2.1 等式性质与不等式性质【知识清单+6大题型】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦等式性质与不等式性质核心知识点，从不等式概念切入，通过实数大小比较（作差法）衔接不等式性质（对称性、传递性等），结合基本不等式探究，构建从概念到方法再到应用的学习支架。 资料特色在于知识清单系统梳理，典型例题分类覆盖表示不等关系、比较大小等六类题型，结合平流层高度等实际情境培养数学眼光，通过作差法推理证明发展数学思维，用符号语言表达不等关系提升数学语言能力，课中辅助教学，课后检测助学生查漏补缺。

2.1 等式性质与不等式性质 第一部分：知识清单 知识点一：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点二：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点三：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点四：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意c的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 a，b同为正数 可开方性 第二部分：典型例题汇总 典例一 用不等式表示不等关系 典例二 由不等式的性质比较数(式)大小 典例三 作差法比较代数式的大小 典例四 作商法比较代数式的大小 典例五 由不等式的性质证明不等式 典例六 利用不等式的性质求取值范围 第三部分：典型例题 典例一 用不等式表示不等关系 1．（25-26高二·全国·暑假作业）一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一·全国·专题训练）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 3．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 4．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 典例二 由不等式的性质比较数(式)大小 5．（2026高二下·湖北·学业考试）若，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26高一上·湖南张家界·阶段检测）设：实数满足且，：实数满足，则是的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 8．（2026高三·全国·专题练习）如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 典例三 作差法比较代数式的大小 9．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一·全国·专题训练）已知实数满足，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·山东济南·期中）已知，，比较m与n的大小关系. 典例四 作商法比较代数式的大小 13．（25-26高一·全国·专题训练）（1）比较与的大小； （2）已知，试比较和的大小. 14．（25-26高一上·山东济南·阶段检测）（多选）若正实数x，y满足，则有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 15．（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 16．（25-26高三上·河南信阳·阶段检测）（多选）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 典例五 由不等式的性质证明不等式 17．（25-26高一·全国·专题训练）（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 18．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 19．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 20．（25-26高一·全国·专题训练）若，，证明：． 典例六 利用不等式的性质求取值范围 21．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知，则的取值范围为___________． 22．（25-26高一上·广东清远·期中）已知，， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知，则的取值范围为______. 24．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知，，则的取值范围为________． 第四部分：课后检测 1．（25-26高三下·山西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京顺义·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·江西抚州·阶段检测）若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 7．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）（多选）若，则下列说法正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（25-26高一上·福建厦门·期末）（多选）下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 9．（25-26高二下·陕西·阶段检测）（多选）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 10．（25-26高一下·广东·期末）已知，且，则的最大值是________． 11．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 12．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 13．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）（1）已知，，求，的取值范围． （2）已知，比较与的大小． 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，比较和的大小，并指出等号成立条件． 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，试比较和的大小. 16．（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测）已知，，求 (1)的范围； (2)的范围； (3)的范围 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 等式性质与不等式性质 第一部分：知识清单 知识点一：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点二：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点三：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点四：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意c的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 a，b同为正数 可开方性 第二部分：典型例题汇总 典例一 用不等式表示不等关系 典例二 由不等式的性质比较数(式)大小 典例三 作差法比较代数式的大小 典例四 作商法比较代数式的大小 典例五 由不等式的性质证明不等式 典例六 利用不等式的性质求取值范围 第三部分：典型例题 典例一 用不等式表示不等关系 1．（25-26高二·全国·暑假作业）一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小于且不小于，. 2．（25-26高一·全国·专题训练）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 【答案】 【分析】设该车工3天后平均每天需加工个零件，由前3天加工的零件个数与后12天加工的零件个数和大于总个数即得． 【详解】设该车工3天后平均每天需加工个零件，加工天共加工个零件， 15天里共加工个零件， 因为在规定的时间内超额完成任务， 则． 故不等关系表示为． 3．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 【答案】A 【分析】根据题意可得不等式，代入解不等式即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以要使该厂不亏本，至少日生产文具盒5000套. 故选：A. 4．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 典例二 由不等式的性质比较数(式)大小 5．（2026高二下·湖北·学业考试）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由于，取特殊值验证，令， 计算可得此时，不满足； 对于B，由，不等式两边同时乘，不等式方向改变， 得与对应相乘，得，则， 对于C.取上述A中特殊值验证选项C，， 此时不满足题意大小关系，排除C； 对于D，由，不等式两边同时加,不等式方向不变，得， 由，不等式两边同时加，不等式方向不变，可得， 联立两个不等式得，因此 6．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】A选项，当时，，所以A选项错误； B选项，若，则，所以，所以B选项正确； C选项，若，则，所以C选项错误； D选项，若，则，所以D选项正确. 7．（25-26高一上·湖南张家界·阶段检测）设：实数满足且，：实数满足，则是的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，分别判断能否推出、能否推出即可得到结论. 【详解】充分性： 若实数满足且，根据不等式的同向可加性， 可得，即，因此是的充分条件. 必要性： 取反例：令，此时，满足， 但，不满足，即，因此不是的必要条件. 综上，是的充分条件. 8．（2026高三·全国·专题练习）如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，则. 对于选项A：因为，，所以，故A正确； 对于选项B：因为，则，且，所以，故B正确； 对于选项C：例如满足，但，故C不一定成立； 对于选项D：因为，则，且，所以，故D正确. 典例三 作差法比较代数式的大小 9．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举特殊值可判断ABD；利用作差法可判断C. 【详解】根据，取，，， 对于A，因为，所以不一定成立，故A错误； 对于B，因为，所以不一定成立，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以不一定成立，故D错误. 故选：C 10．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合已知条件得与同号，进而得，整理即判断D，对于ABC，利用特殊值判断不成立即可. 【详解】由得，即， 所以与同号， 对于A选项，当时，满足，，故不一定成立，错误； 对于B选项，当时，满足，，此时，故错误； 对于C选项，当时，满足，，此时，故错误； 对于D选项，由得，整理得，即，故正确. 故选：D 11．（25-26高一·全国·专题训练）已知实数满足，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】， 所以，当时，, 将题中两式作差得，即. 因为，所以， 所以， 选择:A 12．（25-26高一上·山东济南·期中）已知，，比较m与n的大小关系. 【答案】 【分析】利用作差法，根据配方法，可得答案. 【详解】由，则. 典例四 作商法比较代数式的大小 13．（25-26高一·全国·专题训练）（1）比较与的大小； （2）已知，试比较和的大小. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】（1）利用作差法得出，然后对与的大小进行分类讨论，进而可得出与的大小关系； （2）将、进行分子有理化，结合作商法可得出、的大小关系. 【详解】（1）， 当时，则，则； 当时，则，则； 当时，则，则； （2），则，， ， ， ，所以，， 因此，. 【点睛】本题考查利用作差法和作商法比较大小，属于基础题. 14．（25-26高一上·山东济南·阶段检测）（多选）若正实数x，y满足，则有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BCD 【分析】利用特殊值排除错误结论，利用差比较法、商比较法证明正确结论. 【详解】依题意，正实数x，y满足，， 若，则，所以①错误. ，所以②正确. 由于，所以，所以③正确. ，所以④正确. 故选：BCD 15．（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 16．（25-26高三上·河南信阳·阶段检测）（多选）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】作差比较大小可以判断AD；作商比较大小可以判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 典例五 由不等式的性质证明不等式 17．（25-26高一·全国·专题训练）（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明：因为，所以．又，所以， 则，所以，即． 又，所以． （2）证明：要证，只需证， 即证，即证， 即证，即证，显然成立，所以． 【详解】（1）略； （2）略. 18．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1) 由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. (2) 由，而， 所以，即，得证. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）略 （2）略 19．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 【答案】（1） ； （2）证明：因为，可得， 则，又，可得． 【分析】（1）利用比较法，作差即可判断大小： （2）结合不等式性质即可证明． 【详解】解：（1） . （2）略 20．（25-26高一·全国·专题训练）若，，证明：． 【答案】∵，∴， 又∵，∴， ∴，则有：， 又∵， ∴． 【分析】根据不等式的性质利用综合法即可证明． 【详解】略 典例六 利用不等式的性质求取值范围 21．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】待定系数法求出，再利用不等式性质求解即可. 【详解】设， 则，解得， 由可得，， 由可得， 则两式相加可得， 故答案为：. 22．（25-26高一上·广东清远·期中）已知，， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质求解. 【详解】，，，. 故选：C. 23．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用不等式性质求出目标式的范围. 【详解】依题意，， 由，得，而， 因此，即， 所以的取值范围是. 故答案为： 24．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知，，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由题意得，将条件代入所求，即可得答案. 【详解】由题意， 由，得， 又， 故，即． 故答案为： 第四部分：课后检测 1．（25-26高三下·山西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简，再应用不等式性质计算求解. 【详解】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 2．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合矩形面积公式与不等式定义即可得. 【详解】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. 3．（25-26高三上·北京顺义·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，， 又，，故B正确； 对于C，当时，符合，但，故C错误； 对于D，当时，，故D错误． 故选：B． 4．（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质推理判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：A 5．（25-26高一下·江西抚州·阶段检测）若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差、作商法即可判断A、B的正误，由不等式的性质可判断C、D的正误. 【详解】A：，又，知：，但无法确定符号，错误； B：，，故，正确； C：由，知，即，正确； D：由，有，正确； 故选：A 6．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】利用作差法可判断. 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 7．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）（多选）若，则下列说法正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【分析】对于A，可举例判断，当时，；对于B，若，则即可判断；对于CD，通过作差比较即可判断． 【详解】选项A中，a，b的符号不确定，例如：当时，，故A不正确； 选项B中，若，则，故B不正确； 选项C中，若，则，故C正确； 选项D中，， ，， 即，即，故D正确． 故选：CD． 8．（25-26高一上·福建厦门·期末）（多选）下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BD 【分析】利用举反例判断AC，利用不等式性质和作差思想来证明BD. 【详解】当，此时，故A错误； 因为，，所以，故B正确； 当时，此时，故C错误； 由，因为，所以，故D正确； 故选：BD 9．（25-26高二下·陕西·阶段检测）（多选）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质，判断AB，再根据凑配法，利用和表示和，再结合不等式的性质，即可求范围. 【详解】由条件可知，，两式相加得，即，故A正确； 由条件可知，，，两式相加得，得，故B正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故D错误. 故选：ABC 10．（25-26高一下·广东·期末）已知，且，则的最大值是________． 【答案】5 【详解】当取最小值，取最大值3的时候，的最大值为5． 11．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 【答案】2 【分析】使用不等式将问题转化为，再验证等号成立条件. 【详解】由题可知，，则，， 因为，所以，即，解得， 当且仅当，时，等号成立， 当时，，，， 故的最小值为2. 12．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 13．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）（1）已知，，求，的取值范围． （2）已知，比较与的大小． 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）根据不等式的性质求代数式的范围； （2）应用作差法比较大小即可. 【详解】（1）由，，则，，， 所以，； （2）由， 所以，当且仅当时取等号. 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，比较和的大小，并指出等号成立条件． 【答案】，当且仅当时等号成立 【分析】利用作差比较法求解判断. 【详解】, 所以，当且仅当时，等号成立. 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，试比较和的大小. 【答案】答案见解析. 【分析】根据给定条件，作差、变形，再与0比较大小即可. 【详解】依题意， ， 由，得， 所以当时，； 当时，； 当时，. 16．（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测）已知，，求 (1)的范围； (2)的范围； (3)的范围 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先将的每一项都乘以2，不等号方向不变，得到的范围，将的每一项都乘以3，不等号方向不变，得到的范围，再利用同向不等式具有可加性得到的范围； （2）先将的每一项都乘以3，不等号方向不变，得到的范围，将的每一项都乘以，不等号方向改变，得到的范围，再利用同向不等式具有可加性得到的范围； （3）利用正数不等式取倒数，不等号方向改变，使用求出的范围，利用同向正值不等式具有可乘性得到的范围. 【详解】（1），， ，， . （2），， ，， . （3），， ， . 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $