3.2.1单调性与最大（小）值 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦单调性与最值，通过基础认知、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的知识进阶，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|定义域、单调性判断、单调区间|单选1-5直接考查图象分析与定义应用，填空12-13强化单调区间求解| |能力提升层|复合/分段函数单调性、含参最值|单选6-8结合参数范围，多选9-11综合函数性质判断，填空14深化存在性问题| |综合应用层|解析式求解、单调性证明、实际应用|解答题15-19含定义法证明（15题）、实际情境最值（17题），培养数学建模与运算能力|

3.2.1单调性与最大（小）值 同步练 2026-2027学年上学期高中数学人教A版必修第一册 一、单选题 1．函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是    A．和 B．和 C．和 D．和 2．关于函数的单调性的说法，正确的是（    ） A．在定义域内是减函数 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减，在上单调递减 D．在上单调递增，在上单调递减 3．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 4．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 6．已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．若函数在区间内的最大值为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 8．若函数的最小值是8，则实数m的值为（   ） A．6或10 B．6或10 C．6或10 D．6或10 二、多选题 9．给定函数，，表示，中的较小者，记为，则（    ） A． B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的单调区间有3个 10．已知函数下列结论正确的是（    ） A．若的最大值为1，则 B．若的解集为，则的取值范围是 C．若在上单调递增，则的取值范围是 D．当时，恒成立 11．已知函数，则下列命正确的是（   ） A．当时，函数最大值为1 B．当时，函数最大值为0 C．若存在最大值，则 D．，在不可能递减 三、填空题 12．函数在上为增函数，则的一个单调递减区间是_________. 13．已知函数（为常数）．若在区间上是严格增函数，则的取值范围是__________． 14．已知函数，若存在最大值，则的取值范围是_____. 四、解答题 15．已知函数满足. (1)求函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性. 16．已知函数 (1)求函数的解析式； (2)若函数在上单调，求的取值范围． 17．某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中，并要求其面积为平方米． (1)求y关于x的函数； (2)判断在其定义域内的单调性，并用定义证明； (3)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？ 18．已知函数. (1)若，求的值； (2)判断在上的单调性并利用定义法证明； (3)求在上的最大值. 19．已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B B C A A ABD BCD 题号 11 答案 BC 1．D 根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断. 定义域是函数自变量的取值范围，为， 函数的单调递增区间有2个，不能用并集，并且单调区间是定义域的子集，即. 故选：D 2．C 由复合函数的单调性的结论即可判断. 函数的定义域为， 函数是由函数和复合而成， 而函数在和上单调递增， 在和上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递减. 故选：C 3．B 令，求得函数的定义域，本题即求在定义域内的单调减区间，利用二次函数的性质可得在定义域 内的单调减区间． 令，求得，故函数的定义域为， 本题即求在内的减区间． 利用二次函数的性质开口向下，对称轴，可得在内的减区间为， 即函数的单调减区间为， 故选:B． 4．B 分，和讨论函数在上的单调性，即可得出答案. 当时，在上单调递增，满足题意， 当时，，满足题意， 当时，，由对勾函数的性质知， 若满足题意则，解得． 综上，. 故选：B． 5．B 将变形为，然后利用基本不等式求解即可. 函数在区间上变形为：， ，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B 6．C 利用换元法求出解析式，根据自变量范围和单调性，求出的最大值. 设，则； 则， 因此， 所以函数在上单调递减，最大值为． 故选：C 7．A 先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. ，当时，，不符合题意； 当，即时，在内单调递减，，符合题意； 当，即时，在内单调递增，， 解得，与矛盾，舍去． 综上所述，． 故选： 8．A 根据绝对值的几何意义求出最小值即可得解. 因为， 所以，解得或， 故选：A 9．ABD 对于A：直接代入求值；对于BCD：根据题意作出的图象，结合图象分析判断； 当时，，故 ，A正确； 作出函数，的图象，可得到的图象如图：（实线部分）    函数的定义域为，B正确； 函数的值域为，故C错误； 函数的单调区间有，故D正确. 故选：ABD. 10．BCD 根据分段函数解析式，结合分式型、二次函数的性质研究的区间单调性、值域，注意讨论参数a. 当时，，在上单调递增，且. 当时，，且开口向下， 当时，在上单调递增且恒成立， 在处连续，所以在上单调递增. 当时，在上单调递增，在上单调递减. 若的最大值为1，则，解得或2（舍去），A错误. 当时，恒成立，D正确. 若的解集为，则的取值范围是，B正确. 若在R上单调递增，则a的取值范围是，C正确. 故选：BCD 11．BC ABC选项，分别求出函数在上，函数在 上的范围，比较后可判断选项正误； D选项，考虑时的单调性可判断选项正误. A选项，时，在上单调递减，则； 在上单调递增，在上单调递减， 则.则时，函数最大值不存在，故A错误； B选项，时，在上单调递减，则； 在上单调递增，在上单调递减， 则.则时，函数最大值为0，故B正确； C选项，因在上单调递减，则； 若，则在上单调递增，则. 因，则，此时无最大值； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 则，要使存在最大值，则，故C正确； D选项，注意到当，时，在上单调递减， 故D错误. 故选：BC 12． 由函数为上的增函数，可知偶函数在单调递减，而是向左平移一个单位后得到的，进而求解. 函数为上的增函数， 偶函数在上单调递增，在单调递减， 而是向左平移一个单位后得到的， 单调递减区间是， 故答案为：. 13． 根据给定的函数，求出其单调递增区间，再利用集合的包含关系求解即可. 依题意，函数，显然函数在上单调递减，在上单调递增， 因为在区间上单调增函数，因此，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 14． 根据分段函数有最大值，结合一次函数、二次函数的性质列不等式求参数范围. 当时，在上值域为，显然不存在最大值； 当时，在上，而在上最大值为，满足题设； 当时，在上值域为， 若时，在上最大值为， 此时，故存在最大值，满足题设； 若时，在上最大值为， 此时只需，则，即， 故，存在最大值，满足题设； 综上，. 故答案为： 15．(1)； (2)在上单调递增，证明见解析. （1）由题意得到关于的方程组，解之即可得到的解析式； （2）先假设且，再利用作差法证得，即，由函数单调性的定义即可判断得在上单调递增. （1）因为满足， 所以，解得， 所以. （2）在上单调递增，证明如下： 不妨设，且， 因为， 又因为，故，，，即， 所以，即， 所以在上单调递增. 16．(1) (2) （1）利用换元法求函数解析式； （2）分析每支函数的单调性，结合函数的单调性得出间断点处函数值的大小关系，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. （1）令，得，则 得即 （2）当时，在上不单调． 当在上单调递增时，得． 当在上单调递减时，得． 综上，的取值范围为． 17．(1) (2) 判断在其定义域单调递减， 任取则， 因为所以， 所以在其定义域单调递减. (3)设计展牌的长为6和宽为2 （1）注意函数的定义域即可； （2）利用定义法证明单调性即可； （3）利用基本不等式求解即可. （1）宽为x米、长为y米的长方形展牌，所以面积为：， ， 其中,, 故即. （2）略 （3）展牌的周长即. 当且仅当，时，等号成立. 此时. 所以设计展牌的长为6和宽为2，才能使展牌的周长最小，最小值为16. 18．(1)； (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且，所以， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． (3). （1）先根据已知条件求出进而求出，再开方即可求解. （2）先求出，再利用定义法证明函数的单调性求出单调区间即可. （3）利用（2）中结论，根据函数的单调性，结合，分、两种情况讨论即可求解. （1）因为，所以，即 因为，所以． （2）略 （3）当时，由（2）知在上单调递减，所以； 当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以若，则， 若，则． 综上，. 19．(1) (2)在上单调递增，证明如下： 任取，，且， 则， ，，且， ，，， ，即， 所以函数在上单调递增. (3) （1）由点代入解析式，列出方程求解即可； （2）由单调性的定义作差即可求证； （3）利用单调性求得最值，即可求解； （1），， ，解得，. （2）略 （3）由（2）知函数在上单调递增， 由对勾函数性质得在上单调递减， 函数在上的最大值为， 由知，，所以的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $