2.3 二次函数与一元二次方程、不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的核心知识点，系统梳理一元二次不等式的概念、解法，构建二次函数、方程、不等式及零点的“四个二次”关系，形成从概念到关系再到应用的学习支架。 资料通过八大类典型例题（含参数、根分布、恒成立等）培养数学思维，结合车流量等实际应用问题发展数学眼光，助力教师授课与学生课后查漏补缺，强化用数学语言解决问题的能力。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第一部分：知识清单 知识点1：一元二次不等式的有关概念 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） 2.一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点2：四个二次的关系 1.一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 2.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点3：一元二次不等式的解法 1.先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2.写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3.根据不等式，写出解集. 知识点4：解分式不等式 1、分式不等式 定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2.分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 第二部分：典型例题汇总 典例一 解不含有参数的一元二次不等式 典例二 解含有参数的一元二次不等式 典例三 一元二次方程根的分布问题 典例四 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 典例五 一元二次不等式中恒成立问题 典例六 一元二次不等式中有解问题 典例七 一元二次不等式的实际应用 典例八 二次函数的图象分析与判断 第三部分：典型例题 典例一 解不含有参数的一元二次不等式 1．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项通分后转化为求一元二次不等式的解集即可． 【详解】由，即，解得：， 所以不等式的解集为：. 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由，得．又，所以． 由，得，所以． 因此．所以的元素个数为2． 3．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解得或，即. ∴ . 又∵ ，在集合的元素中满足的有， ∴ . 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得或，则或. 因为即，解得. 所以，所以. 典例二 解含有参数的一元二次不等式 5．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）（1）解不等式 ． （2）求关于x的不等式 的解集，其中a是常数． 【答案】（1）或 （2）当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）分类讨论，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）方程有两个不相等的实数根，． 函数的图象如图所示，与轴有两个交点，， 由图象得不等式 的解集为或． 原不等式 可化为 ， （2）方程的根为，或. 当时，不等式的解是； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解是 综上所述，当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 6．（2026高一·全国·专题练习）解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）计算得，分和或讨论即可； （2）因式分解得，分 ，和讨论即可； （3）分，两大类讨论即可. 【详解】（1）由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. （2）由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为； 时，解集为； 时，解集为． （3）令， ①当时，；∴. ②当时，由得或， （i）当即时，， （ⅱ）当即时，， （ⅲ）当即时，， 综上，当时，所求不等式的解集为. 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为. 7．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）求出下列不等式的解集 (1) (2) 【答案】(1) (2) 当时，解集为R，当时，解集为或， 当时，解集为或. 【分析】（1）因式分解得到，求出不等式解集； （2）因式分解得到，分，和三种情况，得到不等式解集. 【详解】（1），解得， 故解集为； （2），， 因为，当时，不等式为，解集为R， 当时，，故解集为或， 当时，，故解集为或. 综上，当时，解集为R，当时，解集为或， 当时，解集为或. 8．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）解下列关于x的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解； （2）对参数分类讨论即可得到不等式的解. 【详解】（1）由，得， 解得，或，所以原不等式的解集为或． （2）， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 典例三 一元二次方程根的分布问题 9．（2026高一·全国·专题练习）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 【答案】(1)当时，方程为，有实数根； 当时，方程为一元二次方程，， 此时方程有解． 综上，不论m取何值，方程都有实数根． (2)或 【分析】（1）先讨论m是否为0，再利用一元二次方程根的判别式判断即可. （2）因式分解求解二次方程，再判断根为整数的情况即可． 【详解】（1）略 （2）方程有两个整数根，则且为整数，化简有， 解得，则为整数， 所以或. 10．（25-26高一上·河南·开学考试）设是关于的方程的两个实数根. (1)若，求； (2)若，求的值； (3)若是两个不相等的正数，求实数的取值范围. 【答案】(1)（写也对） (2)或 (3)或 【分析】（1）将代入已知方程，利用分解因式法求方程的根； （2）由已知可得已知方程的判别式大于等于，由此可得，结合根与系数关系化简，解方程可得结论； （3）由条件可得，，，结合根与系数关系可得结论， 【详解】（1）若，则方程为， 即，故.（写也对） （2）由，可得. 因为， 所以，整理得，且， 解得或，经检验符合题意. （3）因为是两个不相等的正数， 所以， 解得，所以或， 即的取值范围是或 11．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 【答案】 【分析】根据题意，分和，结合一元一次方程和一元二次方程的性质，结合韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况： 当方程有两个负根（含重根）时，则有，解得； 当方程有一个负根一个正根时，则有，解得． 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 即关于的方程至少有一个负根的充要条件是． 故答案为：． 12．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 典例四 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 13．（25-26高一上·江西景德镇·阶段检测）（多选）关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A．且 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】由一元二次方程根与系数的关系逐项判断可得. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以，则， 对于A，所以且，故A正确； 对于B，不等式， 又，可得，所以或，故B错误； 对于C，， 故C错误； 对于D，不等式，故D正确； 故选：AD. 14．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）已知不等式的解集是，求不等式的解集． 【答案】或 【分析】由不等式的解集可求出的值，代入不等式求解即可. 【详解】依题意有和是方程的两根，且， 则有，解得， 即，解得或， 即不等式的解集为或. 15．（25-26高二下·浙江宁波·期末）（多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】抓住一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数“三个二次”的关系分析，结合图象即可一一判断. 【详解】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误； 对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3， 由韦达定理，，故，，即，故B正确； 对于C，由上分析可得，故C正确； 对于D，由上分析可得，故D正确. 故选：BCD. 16．（25-26高一上·安徽淮南·期末）（多选）若存在m，，使得的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A．的解集为或 B．的解集为 C． D． 【答案】AD 【分析】AB选项，根据不等式解集得到的解集为，的解集为或；C选项，根据韦达定理得到，，得到；D选项，根据和，得到答案. 【详解】AB选项，因为，故， 由题意得的解集为， 的解集为或，A正确，B错误； C选项，的两个根为，的根为， 故，，， 由于，，故，所以，C错误； D选项，因为，， 故，两边平方得，D正确. 故选：AD 典例五 一元二次不等式中恒成立问题 17．（25-26高一上·上海·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 18．（25-26高一上·江苏·期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分为和两种情况分别讨论，结合二次函数的图象列不等式组即可求解. 【详解】由题意可知，，， 当时，不等式化为，符合题意， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 19．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）集合，若，则实数的值可以是（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】BCD 【分析】由得：，所以对所有的，都有成立，分离参数，利用基本不等式可得答案. 【详解】由得： 所以对所有的，都有成立， 分离参数得： ， ， ， 又，由基本不等式得： ， 当且仅当即时取“”， 所以. ， 只需. 故选：BCD 20．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）已知命题，，若命题的否定为假命题，则实数的最大值为（    ） A． B．-3 C． D．6 【答案】D 【分析】分离参数为在上恒成 立，利用基本不等式求解即可得解. 【详解】因为命题的否定为假命题，故命题，恒成立， 即在上恒成立， 则， ， 当且仅当时等号成立，故最小值为6， 即. 故选：. 21．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知为实数，集合， (1)若命题“，”是假命题，求实数的取值范围； (2)若，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到命题“，”是真命题，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，当时，显然成立；当时，转化为恒成立，结合基本不等式求得的最小值，即可求解. 【详解】（1）因为集合， 由命题“，”是假命题，可得命题“，”是真命题， 即在上恒成立， 因为函数，，即在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. （2）因为，恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，符合题意； 当时，等价于恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 22．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围是____________________. 【答案】 【分析】根据二次函数的图像分类讨论即可. 【详解】若在恒成立，即在恒成立， 设，则该二次函数开口向上，对称轴为， 若，即，则必须有代入x=-1，，解得，与矛盾，舍去； 若，即，则必须有，解得，与矛盾，舍去； 若，即，则必须有，解得； 综上所述：. 故答案为：. 典例六 一元二次不等式中有解问题 23．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】首先对不等式进行参数分离，得到关于的不等式，然后利用基本不等式的性质即可求得结果. 【详解】由题意知，“，使得成立”是真命题， 所以，根据基本不等式的性质可得：，当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 24．（25-26高一下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围___________． 【答案】 【分析】由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即， 因为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：. 25．（25-26高一上·天津和平·开学考试）若存在，使得成立，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】分离参数得能成立，再由二次函数最小值可得范围. 【详解】∵， ∴原不等式可化为， ∴由题意得，不等式有解， 令，则， ， 故要使有解，则， 的取值范围为. 故答案为：. 26．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】把关于的不等式在上有解的问题，利用分离参数求最值转化为，在上有解，再求，的最小值即可. 【详解】要使不等式在上有解， 则，在上有解， 令，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故时，， 因此要使不等式在上有解， 则， 故答案为：. 典例七 一元二次不等式的实际应用 27．（25-26高一上·广西南宁·期中）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：． (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式） (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【答案】(1)当千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； (2)大于千米/小时且小于千米/小时． 【分析】（1）根据题意将表达式整理可得，利用基本不等式即可求得当千米/小时时，车流量最大约为千辆/时； （2）将不等式整理可得，解得. 【详解】（1）依题意，由于， 所以 当且仅当，即时，上式等号成立， 此时（千辆/时）． 当千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； （2）由条件得， 整理得，即， 解得． 所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于千米/小时且小于千米/小时． 28．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术．某高科技企业计划加大对芯片研发的投入，据了解，该企业原研发部门有100名技术人员，年人均投入80万元．现将这100名技术人员分成两个部分：研发部人员和技术部人员，其中技术部人员x名（其中），调整后研发部人员的年人均投入增加，技术部人员的年人均投入调整为万元． (1)要使得调整后研发部人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少？ (2)若技术部人员在已知范围内调整后，必须要求研发部人员的年总投入始终不低于技术部人员的年总投入，求出正整数t的最大值． 【答案】(1)80； (2)14. 【分析】（1）根据给定条件，列出关于不等式，求解不等式得解. （2）列出关于不等式，分离参数并借助基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）依题意，，整理得：，即，而，解得， 所以调整后技术人员的人数x最多为80. （2）依题意，，整理得：， ，而当时，，当且仅当时取等号，因此， 所以正整数t的最大值为14. 29．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由题意，求解，又，解出的取值范围. （2）由题意知网店销售的利润，养羊的利润，得到恒成立，化简利用基本不等式求得最值. 【详解】（1）由题意，得， 整理得，解得，又， 所以，故x的取值范围为. （2）由题意知网店销售的利润为万元， 技术指导后，养羊的利润为万元， 则恒成立. 又，则恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， ，即的最大值为6.5. 30．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线OA和OB互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB，其中AB的两个端点分别在这两墙角线上.    (1)若欲建一条长为10米的走廊，当长度为多少时，的面积最大？ (2)为了使围成区域更加美观并合理利用土地，准备在围成区域内建造一个矩形花圃，要求点在上，点在上，且过点，其中米，米，要使围成区域的面积大于18平方米，则的长应在什么范围内？ 【答案】(1)长度为米 (2)的长的范围是（单位：米） 【分析】（1）设长度为米，求出，可得的面积的表达式，然后由基本不等式求解即可； （2）设的长为米，由，得，求得，得的面积的表达式，由题意列不等式，求解即可． 【详解】（1）由题意，设长度为米，， ∵，∴， ∴的面积为， 由基本不等式， 当且仅当，即时等号成立， ∴当长度为米时, 的面积最大，最大值为平方米. （2）设的长为米，则为米，其中， ∵为矩形，， ∴，∴，则， 故，整理得， 又，则或， 故的长的范围是（单位：米）． 典例八 二次函数的图象分析与判断 31．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．关于的方程的解集为 【答案】BD 【分析】由函数图象可分析出符号判断A，根据1为对应二次方程的根可判断BC，再由为二次函数对应方程的两个根判断D. 【详解】由图象知，时，，开口向下，， ，即，则，则，所以，故A错误； 由时，且，所以，故B正确； 因为，故C错误； 由可得， 因为是方程的两根，所以是方程的根， 所以关于的方程的解集为，故D正确. 故选：BD 32．（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）已知二次函数. (1)若二次函数的图象与轴相交于两点，与轴交于点，且的面积为3，求实数的值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)或 (2) (3) ①当时，不等式的解集为或， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为， ④当时，不等式的解集为． 【分析】（1）令得两点的坐标分别为，令得点的坐标为， 代入三角形面积公式列式计算即可. （2）由题意化为恒成立，利用判别式法列不等式组求解即可. （3）根据和、、分类讨论解不等式即可. 【详解】（1）令，则有，得两点的坐标分别为， 令，得点的坐标为， 故的面积为，解得或. （2）不等式可化为， 若不等式恒成立，则必有解得， 故若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为. （3）不等式可化为， ①当时，不等式的解集为或， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为， ④当时，不等式的解集为． 33．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（多选）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】B选项，根据函数图象的开口，对称轴及与轴交点在轴上方，得到；ACD选项，由二次函数图象与轴交于和两点，得到，和. 【详解】B选项，图象开口向下，，又对称轴，故， 图象与轴交点在轴上方，故，所以，B错误； CD选项，二次函数图象与轴交于和两点，故，D正确； 将代入解析式得，C正确； A选项，由图可知，当时，，即，A正确. 故选：ACD 34．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．（m为任意实数） D． 【答案】ABC 【分析】根据题目中的函数图象和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题. 【详解】因为抛物线开口向下，则， 又因为抛物线的对称轴为直线，则，可得， 且抛物线与y轴的交点在x轴上方，则， 对于选项A：可得，故A正确； 对于选项B：因为，则， 所以，故B正确； 对于选项C：抛物线的对称轴为直线，可知当时，y有最大值， 则（m为任意实数）， 所有（m为任意实数），故C正确； 对于选项D：因为抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点在点和之间， 则抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， 可知当时，，所以，故D错误． 故选：ABC. 第四部分：课后检测 1．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知命题，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出，根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解不等式，得，即命题. 因为能推出，不能推出， 所以是的必要不充分条件. 2．（2026·浙江·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先求解集合，解不等式，因式分解得，解得，即. 已知，根据交集定义得. 3．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由的解集为， 得和是方程的两个实数根， 所以， 所以等价于，即， 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. 4．（25-26高一上·河南新乡·期末）已知集合，关于的不等式的解集为，若中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将整理成，设，由中恰有三个正整数得到有两个不同的解，故解得的范围，求出的两个根为，由得到，此不等式的解集为，由中恰有三个正整数得到，从而得到，经过计算得到实数的取值范围是. 【详解】， ， ， ， 设， 中恰有三个正整数， 有两个不同的解， ，， 的两个根为， ，， 转化为， 的解集为， 中恰有三个正整数，故， ， ， ，，， ，， ，，， ，，， 综上可知，， 实数的取值范围是. 故选：B. 5．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设这批削笔器的销售价格定为元/个，利用题意列不等式，结合定义域解不等式即可求解. 【详解】设这批削笔器的销售价格定为元/个， 由题意得，即， ∵方程的两个实数根为,， 解集为，又，， 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)， 才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 故选：B 6．（25-26高一上·天津武清·期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，关于的不等式有解，则对应二次函数的判别式，解关于的不等式即可. 【详解】因为“，使得”为真命题， 则，即， 解之得{或}，即C正确. 故选：C 7．（25-26高一上·重庆·期中）当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转化为恒成立，再结合基本不等式求解即可； 【详解】当时，恒成立，等价于恒成立， 又，当且仅当即时取等号， 所以， 故选：C. 8．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 【答案】C 【分析】依题意可得是方程的两根，利用韦达定理可得与的关系，再代入目标不等式，解出即可. 【详解】不等式的解集为， 则，即， 由得， 即，解得或. 故选：C. 9．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）（多选）下列不等式实数解集为空集的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二次函数的最值以及均值不等式求出各个选项的最值，然后观察是否与选项有公共部分，若没有则解集为空集. 【详解】对于A：，故不存在使得， 所以不等式实数解集为空集，故A是； 对于B：，存在使得， 故不等式实数解集不为空集；故B不是； 对于C：，故不存在使得， 所以不等式实数解集为空集，故C是； 对于D：， 当且仅当，即，但显然在实数范围内不成立， 故，故不存在使得， 所以不等式实数解集为空集，故D是； 故答案为：ACD. 10．（25-26高一上·重庆·期中）（多选）已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． 的解集为 D． 的最大值为 1 【答案】BCD 【分析】根据三个“二次”的关系逐项判断A、B、C，代入消元求解判断D. 【详解】对于A：因为不等式的解集为， 所以对应函数开口向上，所以，A错误； 对于B：由已知可知的两根为， 由韦达定理可得，所以，B正确； 对于C：因为不等式的解集为， 所以的解集为， 即的解集为，C正确； 对于D：由得， 所以， 当时，取得最大值，D正确； 故选：BCD. 11．（25-26高一上·云南曲靖·期中）（多选）若关于x的不等式在区间上恰有1个整数解，则m可取（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】首先求解不等式，再根据题意，结合端点值列不等式，即可求解. 【详解】，对应方程的根分别为和， 当，即时，不等式的解集为， 由题意可知，得， 当时，即，不等式的解集为 ，在区间上不存在整数解，故不成立， 综上可知，满足条件的的取值范围是， 选项中满足条件的是和. 故选：BC 12．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）解不等式________. 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法以及一元二次不等式求解方法解不等式即可. 