3.2.1 微专题2 二次函数的最值问题-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

**基本信息** 以“轴与区间的动定关系”为核心分层，通过四类型题组实现从基础应用到动态综合的梯度进阶，强化二次函数最值问题的推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |轴定区间定|单一区间内最值计算|基础选择（如第1-3题），直接应用单调性，巩固概念理解| |轴定区间动|区间位置分类讨论|含参数区间题（如第4-5题），培养分类讨论思维| |轴动区间定|对称轴位置综合分析|多选与解答题（如第6-10题），涉及参数最值与实际应用，提升运算能力| |轴动区间动|双动态条件下最值探究|复杂动态题（如第11-13题），综合转化与推理，发展创新意识|

微专题2　二次函数的最值问题 1.C　f(x)=-x2+4x+a=-(x2-4x+4)+a+4=-(x-2)2+4+a,所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=2,且函数f(x)的图象开口向下,所以f(x)在[0,1]上单调递增.结合题意可知f(0)=-2,即a=-2.所以f(x)max=f(1)=-1+4-2=1. 2.D　易知f(x)=-x2+2x+1=-(x-1)2+2的图象的对称轴为直线x=1,且f(x)的图象开口向下,∴当0≤x≤3时,f(x)max=f(1),f(x)min=f(3), ∴m=f(1)=2,n=f(3)=-2,故m+n=0. 方法总结　二次函数在闭区间上的最值的求法 求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,n]上的最值一般分为以下几种情况: (1)若m≤-≤n,则最小值为f,最大值为f(m), f(n)中较大者; (2)若-<m,则f(x)在区间[m,n]上单调递增,最大值为f(n),最小值为f(m); (3)若->n,则f(x)在区间[m,n]上单调递减,最大值为f(m),最小值为f(n). 3.C　当a=0时,y=1,为常数函数,显然不符合题意,舍去; 当a>0时,y=ax2+1的图象开口向上,对称轴为y轴, 所以它在区间[1,2]上单调递增,所以ymax-ymin=(a·22+1)-(a·12+1)=3a=3,所以a=1; 当a<0时,y=ax2+1的图象开口向下,对称轴为y轴, 所以它在区间[1,2]上单调递减,所以ymax-ymin=(a·12+1)-(a·22+1)=-3a=3,所以a=-1. 综上,a=1或a=-1. 故选C. 4.C　审题指导　二次函数在区间上既没有最大值也没有最小值,且该区间是开区间,说明函数图象的对称轴在这个开区间之外. 解题思路　由已知可得函数图象的对称轴为直线x=1,且函数在区间(2m,m+1)上单调, 则2m≥1或m+1≤1,解得m≥或m≤0. 因为2m<m+1(易错:区间左端点的值小于右端点的值,这是容易忽略的地方),所以m<1, 所以≤m<1或m≤0.故m的取值范围是(-∞,0]∪. 5.C　函数f(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4图象的对称轴为直线x=-1, 若a≤-1,则x=-1时,函数f(x)取得最大值,为f(-1)=4,不满足题意; 若-1<a≤2,则函数f(x)在区间[a,2]上单调递减, 所以当x=a时,函数f(x)取得最大值,为f(a)=-a2-2a+3,令-a2-2a+3=, 解得a=-或a=-(舍去). 故选C. 6.B　易知抛物线y=f(x)=x2-ax+的开口向上,对称轴为直线x=, ①当≤,即a≤1时,g(a)=f(1)=1-, ②当>,即a>1时,g(a)=f(0)=, 故g(a)=易知g(a)的图象连续不断,且a≤1时,g(a)单调递减,a>1时,g(a)单调递增,故当a=1时,g(a)取得最小值,为. 7.AC　易知f(x)= 当a≤0时, f(x)在区间[0,2]上单调递增, 所以f(x)max=f(2)=2(2-a)=2,解得a=1(舍去). 当>2,即a>4时, f(x)在区间[0,2]上单调递增, 所以f(x)max=f(2)=-2(2-a)=2,解得a=3(舍去). 当0<a≤4时, 若x>a>0,则令f(x)=f,得x(x-a)=-,解得x=(负值舍去). 若≤2≤,即4(-1)≤a≤4, 则f(x)max=f==2, 解得a=2或a=-2(舍去). 若2>,即a<4(-1), 则 f(x)max=f(2)=2(2-a)=2,解得a=1. 故选AC. 8.解题思路　设=t,t∈[0,1],则x-2a+3=t2-2at+3. 设h(t)=t2-2at+3,易知h(t)的图象开口向上,且对称轴为直线t=a. 当a≥1时,函数h(t)(t∈[0,1])的图象如图①中实线所示,函数h(t)在区间[0,1]上单调递减,最小值为h(1)=4-2a; 当0<a<1时,函数h(t)(t∈[0,1])的图象如图②中实线所示,函数h(t)在区间[0,1]上先单调递减后单调递增,最小值为h(a)=3-a2; 当a≤0时,函数h(t)(t∈[0,1])的图象如图③所示,函数h(t)在区间[0,1]上单调递增,最小值为h(0)=3. 综上所述,f(x)min= 　　 9.解题思路　(1)易知f(x)=x2+ax+1的图象开口向上,对称轴为直线x=-,又函数f(x)在[-1,2]上严格单调递减, ∴-≥2,解得a≤-4, 故实数a的取值范围为(-∞,-4]. (2)当a=1时,f(x)=x2+x+1=+,x∈[-1,2], 当x=-时,函数f(x)取得最小值,为f =, 当x=2时,函数f(x)取得最大值,为f(2)=7. (3)当-≤-1,即a≥2时,函数f(x)在[-1,2]上单调递增, 故H(a)=f(x)min=f(-1)=2-a; 当-≥2,即a≤-4时,函数f(x)在[-1,2]上单调递减, 故H(a)=f(x)min=f(2)=2a+5; 当-1<-<2,即-4<a<2时, H(a)=f(x)min=f=1-. 故H(a)= 10.解题思路　(1)条件①:因为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),所以f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b=2x-2, 即2(a-1)x+a+b+2=0对任意的x∈R恒成立, 所以解得 条件②:因为不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2}, 所以解得且a>0. 条件③:因为函数y=f(x)的图象过点(3,2), 所以9a+3b+c=2. 若选择条件①和②,则a=1,b=-3,c=2,此时f(x)=x2-3x+2. 若选择条件①和③,则a=1,b=-3,c=2,此时f(x)=x2-3x+2. 若选择条件②和③,则a=1,b=-3,c=2,此时f(x)=x2-3x+2. (2)由(1)知g(x)=x2-(m+3)x+2,其图象开口向上,对称轴为直线x=, 当≤1,即m≤-1时,g(x)min=g(1)=3-(m+3)=-m=3,解得m=-3, 当≥2,即m≥1时,g(x)min=g(2)=6-(2m+6)=-2m=3,解得m=-(舍), 当1<<2,即-1<m<1时,g(x)min=g=-+2=3,无解. 综上所述,实数m的值为-3. 11.C　易知函数f(x)=2x2-ax+1图象的对称轴为直线x=,当-1<a≤0时,易得函数在[-1,a]上单调递减,则函数f(x)的最大值为f(-1),不满足条件.当a>0时,要使f(x)的最大值为f(a),则f(a)≥f(-1),即2a2-a2+1≥2+a+1,解得a≤-1(舍)或a≥2.故实数a的取值范围为[2,+∞). 12.答案　 解题思路　∵y2=4a(x-a)(a>0,x≥a), ∴u=(x-3)2+y2=x2-6x+9+4ax-4a2=[x-(3-2a)]2+12a-8a2, 其图象的对称轴为直线x=3-2a,顶点坐标为(3-2a,12a-8a2). 若3-2a≥a>0,即0<a≤1,则当x=3-2a时,u取得最小值,为12a-8a2. 若3-2a<a,即a>1,则u在[a,+∞)上单调递增,∴当x=a时,u取得最小值,为a2-6a+9. 综上,umin= 13.解题思路　当t+2≤(a>0)时,易知函数f(x)=ax2-2x在[t,t+2]上单调递减, 则f(x)max=f(t)=at2-2t=,f(x)min=f(t+2)=a(t+2)2-2(t+2)=,且at+2a≤1,a>0, 即解得 当t+1≤<t+2(a>0)时,函数f(x)=ax2-2x在上单调递减,在上单调递增, f(x)max=f(t)=at2-2t=,f(x)min=f =a·-2·=,且at+a≤1<at+2a,a>0, 即无解. 当t<<t+1(a>0)时,函数f(x)=ax2-2x在上单调递减,在上单调递增, f(x)max=f(t+2)=a(t+2)2-2(t+2)=,f(x)min=f =a·-2·=,at<1<at+a,a>0, 即无解. 当≤t(a>0)时,函数f(x)=ax2-2x在[t,t+2]上单调递增, 则f(x)min=f(t)=at2-2t=,f(x)max=f(t+2)=a(t+2)2-2(t+2)=,且at≥1,a>0, 即解得 综上,当t+2≤(a>0)时,a=,t=; 当≤t(a>0)时,a=,t=7. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题2　二次函数的最值问题 限时40分钟 　　　　　　　　　　　　　　　 类型1　轴定区间定 　　若对称轴是固定的,区间也是固定的,则求对应二次函数的最值时直接应用单调性即可. 1.(2024江苏盐城一中月考)已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.知方法()设函数f(x)=-x2+2x+1(0≤x≤3)的最大值为m,最小值为n,则m+n=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1 B.2 C.1 D.0 3.(2024河南郑州期中)若函数y=ax2+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为3,则实数a的值是(　　) A.1 B.-1 C.1或-1 D.0 类型2　轴定区间动 　　若对称轴是固定的,而区间是变动的,则求对应二次函数的最值时必须先对区间相对于对称轴的位置关系分类讨论,再求解. 4.()函数f(x)=4x2-8x+8在(2m,m+1)上既没有最大值也没有最小值,则m的取值范围是(　　) A.(-∞,0)∪ B.(-∞,0]∪ C.(-∞,0]∪ D.(-∞,0)∪ 5.(2024北京期中)已知函数f(x)=-x2-2x+3在区间[a,2]上的最大值为,则a等于(　　) A. B. C.- D.或- 类型3　轴动区间定 　　若对称轴是变动的,而区间是固定的,则求对应二次函数的最值时需要讨论对称轴与区间的位置关系. 6.()已知f(x)=x2-ax+在区间[0,1]上的最大值为g(a),则g(a)的最小值为(　　) A.0 B. C.1 D.2 7.()(多选)若函数f(x)=x|x-a|在区间[0,2]上的最大值为2,则a的取值可以为(　　) A.1 B.3 C.2 D.4-4 8.()已知函数f(x)=x-2a+3,x∈[0,1],求函数f(x)的最小值. 9.()已知二次函数f(x)=x2+ax+1,x∈[-1,2]. (1)如果函数f(x)在[-1,2]上严格单调递减,求实数a的取值范围; (2)当a=1时,求f(x)的最大值和最小值,并指出此时x的取值; (3)求f(x)的最小值,并表示为关于a的函数H(a). 10.()现有三个条件:①对任意的x∈R,都有f(x+1)-f(x)=2x-2;②不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2};③函数y=f(x)的图象过点(3,2).请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中,并求解. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且满足　　　　(填所选条件的序号).  (1)求函数f(x)的解析式; (2)设g(x)=f(x)-mx,若函数g(x)在区间[1,2]上的最小值为3,求实数m的值. 类型4　轴动区间动 　　若对称轴是变动的,区间也是变动的,则求对应二次函数最值时要先把对称轴转化成固定的,然后对动区间的端点在对称轴的同侧、异侧进行分类讨论. 11.(2024广东云浮期末)已知函数f(x)=2x2-ax+1,x∈[-1,a],且f(x)的最大值为f(a),则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,-4] B.(-∞,-1]∪[2,+∞) C.[2,+∞) D.[-4,+∞) 12.()已知y2=4a(x-a)(a>0),则u=(x-3)2+y2的最小值umin=　　　　　　　　　　.  13.()已知函数f(x)=ax2-2x(a>0),若函数y=f(x)在[t,t+2]上的最小值为,最大值为,求a和t的值. 学科网（北京）股份有限公司 $