3.4函数的应用同步练习(一)-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数模型应用，分层设计从基础概念到综合实践，通过生活情境题培养数学眼光与建模能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一次函数、二次函数、幂函数的直接应用|以选择填空为主（如1-7题），直接应用公式解决简单实际问题| |提升层|分段函数综合应用及函数模型辨析|含解答题（如11题）和多选题（12题），需分析复杂数量关系| |拓展层|复杂情境中的函数建模与优化|结合图表与实际问题（如15-17题），培养建模与创新意识|

3.4　函数的应用(一) 考点一　一次函数、二次函数模型 1.某快递公司邮寄重量在1000克以内的包裹的费用标准如下表: 运送距离x(km) 0<x≤500 500<x≤1000 1000<x≤1500 1500<x≤2000 … 邮费y(元) 5 6 7 8 … 如果某人在该快递公司邮寄900克的包裹到距该快递公司1300 km的某地,那么他应付的邮费是 (　 ) A.5元 B.6元 C.7元 D.8元 2.随着海拔的升高,大气压强下降,空气中的含氧量也随之下降,且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系.当x=36 kPa时,y=108 g/m3,则y与x的函数关系式为 (　 ) A.y=3x(x>0) B.y=3x C.y=x(x>0) D.y=x 3.已知某种烟花在最高处炸裂,其距地面的高度h(单位:米)与时间t(单位:秒)之间的关系式为h=-3.6t2+28.8t,则烟花炸裂的高度是 (　 ) A.56.6米 B.57.6米 C.58.6米 D.59.6米 4.某型号汽车在某种路面的刹车距离s(米)与汽车车速x(千米/时)的关系式是s=x2,若该汽车在行驶过程中发现前面40米处有障碍物,这时为了能在离障碍物不少于5米处停车,则该汽车的最大速度为　　　　.  考点二　幂函数模型 5.在固定电压(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I(单位:安)与电线半径r(单位:毫米)的三次方成正比.若已知电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,则电流通过半径为3毫米的电线时,电流强度为 (　 ) A.60安 B.240安 C.75安 D.135安 6.异速生长规律描述的是生物的体重与其他生理属性之间的非线性数量,关系通常以幂函数形式表示.比如,某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y=kxα,其中k和α为正常数,该类动物某一个体在生长发育的过程中,其体重增长到初始状态的16倍时,其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍,则α= (　 ) A. B. C. D. 7.某旅游景区投放市场的广告费x(万元)与景区利润y(万元)之间存在的关系为y=xα(α为常数).由于经费限制,广告费不超过5万元,已知往年投入广告费为3万元时,景区利润为27万元,若今年广告费投入5万元,预计今年景区利润为　　　　万元.  考点三　分段函数模型 8.[教材P96第3题变式] 为了节约能源,某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”,计费方法如下表: 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过400 m3的部分 2.50元/m3 超过400 m3但不超过600 m3的部分 3.60元/m3 超过600 m3的部分 4.50元/m3 若某户居民一年的天然气费为1360元,则此户居民这一年的天然气用量为 (　 ) A.610 m3 B.600 m3 C.544 m3 D.500 m3 9.“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当AQI大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动.某地某天0~24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y=描述,则该天可以开展户外活动的时长至多为 (　 ) A.5小时 B.6小时 C.7小时 D.8小时 10.学校教室与办公室相距a米,某同学有重要材料要送交给老师.他从教室出发先匀速跑步2分钟来到办公室,在办公室停留2分钟,然后匀速步行6分钟返回教室,请写出该同学行走路程y关于时间t的函数关系式　　　　　　.  11.[2026·四川广安高一期中] 某公司生产一类电子芯片,且该芯片的年产量不超过40万件,每万件电子芯片的计划售价为18万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两部分,其中固定成本为35万元/年,每生产x万件电子芯片需要投入的流动成本为f(x)(单位:万元),当年产量不超过14万件时,f(x)=x2+4x,当年产量超过14万件时,f(x)=19x+-120.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)写出年利润g(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) (2)为使公司获得的年利润最大,每年应生产多少万件该芯片? 12.(多选题)[教材P96第4题变式] 某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y,观影人数记为x,y关于x的函数图象如图①所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图②③中的实线分别为调整后y关于x的函数图象.给出下列四个说法,其中正确的说法是 (　 ) A.图②对应的方案是提高票价,并提高固定成本 B.图②对应的方案是保持票价不变,并降低固定成本 C.图③对应的方案是提高票价,并保持固定成本不变 D.图③对应的方案是提高票价,并降低固定成本 13.某医院开展某种病毒的检测工作,第n天时每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t(n)(单位:小时),t(n)=(t0,N0为常数).已知第16天检测过程平均耗时为16小时,第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时,那么第49天检测过程平均耗时为　　　　小时.(精确到1小时)  14.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x=　　　　.  15.家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料,它的电阻R(kΩ)随温度t(℃)(在一定范围内)变化的大致图象如图所示.通电后,发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中,电阻与温度成反比例关系,且在温度达到30℃时,电阻下降到最小值;随后电阻随温度升高而增加,温度每上升1℃,电阻增加 kΩ. (1)求R和t之间的关系式; (2)家用电灭蚊器在使用过程中,温度在什么范围内时,发热材料的电阻不超过4 kΩ. 16.长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下: (i)调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0,100]; (ii)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低; (iii)调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变. 记x为调度前该水库的蓄满指数,y为调度后该水库的蓄满指数,给出下面四个y关于x的函数解析式: ①y=-x2+6x; ②y=x+50; ③y=|x-1|;④y=10. 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 (　 ) A.②④ B.①④ C.②③ D.③④ 17.一水池有2个进水口,1个出水口,进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口) 甲 乙 丙 给出以下3个论断: ①0点到3点只进水不出水; ②3点到4点不进水只出水; ③4点到6点不进水不出水. 则结论正确的是　　　　.(填序号)  学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4　函数的应用(一) 1.C　[解析] 当0<x≤2000时,邮费y与运送距离x之间的函数关系式为y=∵1300∈(1000,1500],∴当x=1300时,y=7.故选C. 2.A　[解析] 由题意设y=kx(k≠0),将x=36,y=108代入得k=3,故y=3x,x>0.故选A. 3.B　[解析] 依题意,h=-3.6(t-4)2+57.6≤57.6,当且仅当t=4时取等号,所以烟花炸裂的高度是57.6米.故选B. 4.10千米/时　[解析] 若该汽车在行驶过程中发现前面40米处有障碍物,且能在离障碍物不少于5米处停车,则s=x2≤40-5,可得0<x≤10,即该汽车的最大速度为10千米/时. 5.D　[解析] 设比例系数为k,k>0,则电流强度I=kr3,由已知可得当r=4时,I=320,故有320=43k,解得k=5,所以I=5r3,则当r=3时,I=5×33=135(安).故选D. 6.D　[解析] 设初始状态和生长后的体重分别为x1,x2,初始状态和生长后的新陈代谢率分别为y1,y2,则x2=16x1,y2=8y1,由y1=k,y2=k,得8y1=k(16x1)α=k·16α,则=,则16α=8,解得α=.故选D. 7.125　[解析] 由已知得,当投入广告费用为3万元时,景区利润为27万元,代入y=xα中,得3α=27,解得α=3,故函数关系式为y=x3,所以当x=5时,y=125. 8.D　[解析] 设天然气用量为x m3,天然气费为f(x)元,则f(x)=因为f(400)=1000<1360<f(600)=1720,所以400<x<600,所以3.6(x-400)+1000=1360,解得x=500,所以此户居民这一年的天然气用量为500 m3.故选D. 9.C　[解析] 由题知,当AQI大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即当AQI小于等于200时,可以开展户外活动,即y≤200,因为y=所以当0≤t≤12时,只需-10t+290≤200,解得9≤t≤12;当12<t≤24时,只需56-24≤200,解得12<t≤16.综上,可以开展户外活动的时间段为9≤t≤16,共计7个小时.故选C. 10.y=　[解析] 匀速跑步的速度为米/分,匀速步行的速度为米/分,故y= 11.解:(1)根据题意得,当0≤x≤14时,g(x)=18x-f(x)-35=-x2+14x-35;当14<x≤40时,g(x)=18x-f(x)-35=-+85. 故g(x)= (2)当0≤x≤14时,g(x)=-x2+14x-35=-+,此时g(x)的最大值为g=; 当14<x≤40时,g(x)=-+85≤-2+85=45, 当且仅当x=,即x=20时,等号成立. 因为45>,所以当x=20,即每年生产20万件该芯片时,公司获得的年利润最大. [规律总结] 解答分段函数问题时必须遵循“对号入座”的原则,即根据题设条件在各段函数解析式中解决问题.求分段函数的最值时,注意取各段的最大(小)值的最大(小)者为函数的最大(小)值. 12.BC　[解析] 由图①可设y关于x的函数为y=kx+b,k>0,b<0,易知k的实际意义为票价,当k=0时,y=b,则-b为固定成本.由图②知,直线向上平移,k不变,即票价不变,b变大,则-b变小,即固定成本减小,故A错误,B正确;由图③知,调整后的直线与y轴的交点不变,斜率变大,即k变大,票价提高,b不变,固定成本不变,故C正确,D错误.故选BC. 13.9　[解析] 根据函数的解析式可知,当n<N0时,t(n)=单调递减;当n≥N0时,t(n)=为常数.因为第16天检测过程平均耗时为16小时,所以t(16)===16,得t0=64,则t(n)=(n<N0).因为第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时,即t(64)=t(67)===8,所以N0=64,则t(n)=所以t(49)==≈9. 14.20　[解析] 如图,设锐角三角形为△PQR,过点P作PN⊥QR于点N,设内接矩形为ABCD,PN与AB交于点M,则AB=x m,设AD=y m,由AB∥CD,得AB∥QR,则△PAB∽△PQR,△PMB∽△PNR,所以==,==,所以=,即y=40-x,所以矩形ABCD的面积S=xy=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400,所以当x=20时,矩形的面积最大. 15.解:(1)∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中,电阻与温度成反比例关系,∴当10≤t≤30时,设R=, 将(10,6)代入上式中得6=,解得k=60, 故当10≤t≤30时,R=. 将t=30℃代入上式中得R==2, ∴温度在30℃时,电阻R=2 kΩ. ∵在温度达到30℃时,电阻下降到最小值,随后电阻随温度升高而增加,温度每上升1℃,电阻增加 kΩ, ∴当t≥30时,R=2+(t-30)=t-6, 故R和t之间的关系式为R= (2)把R=4代入R=t-6,得t=37.5, 把R=4代入R=,得t=15, 所以温度在15℃~37.5℃时,发热材料的电阻不超过4 kΩ. 16.A　[解析] 函数y=-x2+6x的图象的对称轴方程为x=-=60,所以ymax=-×602+6×60=180,超出了范围,不符合题意;y=x+50,x∈[0,100]时,y∈[50,100],且y=x+50在[0,100]上单调递增,y-x=-x+50∈[0,50],即y≥x,符合题意;函数y=|x-1|在[0,1]上单调递减,在[1,100]上单调递增,故不符合题意;函数y=10为增函数,且当x∈[0,100]时,y∈[0,100],又0≤≤10,所以x≤10,即y≥x,符合题意.故满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是②④.故选A. 17.①　[解析] 由题意可知在0点到3点这段时间,每小时进水量为2,即2个进水口同时进水且不出水,故①正确;从丙图可知3点到4点水量减少了1,所以应该是有一个进水口进水,同时出水口也出水,故②错误;当两个进水口同时进水,出水口也同时出水时,水量保持不变,也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错误.故填①. 学科网（北京）股份有限公司 $