【详解】要使分式有意义，需满足分母不为0，即， 对任意，恒有，当且仅当时等号成立， 所以不等式的解等价于， 即，解得：或， 所以不等式的解集为：. 13．（25-26高一上·上海·期中）对任意，都有，则a的取值范围是__________________. 【答案】 【详解】当时，恒成立，因此符合题意； 当时，由，恒成立， 得，解得， 所以a的取值范围是. 14．（25-26高一上·重庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为________. 【答案】 【分析】分析可知，3为的两根，且，结合韦达定理可得，，代入解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 可知，3为的两根，且， 则，解得，， 因为，即， 等价于，解得， 所以的解集为. 故答案为：. 15．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数. (1)若，且，，求的最小值； (2)若，且有两个大于1的不等实根，求a的取值范围. (3)若，解关于x的不等式. 【答案】(1) (2) (3)当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）根据题设可得，结合基本不等式即可求得；（2）分析一元二次方程根的分布情况，结合二次函数的对称轴与判别式公式即可求解；（3）将一元二次不等式进行因式分解后，对参数进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即； 所以，当且仅当时取等号； 所以的最小值是； （2）当时，，对称轴为； 因为有两个大于1的不等实根， 所以，解得， 所以的取值范围是； （3）当时，，因为， 即，即. 当时，原不等式可化为，解得； 当时，由，解得； 当时，由，解得. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 16．（25-26高一上·江苏扬州·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集是，求实数的值； (2)存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)， (2) (3)当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【分析】（1）由为方程的两根，结合韦达定理即可求解； （2）问题转换成恒成立即可求解； （3）通过，，，，讨论即可. 【详解】（1）由题意得为方程的两根，且， 由韦达定理得，，解得， （2）， 即， 所以， 题目等价于存在实数，使得成立， 故只需，即 （3）由题意得，即， 故， 若，则，解得，故解集为； 若，的两根为，，且， 故的解集为； 若，①当，即时的解集为； ②当即时，由，故解集为； ③当即时，的解集为 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第一部分：知识清单 知识点1：一元二次不等式的有关概念 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） 2.一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点2：四个二次的关系 1.一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 2.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点3：一元二次不等式的解法 1.先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2.写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3.根据不等式，写出解集. 知识点4：解分式不等式 1、分式不等式 定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2.分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 第二部分：典型例题汇总 典例一 解不含有参数的一元二次不等式 典例二 解含有参数的一元二次不等式 典例三 一元二次方程根的分布问题 典例四 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 典例五 一元二次不等式中恒成立问题 典例六 一元二次不等式中有解问题 典例七 一元二次不等式的实际应用 典例八 二次函数的图象分析与判断 第三部分：典型例题 典例一 解不含有参数的一元二次不等式 1．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 典例二 解含有参数的一元二次不等式 5．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）（1）解不等式 ． （2）求关于x的不等式 的解集，其中a是常数． 6．（2026高一·全国·专题练习）解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3). 7．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）求出下列不等式的解集 (1) (2) 8．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）解下列关于x的不等式： (1)； (2)． 典例三 一元二次方程根的分布问题 9．（2026高一·全国·专题练习）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 10．（25-26高一上·河南·开学考试）设是关于的方程的两个实数根. (1)若，求； (2)若，求的值； (3)若是两个不相等的正数，求实数的取值范围. 11．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 12．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 典例四 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 13．（25-26高一上·江西景德镇·阶段检测）（多选）关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A．且 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 14．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）已知不等式的解集是，求不等式的解集． 15．（25-26高二下·浙江宁波·期末）（多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·安徽淮南·期末）（多选）若存在m，，使得的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A．的解集为或 B．的解集为 C． D． 典例五 一元二次不等式中恒成立问题 17．（25-26高一上·上海·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________ 18．（25-26高一上·江苏·期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）集合，若，则实数的值可以是（   ） A．3 B．1 C． D． 20．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）已知命题，，若命题的否定为假命题，则实数的最大值为（    ） A． B．-3 C． D．6 21．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知为实数，集合， (1)若命题“，”是假命题，求实数的取值范围； (2)若，恒成立，求实数的取值范围. 22．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围是____________________. 典例六 一元二次不等式中有解问题 23．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 24．（25-26高一下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围___________． 25．（25-26高一上·天津和平·开学考试）若存在，使得成立，则实数m的取值范围是________． 26．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是___________． 典例七 一元二次不等式的实际应用 27．（25-26高一上·广西南宁·期中）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：． (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式） (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 28．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术．某高科技企业计划加大对芯片研发的投入，据了解，该企业原研发部门有100名技术人员，年人均投入80万元．现将这100名技术人员分成两个部分：研发部人员和技术部人员，其中技术部人员x名（其中），调整后研发部人员的年人均投入增加，技术部人员的年人均投入调整为万元． (1)要使得调整后研发部人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少？ (2)若技术部人员在已知范围内调整后，必须要求研发部人员的年总投入始终不低于技术部人员的年总投入，求出正整数t的最大值． 29．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 30．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线OA和OB互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB，其中AB的两个端点分别在这两墙角线上.    (1)若欲建一条长为10米的走廊，当长度为多少时，的面积最大？ (2)为了使围成区域更加美观并合理利用土地，准备在围成区域内建造一个矩形花圃，要求点在上，点在上，且过点，其中米，米，要使围成区域的面积大于18平方米，则的长应在什么范围内？ 典例八 二次函数的图象分析与判断 31．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．关于的方程的解集为 32．（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）已知二次函数. (1)若二次函数的图象与轴相交于两点，与轴交于点，且的面积为3，求实数的值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 33．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（多选）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．（m为任意实数） D． 第四部分：课后检测 1．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知命题，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·浙江·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高一上·河南新乡·期末）已知集合，关于的不等式的解集为，若中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·天津武清·期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 7．（25-26高一上·重庆·期中）当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 9．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）（多选）下列不等式实数解集为空集的有（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·重庆·期中）（多选）已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． 的解集为 D． 的最大值为 1 11．（25-26高一上·云南曲靖·期中）（多选）若关于x的不等式在区间上恰有1个整数解，则m可取（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）解不等式________. 13．（25-26高一上·上海·期中）对任意，都有，则a的取值范围是__________________. 14．（25-26高一上·重庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为________. 15．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数. (1)若，且，，求的最小值； (2)若，且有两个大于1的不等实根，求a的取值范围. (3)若，解关于x的不等式. 16．（25-26高一上·江苏扬州·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集是，求实数的值； (2)存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式：. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $