3.2.1 课时1 函数的单调性-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

**基本信息** 本同步练通过A、B、C三层设计，以生活情境引入概念，经单一知识点训练到综合应用，构建“基础巩固-能力提升-综合创新”的知识路径，培养数学眼光、思维与表达能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|函数单调性定义、图象描述、基础判断|以艾宾浩斯遗忘曲线情境引入，结合教材改编题，强化概念理解与基础应用| |B组|单调性判定证明、单调区间求解、简单应用|分知识点专项训练，含易错题与变式题，如分段函数单调性分析，深化单一技能| |C组|单调性与不等式、充要条件、创新定义综合|跨知识点综合题，如抽象函数单调性应用、“平方差增函数”新定义题，培养逻辑推理与创新思维|

3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 课时1　函数的单调性 A组　教材夯基础限时15分钟 　　　　 1.(数学与生活)德国著名心理学家艾宾浩斯以自己为实验对象,做了163次记忆实验,他通过对自己的测试,得到了一些数据. 时间 间隔t 0分钟 20 分钟 60 分钟 8~ 9小时 1天 2天 6天 一个 月 记忆量y 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% 观察这些数据,可以看出:记忆量y是时间间隔t的函数.描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线),如图所示.当自变量(时间间隔t)逐渐增大时,对应的函数值(记忆量y)的变化趋势为　　　　;从左向右看,图象是　　　　的(填写“上升”或“下降”).  2.(填一填,记一记) 单调函数的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,区间I⊆D 如果　　　　x1,x2∈I,当x1<x2时,都有　　　　,那么称函数f(x)在区间I上单调递增  如果　　　　x1,x2∈I,当x1<x2时,都有　　　　,那么称函数f(x)在区间I上单调递减  图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 3.(判对错) (1)所有函数在定义域上都具有单调性.(　　) (2)若f(-1)<f(2),则函数f(x)在[-1,2]上单调递增.(　　) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)上单调递增.(　　) (4)若函数f(x)在区间[1,3]上单调递减,则函数f(x)的单调递减区间是[1,3].(　　) (5)若函数f(x)在区间[1,3]上是减函数,则函数f(x)的单调递减区间是[1,3].(　　) (6)若函数f(x)为R上的减函数,则f(-3)>f(3).(　　) 4.(教材P79练习T4改编)函数y=在(0,+∞)上单调递增,则k的取值范围是(　　) A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.(-∞,1) 5.(北师大版教材好题)判断函数f(x)=的单调性,并给出证明. 6.(教材P86习题3.2T2改编)画出函数y=|x|·(x-2)的图象,并指出函数的单调区间. 7.(教材P79例3改编)已知函数f(x)=x+,试判断f(x)在区间(0,2)上的单调性,并加以证明. B组　单一知识点限时20分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1　单调性的判定与证明 8.(2025北京东城期中)如果函数f(x)在[a,b]上单调递增,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论中正确的是(　　) A.>0 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]=0 C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b) D.f(x1)>f(x2) 9.(2024河南驻马店期末)已知函数f(x)在R上是增函数,则下列说法正确的是(　　) A.y=-f(x)在R上是减函数 B.y=在R上是减函数 C.y=[f(x)]2在R上是增函数 D.y=af(x)(a为实数)在R上是增函数 10.知方法(2024广东河源期末)证明函数f(x)=在区间(2,+∞)上单调递减. 11.(2024山东泰安期末)设函数f(x)=画出函数f(x)的图象,指出函数的定义域、值域并判断函数的单调性. 知识点2　求函数的单调区间 12.()当x>0时, f(x)=x+,则f(x)的单调递减区间是(　　) A.(2,+∞) B.(,+∞) C.(0,) D.(0,2) 13.明易错()函数f(x)=的单调递增区间为(　　) A. B.(-∞,-1] C. D. 14.(2024山东师范大学附属中学月考)函数y=|x2-2x-3|的单调递增区间是　　　　　　,函数y=x2-4|x|+3的单调递减区间是　　　　　　　　.  知识点3　函数单调性的应用 15.()已知函数f(x)=x2+4x+c,则(　　) A.f(1)<c<f(-2) B.c<f(-2)<f(1) C.c>f(1)>f(-2) D.f(1)>c>f(-2) 16.(2025福建莆田期中)函数f(x)=若对任意x1,x2∈R(x1≠x2),都有 <0成立,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,1] B.(1,5) C.[1,5) D.[1,4] 17.()函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,-4]上单调递减,则a的取值范围是(　　) A.[-1,+∞) B.[-3,+∞) C.(-∞,5] D.(-∞,3] 　　　　　　　　　　　　　　　　 变式17-1　()若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间为(-∞,-4],则a的值为　　　　.  变式17-2　()若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间[-4,+∞)上单调递增,则a的取值范围为　　　　.  18.(2024江苏徐州期末)已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x1≠x2且x1,x2∈(1,+∞)时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,设a=f ,b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为(e≈2.718)(　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c 19.知方法(2024江苏盐城期末)已知函数f(x)=若f(x)是R上的增函数,则实数a的取值范围为　　　　.  20.开放题()函数f(x)的定义域为D,给出下列两个条件:①f(1)=0;②任取x1,x2∈D且x1≠x2,都有 >0恒成立.请写出一个同时满足条件①②的函数f(x), f(x)=　　　　.  C组　综合知识点限时25分钟 　　　　　　　　　　　 21.()定义在R上的函数f(x),对任意的x1,x2∈R(x1≠x2),都有>0,且f(3)=2,则不等式f(x-1)≤2的解集为　(　　) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.(-∞,4] D.[4,+∞) 22.(2024上海黄浦期中)“函数y=x2-2ax+1在[1,+∞)上严格单调递增”是“a≤0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 23.(2024河北保定期末)已知f(x)=若存在x∈[1-a,a-5],使f(x+a)≥f(5a-x)成立,则实数a的取值范围是(　　) A.(3,+∞) B. C. D.[5,+∞) 24.(2024辽宁盘锦期末)已知函数f(x)=在(-∞,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.[-3,0) D.[-3,-2] 25.(2025江苏南通期中)已知函数f(x)=对任意x1,x2∈R,x1≠x2,>0,则实数a的取值范围是(　　) A. B.(-∞,0] C.∪ D. 26.(2025安徽蚌埠期中)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),∀x,y∈(0,+∞),满足f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)<0,且f(2)=-3,则不等式f(x-7)-f >-9的解集为(　　) A.(-1,8) B.(7,8) C.(8,+∞) D.(0,7)∪(8,+∞) 27.创新题(2024湖北襄阳一中期中)(多选)若函数f(x)满足∀x1,x2∈(1,+∞),当x1≠x2时,不等式 >1恒成立,则称f(x)在(1,+∞)上为“平方差增函数”,则下列函数f(x)中,在(1,+∞)上是“平方差增函数”的是(　　) A.f(x)=4x-1 B.f(x)=x2+x+ C.f(x)=2x2-2x+1 D.f(x)=x2-2x+1 28.()(多选)已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5,下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是(　　) A.函数f(x)在R上不具有单调性 B.当a=1时, f(x)在(-∞,0)上单调递减 C.若f(x)的单调递减区间是(-∞,-4],则a的值为-1 D.若f(x)在区间(-∞,3)上单调递减,则a的取值范围是 29.(2024广东广雅中学期末改编)已知函数y=x+有如下性质:如果常数t>0,那么该函数在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增,该函数在(0,+∞)上的值域为[2 ,+∞). (1)已知函数f(x)=x+,x∈[1,3],利用上述性质,求函数f(x)的单调区间和值域; (2)已知函数g(x)=,函数h(x)=-x-2a,若对任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得h(x2)=g(x1)成立,求实数a的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 课时1　函数的单调性 1.逐渐减小　下降 2.∀　f(x1)<f(x2)　∀　f(x1)>f(x2) 3.(1)✕　(2)✕　(3)✕　(4)✕　(5)√(提示:[1,3]为f(x)的定义域)　(6)√ 4.D 5.解题思路　画出函数f(x)=的图象(如图). 由图可以看出,函数f(x)=在定义域[0,+∞)上可能是增函数. 任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则x1-x2<0. 所以f(x1)-f(x2)=-=<0, 即f(x1)<f(x2). 由函数单调性的定义可知,函数f(x)=在定义域[0,+∞)上是增函数. 6.解题思路　y=|x|(x-2)=函数的图象如图中实线部分所示. 由函数的图象知函数的单调递增区间为(-∞,0]和[1,+∞),单调递减区间为(0,1). 7.解题思路　函数f(x)=x+在(0,2)上单调递减. 证明如下:∀x1,x2∈(0,2),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=x1+-x2- =(x1-x2)+=. 因为0<x1<x2<2, 所以x1-x2<0,0<x1x2<4,所以x1x2-4<0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)=x+在(0,2)上单调递减. 8.A　对于A项,B项,因为f(x)在[a,b]上单调递增, 所以对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2), 当x1>x2时,f(x1)>f(x2),所以x1-x2>0,f(x1)-f(x2)>0,所以 >0,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0, 当x1<x2时,f(x1)<f(x2),所以x1-x2<0,f(x1)-f(x2)<0,所以 >0,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0. 综上,>0,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,故A项正确,B项错误. 对于C项,D项,由于x1,x2的大小关系不确定,所以f(x1)与f(x2)的大小关系不确定,故C项错误,D项错误. 故选A. 9.A　设任意的x1,x2∈R,且x1<x2,因为函数f(x)在R上是增函数,所以必有f(x1)<f(x2),所以-f(x1)>-f(x2),A中说法正确;当f(x)=x时,B,C中的说法不正确;当a≤0时,D中的说法不正确.故选A. 10.解题思路　证明:∀x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2, f(x1)-f(x2)=-==. 因为2<x1<x2,所以x2-x1>0,>4,>4, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)=在(2,+∞)上单调递减. 方法总结　利用定义证明函数f(x)在某区间内的单调性的步骤 (1)取值并规定大小:在该区间内任取x1,x2,且x1<x2; (2)作差变形:将f(x1)-f(x2)或f(x2)-f(x1)通过因式分解、通分、配方、有理化等方法,转化为易判断正负的关系式; (3)定号:确定f(x1)-f(x2)或f(x2)-f(x1)的符号,当符号不确定时,进行分类讨论; (4)下结论:根据定义确定单调性. 11.解题思路　函数f(x)的图象如图所示, 由图可知,函数f(x)的定义域为[-4,+∞),值域为(-∞,3],在[-2,0]上单调递增,在[-4,-2)和(0,+∞)上单调递减. 12.C　根据对勾函数的单调性,知f(x)在(0,)上单调递减.故选C. 知识总结　对勾函数y=x+(a>0且a为常数)在中学阶段是比较重要的函数,它在(-∞,-]和[,+∞)上单调递增,在(-,0)和(0,)上单调递减,函数图象如图所示.函数y=ax+(a>0,b>0)可变形为y=a,该函数的单调区间可用上述结论求解. 13.C　由题意可得2x2-x-3≥0,即(2x-3)(x+1)≥0,解得x≤-1或x≥, 令t=2x2-x-3, 因为t=2x2-x-3图象的对称轴为直线x=, 所以t=2x2-x-3在(-∞,-1]上单调递减,在上单调递增, 因为y=在定义域内单调递增, 所以f(x)=在(-∞,-1]上单调递减,在上单调递增. 故选C. 易错警示　(1)函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是定义域的子集,故单调区间要在定义域内求解. (2)当函数出现两个或两个以上单调区间时,单调区间之间用“和”或“,”连接,而不能用“∪”连接. (3)在单调区间D上函数要么单调递增,要么单调递减. 14.答案　[-1,1]和[3,+∞);(-∞,-2]和[0,2] 解题思路　y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|,作出该函数的图象,如图1. 由图1可知,函数y=|x2-2x-3|的单调递增区间为[-1,1]和[3,+∞). 　　　 y=x2-4|x|+3=的图象如图2. 由图2可知函数y=x2-4|x|+3的单调递减区间是(-∞,-2]和[0,2]. 15.D　因为二次函数f(x)=x2+4x+c图象的对称轴为直线x=-2,且函数f(x)的图象开口向上,所以函数f(x)在[-2,+∞)上单调递增,所以f(-2)<f(0)<f(1),又f(0)=c,所以f(1)>c>f(-2). 16.D　因为对任意x1,x2∈R(x1≠x2),都有<0成立,所以f(x)在R上是减函数, 则解得1≤a≤4.故实数a的取值范围为[1,4]. 故选D. 17.C　易知f(x)=x2+2(a-1)x+2图象的对称轴为直线x=1-a,图象开口向上. 又∵f(x)在区间(-∞,-4]上单调递减, ∴1-a≥-4,解得a≤5.故a的取值范围是(-∞,5]. 故选C. 变式17-1　5　易知f(x)=x2+2(a-1)x+2图象的对称轴为直线x=1-a. 又∵f(x)的单调递减区间为(-∞,-4], ∴1-a=-4,∴a=5. 变式17-2　[5,+∞)　易知f(x)=x2+2(a-1)x+2图象的对称轴为直线x=1-a,图象开口向上. 又∵f(x)在[-4,+∞)上单调递增,∴1-a≤-4, ∴a≥5,即a的取值范围为[5,+∞). 18.D　∵当x1≠x2且x1,x2∈(1,+∞)时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立, ∴f(x)在(1,+∞)上单调递减, 又函数f(x)的图象关于直线x=1对称, ∴f(x)在(-∞,1)上单调递增,∴a=f =f , ∵2<<e,∴f(2)>f >f(e),即b>a>c. 故选D. 知识归纳　函数单调性的等价定义 函数的定义域为I,D⊆I,∀x1,x2∈D,且x1≠x2 单调 递增 >0 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 单调 递减 <0 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 19.答案　[4,8) 解题思路　因为f(x)是R上的增函数, 所以解得4≤a<8. 故实数a的取值范围为[4,8). 方法总结　利用分段函数的单调性求参数的取值范围 (1)根据每一段解析式的类型,分别求出符合单调性的参数的范围; (2)对分界点处的函数值进行比较,如果函数单调递增,那么在分界点处及分界点左侧的函数值小于或等于分界点右侧的函数值;如果函数单调递减,那么在分界点左侧的函数值大于或等于分界点处及分界点右侧的函数值,列出不等式(组)求参数的范围. 20.答案　x-1(答案不唯一) 解题思路　因为函数f(x)的定义域为D,任取x1,x2∈D且x1≠x2,都有 >0恒成立, 所以f(x)在定义域内为增函数,又f(1)=0, 所以f(x)=x-1满足条件①②.本题答案不唯一. 21.C　因为对任意的x1,x2∈R(x1≠x2),都有 >0,所以f(x)在R上单调递增, 又因为f(3)=2,所以f(x)≤2的解集为(-∞,3], 所以f(x-1)≤2的解集为(-∞,4].故选C. 22.B　函数y=x2-2ax+1图象的对称轴是直线x=a, 若函数y=x2-2ax+1在[1,+∞)上严格单调递增,则a≤1, 所以“函数y=x2-2ax+1在[1,+∞)上严格单调递增”是“a≤0”的必要不充分条件. 故选B. 23.A　当x≤0时,f(x)=x2-x+3=+,所以函数f(x)在(-∞,0]上单调递减.当x>0时,f(x)=-x2-x+3=-+,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,易知此时f(x)<3,又因为f(0)=3,所以f(x)在R上单调递减,由f(x+a)≥f(5a-x),得x+a≤5a-x,解得x≤2a,所以若存在x∈[1-a,a-5],则所以a>3.故实数a的取值范围是(3,+∞).故选A. 24.D　由于函数f(x)=在(-∞,+∞)上是增函数,故函数h(x)=-x2-ax-5在区间(-∞,1]上单调递增,g(x)=在区间(1,+∞)上单调递增,且g(1)≥h(1),即 解得-3≤a≤-2.故实数a的取值范围是[-3,-2]. 25.A　因为对任意x1,x2∈R,x1≠x2,>0, 所以函数f(x)在R上单调递增, 又f(x)= 所以解得a≤-. 故实数a的取值范围是. 故选A. 26.B　令x1=xy,x2=y,且x>1,则x1,x2>0,x1>x2, 则f(x1)-f(x2)=f(xy)-f(y)=f(x)<0, 所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上单调递减, 因为f(2)=-3,所以f(4)=2f(2)=-6,f(8)=f(4)+f(2)=-9, 则不等式f(x-7)-f >-9=f(8)可化为f(x-7)>f(8)+f =f , 所以解得7<x<8. 因此,不等式f(x-7)-f >-9的解集为(7,8). 故选B. 27.BC　若函数f(x)满足∀x1,x2∈(1,+∞),当x1≠x2时,不等式 >1恒成立, 则 -1=>0, 令g(x)=f(x)-x2,则>0, 所以g(x)在(1,+∞)上单调递增. 对于A,f(x)=4x-1,则g(x)=f(x)-x2=-x2+4x-1,其图象的对称轴是直线x=2,开口向下,故g(x)在(1,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,故A错误.对于B,f(x)=x2+x+,则g(x)=f(x)-x2=x+,故g(x)在(1,+∞)上单调递增,故B正确.对于 C,f(x)=2x2-2x+1,故g(x)=f(x)-x2=x2-2x+1,其图象的对称轴是直线x=1,开口向上,故g(x)在(1,+∞)上单调递增,故C正确.对于D,f(x)=x2-2x+1,则g(x)=f(x)-x2=-2x+1,故g(x)在(1,+∞)上单调递减,故D错误.故选BC. 28.BD　对于A,当a=0时, f(x)=-12x+5在R上单调递减,故A错误; 对于B,当a=1时, f(x)=2x2-8x+5,其图象的开口向上,对称轴为直线x=2,则f(x)的单调递减区间为(-∞,2),故f(x)在(-∞,0)上单调递减,故B正确; 对于C,若f(x)的单调递减区间是(-∞,-4],则-=-4,且a>0,无解,故C错误; 对于D,当a=0时,满足f(x)在区间(-∞,3)上单调递减, 当a≠0时,若f(x)在区间(-∞,3)上单调递减,则a>0且-≥3,解得0<a≤,所以若f(x)在区间(-∞,3)上单调递减,则a的取值范围是,故D正确. 故选BD. 29.解题思路　(1)易知函数f(x)在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增. f(1)=1+4=5,f(2)=2+2=4,f(3)=3+=,易知f(1)>f(3), 所以函数f(x)的单调递减区间是[1,2],单调递增区间是[2,3],值域为[4,5]. (2)g(x)==2x+1+-8, 设u=2x+1, 因为x∈[0,1],所以1≤u≤3, 结合复合函数单调性可知当1≤u≤2,即0≤x≤时,g(x)单调递减, 当2<u≤3,即<x≤1时,g(x)单调递增, 由g(0)=-3,g=-4,g(1)=-,得g(x)在[0,1]上的值域为[-4,-3]. 易知h(x)=-x-2a为减函数,故当x∈[0,1]时,h(x)∈[-1-2a,-2a]. 根据题意可得,当x∈[0,1]时,g(x)的值域为h(x)值域的子集, 从而有解得a=. 学科网（北京）股份有限公司 $