2.1 等式性质与不等式性质 讲义 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦等式性质与不等式性质核心知识点，系统梳理不等关系的概念、比较大小的作差与作商法、等式与不等式的性质，从概念建立到方法应用再到性质推导，构建递进式学习支架，助力学生夯实基础。 资料通过装修工资预算、灾区费用分担等实际情境培养数学眼光，借助作差作商比较大小及性质推理发展数学思维，以不等式表示关系提升数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后通过例题与练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 2.1等式性质与不等式性质 知识归纳与题型总结 考点01 不等关系 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 考向01 用不等式表示不等关系 【例1】完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，可知，其中， 化简得 【对点1】某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（除小李外）决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．设该班（除小李外）共有x人，这笔开学费用共y元，则x，y应满足的不等式组为______. 【答案】 【详解】由该班共有人，这笔开学费用共元，根据题意得. 考点02 比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 a＜b 或 考向01 作差法比较代数式的大小 【例1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 对于A选项，，当且仅当时，等号成立， 即，A错； 对于B选项，，所以，B对； 对于C选项，不妨取，则，C错； 对于D选项，不妨取，则，D错. 考向02 作商法比较代数式的大小 【例2】两个实数比较大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 或________ 或________ 【答案】 【分析】由不等式的性质即可求解. 【详解】第一空：因为，且，不等式两端同除，可得， 第二空：因为，且，不等式两端同除，可得， 故答案为：； 【对点1】已知，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即可得解. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，满足，则，故B错误； 对于C，显然成立，C正确； 对于D，，当时等号成立，故D错误. 【对点2】（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1）， 所以. （2）由，得，，， 因此， 所以. 考点03 等式的基本性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 考点04 不等式的性质 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 考向01 由已知条件判断所给不等式是否正确 【例1】若，，则下列不等式关系中一定成立的是　________　． ①　② ③④ 【答案】①③④ 【详解】因为，，所以，，所以，故①成立； 取，，，，代入②，可知②不成立； 因为，由不等式的可加性知，所以③成立； 由知，，由不等式的可加性知，所以④成立． 考向02 由不等式的性质比较数（式）大小 【例2】若，则与的大小关系为________.与1的大小关系为________　. 【答案】 ≤ <1 【详解】，当且仅当 时等号成立， 所以 ，所以 考向03 由不等式的性质证明不等式 【例3】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由于，取特殊值验证，令， 计算可得此时，不满足； 对于B，由，不等式两边同时乘，不等式方向改变， 得与对应相乘，得，则， 对于C.取上述A中特殊值验证选项C，， 此时不满足题意大小关系，排除C； 对于D，由，不等式两边同时加,不等式方向不变，得， 由，不等式两边同时加，不等式方向不变，可得， 联立两个不等式得，因此 【对点1】（多选）已知实数，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A，因为，所以. 选项B，若，，满足，但不满足. 选项C，因为，所以，则，所以. 选项D，若，，不满足. 【对点2】给出下列结论：①若，则；②若，则； ③若，，则；④若，，则.其中正确的结论的序号是________. 【答案】② 【详解】对于①，由，若，则，故①错误； 对于②，由可知，故， 将原不等式两边同乘以，则得，故②正确； 对于③；若取，显然满足，，但，则③错误； 对于④，若取，显然满足，，但，故④错误. 【对点3】已知R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，，故成立. 若，取，，满足，但，故不成立. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 一、选择题 1．已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】举反例逐一判断三个不等式，已知仅给出条件，没有限定的正负性： ①：取，，满足，但，，此时，故①不恒成立； ②：取，，满足，但，，此时，故②不恒成立； ③：取，，满足，此时，，，即， 故③也不恒成立； 三个不等式都无法在的条件下保证成立，成立的个数为. 2．设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过举特例可判断选项正误；对于C，由题设结合作差法可判断选项正误；对于D，先去掉绝对值，再由作差法可判断选项正误. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，取，则，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，， 又，则，故D正确． 3．奶茶店有甲、乙、丙、丁4名店员，星期五卖出的奶茶的杯数分别为，，，（，，，均为正整数且互不相等）．已知甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，则，，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，所以， 又乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，即，，故，， 将，代入得，即，故， 又， 即，故，即， 因为，，所以，又，，故. 4．设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由于，故，即，故A错误； 对于B、C，取，，，， 此时，，，， 所以，，故B、C错误； 对于D，因为，，故， 所以，故D正确． 5．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用作差法计算判断各个选项. 【详解】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误. 6．已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，则或或， 所以，是的既不充分也不必要条件，故A不符合题意； 对于B，，则， 所以，是的充要条件，故B不符合题意； 对于C，，则， 所以，是的一个充分不必要条件，故C符合题意； 对于D，当时，符合， 所以是的既不充分也不必要条件，故D不符合题意． 7．下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 8．已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，在的情况下讨论；对于B，取，讨论即可；对于C，在的情况下讨论；对于D，通过不等式变换即可. 【详解】选项A：若，则，错误. 选项B：若，，，，错误. 选项C：若，，，错误. 选项D：因为，所以，故成立，正确. 9．已知，则之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】设，则，，代入可得，，可证，进而得出答案． 【详解】设，则， 可得，， 因为，即， 且，，可得，所以. 10．若，且，，均不为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值法和不等式性质来逐一分析选项. 【详解】对于A选项，取，，，则，， 则有，， 则有，故A错误， 对于B选项，取，，， 则，， 所以，故B错误， 对于C选项，取，，， 则，， 则有，故C错误， 对于D选项，因为， 所以，由不等式的同向相加性质可知，故D正确． 二、填空题 11．设，，则p与的大小为　________　． 【答案】p≥4q 【详解】因为， ， 则 , 故,当且仅当时取等号． 12．下列不等式中成立的是________． ①若，则； ②若，则； ③若，，则； ④若，则． 【答案】 ②③ 【分析】由作差法，不等式性质结合题设可得答案. 【详解】对于①，因，则，当且仅当时取等号； 所以，故①不成立； 对于②，因，则；故②成立； 对于③，因，则，又， 则；故③成立； 对于④，，因为，所以， 则，故④不成立. 13．关于的不等式组的整数解有且只有和，那么适合这个不等式组的整数对共有___________对． 【答案】 6 【分析】解不等式组，根据不等式组的解确定整数，即可得解. 【详解】由有解可得， 又关于的不等式组的整数解有且只有和， 所以，解得且，又， 所以，， 所以适合这个不等式组的整数对共有对. 14．若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】先求解不等式组得到解集，再根据整数解的和为12确定所有可能的整数解集合，进而推导的取值范围. 【详解】由，得； 当时，所有的整数解为，所以； 当时，所有的整数解为，所以； 综上，的取值范围是或. 15．已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 【答案】2 【分析】使用不等式将问题转化为，再验证等号成立条件. 【详解】由题可知，，则，， 因为，所以，即，解得， 当且仅当，时，等号成立， 当时，，，， 故的最小值为2. 三、解答题 16．某蔬菜收购点租用车辆，将100 t新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆大卡车载重8 t，运费960元，每辆农用车载重t，运费360元，运输成本之和不能超过10 000元，据此安排两种车型，应满足哪些不等关系？请列出来． 【答案】 【详解】设租用大卡车x辆，农用车y辆， 根据题意，应满足如下的不等关系： ①两种车辆的总载重量应该不少于100 t； ②运输成本之和不超过10 000元； ③大卡车不能超过10辆； ④农用车不能超过20辆； ⑤，. 要同时满足以上不等关系，可以用下面的不等式组来表示： ，即 17．（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），理由： 由， ， 作差得 . 因 ，，故 ，又 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时取等号. （2），理由： 作差得 . 因 ，，故 ，，又 ， 所以 ， 即 ，当且仅当 时取等号. 【分析】（1）利用差比较法判断两者的大小关系. （2）利用差比较法判断两者的大小关系. 【详解】（1）略 （2）略 18．如图，在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L（单位m）大于宽W（单位：m）的4倍．矩形地基应满足哪些不等关系？请用不等式组表示． 【答案】 【详解】因为仓库的长L大于宽W的4倍，所以， 因为矩形地基面积小于，所以， 则所求不等式组为. 19．比较大小. 【答案】 【详解】由于，则. 20．比较与（且，且）的大小． 【答案】（当且仅当时等号成立） 【分析】由且，且，得，；通过作商法比较与的大小. 【详解】且，且，，. . 当时，，，得，则； 当时，，，得，则； 当时，，，得，则； 综上所述，（当且仅当时等号成立）. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 2.1等式性质与不等式性质 知识归纳与题型总结 考点01 不等关系 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 考向01 用不等式表示不等关系 【例1】完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【对点1】某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（除小李外）决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．设该班（除小李外）共有x人，这笔开学费用共y元，则x，y应满足的不等式组为______. 考点02 比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 a＜b 或 考向01 作差法比较代数式的大小 【例1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 考向02 作商法比较代数式的大小 【例2】两个实数比较大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 或________ 或________ 【对点1】已知，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【对点2】（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 考点03 等式的基本性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 考点04 不等式的性质 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 考向01 由已知条件判断所给不等式是否正确 【例1】若，，则下列不等式关系中一定成立的是　________　． ①　② ③④ 考向02 由不等式的性质比较数（式）大小 【例2】若，则与的大小关系为________.与1的大小关系为________　. 考向03 由不等式的性质证明不等式 【例3】若，则（   ） A． B． C． D． 【对点1】（多选）已知实数，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【对点2】给出下列结论：①若，则；②若，则； ③若，，则；④若，，则.其中正确的结论的序号是________. 【对点3】已知R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 一、选择题 1．已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A． B． C． D． 2．设，且，则（    ） A． B． C． D． 3．奶茶店有甲、乙、丙、丁4名店员，星期五卖出的奶茶的杯数分别为，，，（，，，均为正整数且互不相等）．已知甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，则，，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 7．下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 8．已知，且，则（     ） A． B． C． D． 9．已知，则之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 10．若，且，，均不为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．设，，则p与的大小为　________　． 12．下列不等式中成立的是________． ①若，则； ②若，则； ③若，，则； ④若，则． 13．关于的不等式组的整数解有且只有和，那么适合这个不等式组的整数对共有___________对． 14．若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 15．已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 三、解答题 16．某蔬菜收购点租用车辆，将100 t新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆大卡车载重8 t，运费960元，每辆农用车载重t，运费360元，运输成本之和不能超过10 000元，据此安排两种车型，应满足哪些不等关系？请列出来． 17．（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 18．如图，在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L（单位m）大于宽W（单位：m）的4倍．矩形地基应满足哪些不等关系？请用不等式组表示． 19．比较大小. 20．比较与（且，且）的大小． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $