重点强化练三函数的单调性、奇偶性-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 练习聚焦函数单调性与奇偶性，分层设计基础巩固（单选）、综合应用（多选填空）、能力提升（解答）三级梯度，通过概念辨析到综合推理，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一概念（奇偶性判断、单调性应用）|单选直接考查定义（如题1奇偶性与单调性判断）| |综合应用|综合概念（分段函数单调性、奇函数性质）|多选填空结合参数计算（如题7分段函数单调性求参数）| |能力提升|复杂应用（解析式求法、单调性证明、抽象函数不等式）|解答题需完整推理过程（如题12单调性定义证明）|

重点强化练三　函数的单调性、奇偶性 1.D　[解析] 对于A,函数f(x)=x3在R上单调递增,故A错误;对于B,函数f(x)=-x2是偶函数,故B错误;对于C,函数f(x)=的定义域是{x|x≠0},又f(-x)=-=-f(x),所以f(x)为奇函数,又f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=不是其定义域上的减函数,故C错误;对于D,函数f(x)=-2x的定义域为R,又f(-x)=2x=-f(x),所以f(x)是奇函数,显然f(x)=-2x在R上单调递减,故D正确.故选D. 2.B　[解析] 因为函数f(x)=ax2+bx+1是定义在[-1-a,2a]上的偶函数,所以解得所以a+b=1.故选B. 3.B　[解析] 奇函数的图象关于原点中心对称,在对称的区间上具有相同的单调性,故f(x)在区间[-7,-3]上单调递增,且f(-4)=-f(4)=-5.故选B. 4.D　[解析] 因为函数f(x)=的定义域为R,f(-x)==-f(x),所以函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除A,B;当x>0时,f(x)>0,排除C.故选D. 5.C　[解析] 由-x2+5x-4≥0,解得1≤x≤4,所以函数y=的定义域为[1,4].令u=-x2+5x-4,则u=-x2+5x-4在上单调递减,在上单调递增,所以函数y=的单调递减区间是.故选C. 6.B　[解析] 当x>0时,f(x)=x+≥2,当且仅当x=时取等号,所以当x>0时,f(x)的取值范围是[2,+∞),又因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以当x<0时,f(-x)≥2,则f(x)=-f(-x)≤-2,即当x<0时,f(x)的取值范围是(-∞,-2].故选B. 7.AC　[解析] 因为函数f(x)为R上的单调函数,所以函数y=x+在(2,+∞)上单调.当a≤0时,y=x+在(2,+∞)上单调递增,但此时y=(a-3)x+3在(-∞,2]上单调递减,不符合题意;当a>0时,由函数y=x+在(2,+∞)上单调,可得函数y=x+在(2,+∞)上单调递增,且≤2,所以0<a≤4,所以函数f(x)为R上的增函数,所以解得3<a≤.综上可得,a的取值范围为.故选AC. 8.ABC　[解析] 可作满足题意的f(x)的大致图象(不唯一,仅参考).对于A,由f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递减,根据奇函数的性质得f(x)在(-∞,0)上单调递减,故A正确;对于B,因为f(x)是定义在R上的奇函数,f(-7)=0,所以f(7)=-f(-7)=0,又f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(8)<f(7)=0,故B正确;对于C,由A与题意可得f(x)>0的解集为(-∞,-7)∪(0,7),故C正确;对于D,由题意知,f(7)=-f(-7)=0,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(x)的图象与x轴有3个交点,故D错误.故选ABC. 9.　[解析] 易知函数y=在[2,4]上单调递减,所以当x=4时,y=取得最小值,最小值为=. 10.-1　[解析] 当x>0时,-x<0,则f(-x)=-a2x+1=-f(x)=-x-a,所以解得a=-1;当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x+a=-f(x)=-a2x-1,所以解得a=-1.综上可得,a=-1. 11.[-2,0]∪[1,4]　[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数,且在(-∞,0)上单调递增,f(3)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(-3)=0,f(0)=0,所以当x∈(-∞,-2)∪(1,4)时,f(x-1)<0,当x∈{-2,1,4}时,f(x-1)=0,当x∈(-2,1)∪(4,+∞)时,f(x-1)>0.由原不等式可得,当x≥0时,f(x-1)≤0,可得1≤x≤4,当x≤0时,f(x-1)≥0,可得-2≤x≤0.故xf(x-1)≤0的解集为[-2,0]∪[1,4]. 12.解:(1)由函数f(x)是定义在R上的奇函数,得f(0)=0. 因为当x<0时,f(x)=-x3+3x+2, 所以当x>0时,-x<0,则f(-x)=-(-x)3+3(-x)+2=x3-3x+2, 又因为f(x)是奇函数,所以当x>0时,f(x)=-f(-x)=-x3+3x-2. 故f(x)= (2)证明:由(1)可知,当x>1时,g(x)=-=x2+-3,∀x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2, 有g(x1)-g(x2)=+-3--+3=(-)+-=(x1-x2), 因为x2>x1>1,所以x1-x2<0,x1+x2>2,x1x2>1,则0<<2, 所以(x1-x2)<0,即g(x1)<g(x2), 所以g(x)在(1,+∞)上单调递增. 13.解:(1)因为f(xy)=f(x)+f(y)-1, 所以f(4)=f(2)+f(2)-1=0, 所以f(16)=f(4)+f(4)-1=-1, 所以f(64)=f(4)+f(16)-1=-2. (2)令x=1,y=-1,得f(-1)=f(1)+f(-1)-1,所以f(1)=1; 令x=-1,y=-1,得f(1)=2f(-1)-1,所以f(-1)=1. 令y=-1,得f(-x)=f(x), 又x∈(-∞,0)∪(0,+∞),所以函数f(x)为偶函数. (3)∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则>1,所以f<1, 所以f(x2)=f(x1)+f-1<f(x1), 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减. 由题意得f(2x+1)+f-1>1, 则f>f(1), 又f(x)为偶函数,所以解得-1<x<-或-<x<-, 故不等式f(2x+1)+f>2的解集为∪. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练三　函数的单调性、奇偶性 一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.[2026·湖南邵阳高一期中] 下列函数中,在其定义域上是奇函数又是减函数的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.f(x)=x3 B.f(x)=-x2 C.f(x)= D.f(x)=-2x 2.若函数f(x)=ax2+bx+1是定义在[-1-a,2a]上的偶函数,则a+b= (　 ) A.-1 B.1 C.2 D.-2 3.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上单调递增,且f(4)=5,那么函数f(x)在区间[-7,-3]上 (　 ) A.单调递增,且f(-4)=5 B.单调递增,且f(-4)=-5 C.单调递减,且f(-4)=-5 D.单调递减,且f(-4)=5 4.函数f(x)=的图象大致为 (　 ) A B C D 5.函数y=的单调递减区间是 (　 ) A. B. C. D. 6.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x+,则当x<0时,f(x)的取值范围是 (　 ) A.(-∞,2] B.(-∞,-2] C.[2,+∞) D.[-2,+∞) 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 7.已知函数f(x)=为R上的单调函数,则实数a的值可以是 (　 ) A. B. C. D.4 8.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(-7)=0,则 (　 ) A.f(x)在(-∞,0)上单调递减 B.f(8)<0 C.不等式f(x)>0的解集为(-∞,-7)∪(0,7) D.f(x)的图象与x轴有2个交点 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 9.函数y=在区间[2,4]上的最小值为　　　　.  10.[2026·上海静安区高一期中] 若函数f(x)=是奇函数,则a=　　　　.  11.[2026·山东名校考试联盟高一期中] 已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(3)=0,则满足xf(x-1)≤0的x的取值范围是　　　　.  四、解答题:本题共2小题,共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)[2026·成都七中高一期中] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=-x3+3x+2. (1)求f(x)的解析式; (2)用定义证明:函数g(x)=-在(1,+∞)上单调递增. 13.(15分)已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且∀x,y∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y)-1. (1)若f(2)=,求f(64)的值; (2)判断函数f(x)的奇偶性并证明; (3)当x>1时,f(x)<1,解不等式f(2x+1)+f>2. 学科网（北京）股份有限公司 $