，所以,共11个； （2）若有整数根，显然， 分离参数有，这说明可能是，. 当时，不符合题意；当时，； 当时，不符合题意；当时，， 此种情况下，只能取16. 综上，符合条件的正整数有12个. 三、解答题 16．在①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题． 已知函数． (1)当时，求在上的取值范围； (2)若________，，求实数a的取值范围． 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选择条件①，；选择条件②， 【分析】（1）配方，分析函数单调性，得出函数最小值位置，进而求出在上的取值范围； （2）选条件①：利用函数的性质，按对称轴位置分３类讨论，进而求出实数a的取值范围； 选择条件②：利用存在性把问题进行等价转换，区间内的最大值出现在端点，计算端点函数值，进而求最大值，从而求出实数a的取值范围． 【详解】（1）当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 在上的最小值为， 在上的最大值为， 在上的取值范围为． （2）选择条件①： 当即时，在上单调递增， 在上的最小值为， 解得，又，； 当，即时， 在上单调递减， 在上单调递增， 在上的最小值为， 解得，又，， 当，即时，在上单调递减， 在上的最小值为，解得， 又，∴， 综上所述，实数a的取值范围是． 选择条件②： ， 当时，， 即， 或，解得或， ，即实数a的取值范围是． 17．求下列关于x的不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1). (2). (3)时解集为；时解集为； 时解集为； 【详解】（1）即为，故或， 故不等式的解集为. （2）即为，故或， 所以或， 故不等式的解集为. （3）即为， 若，则不等式的解集为； 若，则不等式的解集为； 若，则不等式的解集为； 综上，不等式的解集为： 时解集为；时解集为； 时解集为； 18．对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由题可得对任意实数恒成立，分两种情况讨论，结合二次函数开口方向，二次方程判别式可得答案. 【详解】即对任意实数恒成立. 当，得，当时不成立； 当，则二次函数图象恒在轴下方， 得. 综上可得：. 19．解关于x的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论最高项系数以及根的大小即可得答案. 【详解】①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得或； ③当时，原不等式化为， 若，即，不等式无解, 若，即时，解得, 若，即时，解得. 综上可知，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 20．已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． (1)求集合； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】 （1）根据存在性命题为真的条件，结合二次函数判别式大于0求解集合； （2）将代入对应方程求出的可能值，再验证交集是否符合要求； （3）由得，分为空集、非空两类，结合判别式和韦达定理求解的范围. 【详解】（1）命题为真，即存在使得成立， 二次函数开口向上，故需判别式， 所以 ，解得，因此集合； （2）由得， 将代入对应方程得： ， 化简得，解得或， 当时，方程为，根为、， 此时，，不符合条件，舍去； 当时，方程为，根为、， 此时，，符合条件， 综上，； （3）由得，即中所有元素均为负实数，分两类讨论： ① 当时，方程无实根， 判别式 解得，符合条件； ② 当时，方程有实根，需满足，且两根均为负， 由韦达定理得： ，分别解得、、或， 所以， 综合两类情况，实数的取值范围是或. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 知识归纳与题型总结 考点01 一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 考向01 一元二次不等式的概念与辨析 【例1】（多选）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 考向02 解不含参数的一元二次不等式 【例2】当时，不等式与的解集分别是什么？ 考向03 解含有参数的一元二次不等式 【例3】(多选)对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D．且 考向04 由一元二次不等式的解确定参数 【例4】已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若不等式的解集为，求实数，的值； (3)若，解关于的不等式． 【对点1】设全集，集合，则中元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【对点2】解不等式： (1)； (2). 【对点3】（1）解不等式 ． （2）求关于x的不等式 的解集，其中a是常数． 【对点4】若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 考点02 分式、高次、绝对值不等式的解法 1．分式不等式的解法 解分式不等式的一般步骤： (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 2．高次不等式的解法 (1)高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”. (2)解高次不等式的一般步骤：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. 3．绝对值不等式的解法 解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 考点03 一元二次不等式恒成立、存在性问题 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 考向01 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【例1】(多选)在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数可以为（    ） A． B． C． D． 考向02 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【例2】设函数，若恒成立，求的取值范围． 考向03 一元二次不等式在某区间上有解问题 【例3】已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 【对点1】（多选）下列命题正确的是（    ） A．设，则“是“”的既不充分也不必要条件 B．“关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是“” C．真包含于 D．命题“，”为假命题 【对点2】已知，；，． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 【对点3】存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 考点04 三个“二次”的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 注：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 注：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 考向01 一元二次方程根的分布问题 【例1】（多选）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 考向02 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【例2】已知不等式的解集为，求不等式的解集． 考向03 一元二次不等式的实际应用 【例3】某工厂生产的某种产品每件售价为80元，不加收附加税时，每年销量为100万件．若加收附加税，每销售100元要征收元（叫做税率），则每年销售量要减少万件，要使每年的附加税不少于128万元，确定的取值范围． 考向04 一元二次不等式在几何中的应用 【例4】爱护环境，从点滴做起，让我们共同守护祖国美丽的蓝天绿水．某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． 考向05 二次函数的图象分析与判断 【例5】（多选）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【对点1】已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 【对点2】若不等式解集为，则不等式的解集为______． 【对点3】（多选）在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 【对点4】（多选）社区中心有一块三角形闲置空地，为打造居民休闲花园，计划在空地内规划种植区.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）可以取（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【对点5】小明为了描点作出函数的图像，取的个值：，且，并分别算出对应的值，列出下表： 51 107 185 285 407 549 717 但由于粗心算错了其中一个值，则算错的值其正确的值是_____________． 一、选择题 1．设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．设是实数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 4．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 5．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 6．若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A． B． C．1或-1 D．4 7．，，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．不等式的解集为或，则（    ） A．3 B．1 C． D． 9．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知，若不等式能成立，则实数的最小值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 二、填空题 11．若“，”为真命题，则实数的取值范围是________. 12．若关于的不等式的非空解集为，则________． 13．已知关于x的不等式的解集是，则实数的取值范围是__________． 14．解不等式________. 15．已知二次函数，反比例函数.若这两个函数的图象的所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数有________个. 三、解答题 16．在①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题． 已知函数． (1)当时，求在上的取值范围； (2)若________，，求实数a的取值范围． 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． 17．求下列关于x的不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 18．对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．解关于x的不等式. 20．已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． (1)求集合； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $