3.2.1 课时2 函数的最大(小)值-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

**基本信息** 通过A、B、C三组分层设计，从基础概念到综合应用梯度递进，适配新授课教学，强化函数最值知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|函数最值定义、基本判断、简单应用|结合“弯弓射雕”生活情境，以填空、判断夯实基础，限时15分钟适配课后即时巩固| |B组|图象法、单调性法求最值，二次函数及恒成立问题|聚焦单一知识点深化，如教材改编题（P80例4），选择填空结合，限时25分钟强化专项能力| |C组|分段函数、不等式与函数综合、实际应用|跨知识点综合，如新定义函数（[x]）、存在性问题，限时25分钟提升数学思维与表达能力|

3.2.1　单调性与最大(小)值 课时2　函数的最大(小)值 A组　教材夯基础限时15分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(数学与生活)“弯弓射雕”几乎成了游牧民族的象征,当以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时,t秒时弓箭距离地面的高度为x米,x与t的关系为x=at-5t2,若射箭3秒时弓箭距离地面的高度为135米,则a的值为　　　　,弓箭可能到达的最大高度为　　　　.  2.(填一填,记一记) (1)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ∀x∈I,都有f(x)　　　　M;∃x0∈I,使得　　　　　.那么我们称M是函数y=f(x)的最大值.  (2)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ∀x∈I,都有f(x)　　　　M;∃x0∈I,使得　　　　.那么我们称M是函数y=f(x)的最小值.  (3)若y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则ymax=　　　　,ymin=　　　　;  若y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则ymax=　　　　,ymin=　　　　.  3.(判对错) (1)任何函数都有最大值或最小值.(　　) (2)函数f(x)在区间[a,b]上的最值一定是f(a)(或f(b)).(　　) (3)如果一个函数有最大值,那么最大值是唯一的.(　　) (4)如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,那么函数的最大值为f(b).(　　) (5)对于函数y=f(x),如果它的函数值都不小于3,那么该函数的最小值是3.(　　) (6)若f(a)是函数f(x)的最大值,则点(a,f(a))是f(x)图象上的最高点.(　　) 4.(教材P80例4改编)某型号汽车使用单位体积燃料行驶的路程f(x)(单位:km)是行驶速度x(单位:km/h)的函数.由实验可知,这一函数关系是f(x)=-0.01x2+1.2x-5.8.当速度x为多少时,汽车最省燃料? 5.(教材P81例5改编)求y=x2-2x,x∈[0,3]的最大值. 6.(教材P81练习T3改编)求函数y=在[0,2]上的最大值和最小值. 7.(教材P81练习T2改编)函数y=f(x)的定义域为[-4,6],若函数f(x)在区间[-4,-2]上单调递减,在区间[-2,6]上单调递增,且f(-4)<f(6),求函数f(x)的最小值和最大值. B组　单一知识点限时25分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1　利用图象求函数最值 8.()函数f(x)=2x-|3x+1|在[-2,1]上的最大值和最小值分别为(　　) A.,-2 B.-,-9 C.-2,-9 D.2,-2 9.(2025上海月考)函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如下图所示,则此函数在该区间上的最小值、最大值分别是　　　　.  10.(2024湖南永州质检)函数f(x)=的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  11.()已知函数f(x)=x-8,g(x)=3x-x2,x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为m(x)=min{f(x),g(x)},则函数m(x)的最大值为　　　　.  知识点2　利用单调性求函数的最值 12.()函数f(x)=-的最大值为　　　　.  知识点3　函数的最值的应用 角度1　二次函数的最值问题 13.()(多选)若函数f(x)=x2-4x-3的定义域为[0,a],值域为[-7,-3],则a的值可能为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 14.(2025河南阶段练习)设函数f(x)=,则函数f(x-1)-[f(x)]2的最大值为(　　) A. B.- C.- D.-1 15.()已知二次函数f(x)=ax2+x+1,且f(x)-f(x-1)=4x-1. (1)求f(x)的解析式; (2)若g(x)=f(x)-mx在[1,2]上的最大值为-1,求m的值以及g(x)的最小值. 角度2　恒成立问题 16.知方法()若∀x∈,都有不等式-x+a+1≥0成立,则a的最小值为(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.0 B.-2 C.- D.- 17.()已知函数f(x)=2-x,对于任意的x∈[-2,2],f(x)≤m恒成立,则实数m的最小值是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 角度3　函数最值的实际应用 18.()“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当AQI大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动.某地某天0~24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y=描述,则该天适宜开展户外活动的时长为(　　) A.5小时 B.6小时 C.7小时 D.8小时 19.(2024新疆期中)某校要建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元,那么水池的最低总造价为　　　　元.  C组　综合知识点限时25分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 20.(2024广东江门期末)设函数f(x)=在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为a和b,则a2+b2=(　　) A.50 B.52 C.36 D.80 21.()函数f(x)=在上的最大值是　(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.2 D.4 22.(2024安徽阜阳期中)已知函数f(x)=若f(x)的值域为,则实数c的取值范围是(　　) A.[-1,0] B. C. D. 23.(2024江苏常州十校联考)已知函数f(x)=的最小值为f(1),则a的取值范围是(　　) A.[1,3] B.[3,+∞) C.(0,3] D.(-∞,1]∪[3,+∞) 24.()若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为(　　) A. B. C.(1,+∞) D. 25.(2025四川遂宁期末)已知函数f(x)=(x-a)|x-2|,其中a∈R.如果对任意m∈[0,1],不等式f(m)≤4成立,则实数a的取值范围是　(　　) A.(-2,0] B.[-2,6] C.[-3,+∞) D.[-2,+∞) 26.()(多选)符号[x]表示不超过x的最大整数,如[-3.5]=-4,[2.1]=2,定义函数f(x)=x-[x],则下列结论正确的是(　　) A.f<f B.函数f(x)是增函数 C.方程f(x)-=0有无数个实数根 D.f(x)的最大值为1,最小值为0 27.()已知函数f(x)=x2-4x+3,g(x)=mx+3-2m(m>0),若对任意x1∈[0,4],总存在x2∈[0,4],使f(x1)=g(x2)成立,则实数m的取值范围为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 课时2　函数的最大(小)值 1.60　180米 2.(1)≤　f(x0)=M　(2)≥　f(x0)=M　(3)f(b)　f(a)　f(a)　f(b) 3.(1)✕　(2)✕　(3)√　(4)√　(5)✕　(6)√ 4.解题思路　由f(x)=-0.01x2+1.2x-5.8,得当x==60时,f(x)取得最大值, 即当速度为60 km/h时,汽车使用单位体积燃料行驶的路程最远,汽车最省燃料. 5.解题思路　因为y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3], 所以当x=3时,y取最大值,为3. 6.解题思路　因为y===1-在区间[0,2]上单调递增, 所以当x=0时,该函数取最小值,ymin=-,当x=2时,该函数取最大值,ymax=. 7.解题思路　因为f(x)在[-4,-2]上单调递减,在[-2,6]上单调递增,所以f(x)的最小值是f(-2),当x∈[-4,-2]时,f(x)的最大值是f(-4),当x∈[-2,6]时,f(x)的最大值是f(6),又f(-4)<f(6),所以f(x)的最大值是f(6). 8.B　f(x)=2x-|3x+1|= 作出函数f(x)的图象,如图所示. 由函数图象可知,当x=-时,f(x)取最大值,为-, 当x=-2时,f(x)取最小值,为-9. 故选B. 9.答案　-2,f(5) 解题思路　由题图可知,当x=5时,f(x)取最大值,当x=-2时,f(x)取最小值,为-2, 故答案为-2,f(5). 10.答案　1;0 解题思路　易知当x>1,y=>0.作出函数f(x)的图象(如图).由图可知,当x=±1时,f(x)取最大值,为1;当x=0时,f(x)取最小值,为0,故f(x)的最大值为1,最小值为0. 11.答案　-4 解题思路　作出函数y=f(x),y=g(x)的图象,如图,由图可知函数f(x)=x-8与g(x)=3x-x2图象的交点坐标为(4,-4),(-2,-10), 所以m(x)=min{f(x),g(x)}= 所以m(x)max=m(4)=-4. 12.答案　1 解题思路　易知函数f(x)的定义域为{x|3≤x≤4}, y=和y=-在[3,4]上都单调递减, ∴f(x)在定义域上单调递减, ∴f(x)max=f(3)=1. 13.ABC　f(x)=x2-4x-3=(x-2)2-7,故f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 且f(0)=f(4)=4-7=-3,f(2)=-7, 又值域为[-7,-3],所以a∈[2,4],结合选项知A、B、C正确,D错误. 故选ABC. 14.C　f(x-1)-[f(x)]2=-x,令=t(t≥0),则x=1+t2, 所以y=-t2+t-1=--, 当t=时,函数取得最大值,为-, 故选C. 15.解题思路　(1)由f(x)-f(x-1)=4x-1,得ax2+x+1-a(x-1)2-(x-1)-1=4x-1, 所以2ax-a+1=4x-1,所以a=2, 故f(x)=2x2+x+1. (2)g(x)=2x2+x+1-mx=2x2+(1-m)x+1, ①当≤,即m≤7时,g(x)max=g(2)=11-2m=-1,解得m=6, 此时g(x)图象的对称轴为直线x==,g(x)min=g=-; ②当>,即m>7时,g(x)max=g(1)=4-m=-1,解得m=5,不合题意,应舍去. 综上所述,m=6,g(x)的最小值为-. 16.D　设f(x)=-x+a+1,由不等式-x+a+1≥0对任意x∈都成立,可得f(x)min≥0.易知f(x)在上单调递减,所以当x∈时, f(x)min=a+,所以a+≥0,即a≥-,所以amin=-.故选D. 方法总结　恒成立问题的求解方法 在解决不等式恒成立问题时,最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理,在分离参数后常使用以下结论: a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max, a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min. 17.D　令=t,则x=t2-2,当x∈[-2,2]时,t∈[0,2], 故2-x=2t-t2+2,易知y=-t2+2t+2(t∈[0,2])的值域为[2,3], 又对于任意的x∈[-2,2],f(x)≤m恒成立, 所以m≥3,故实数m的最小值是3.故选D. 18.C　由题意得或 解得9≤t≤12或12<t≤16, 故该天适宜开展户外活动的时长为3+4=7(小时).故选C. 19.答案　3 520 解题思路　设水池的总造价为y元,池底长为x米,则宽为米, 则y=240×4+×160=960+160, 由于4x+≥2=16,当且仅当x=2时,等号成立, 所以y≥960+2 560=3 520,即水池的最低总造价为3 520元. 20.B　易知f(x)==2+, 所以函数f(x)在[3,4]上单调递减, 所以a=f(3)=2+=6,b=f(4)=2+=4, 所以a2+b2=36+16=52. 21.C　当1≤x≤4时,f(x)==-=-+, 由1≤x≤4,得≤≤1,所以当=时,f(x)取得最大值,为; 当≤x<1时,f(x)==-=-, 由≤x<1,得1<≤2, 所以当=2时,f(x)取得最大值,为f =-=2. 综上, f(x)在上的最大值为2, 故选C. 22.C　由x2-x=2,得x2-x-2=0,解得x=2或x=-1, 由x2-x=-,解得x=,由-=2,得x=-, 作出y=-(x≤2),y=x2-x(x≤2)的图象如图所示, 由图可得-1≤c≤-,即实数c的取值范围是. 故选C. 23.A　当x>1时,f(x)=x+-3a≥2-3a=6-3a,当且仅当x=3时,取等号,故此时f(x)的最小值为f(3).当x≤1时,f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2, 当a≥1时,f(x)在(-∞,1]上单调递减,此时最小值为f(1)=3-2a.要使f(x)的最小值为f(1),则f(1)≤f(3)⇒3-2a≤6-3a,故1≤a≤3. 当a<1时,f(x)在(-∞,a]上单调递减,在[a,1]上单调递增,此时最小值为f(a),不满足f(x)的最小值为f(1).综上,a的取值范围是[1,3].故选A. 24.A　∵关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解, ∴ax>2-x2在x∈[1,5]上有解, 即a>-x在x∈[1,5]上有解, 设函数f(x)=-x,x∈[1,5], 则a>f(x)min,x∈[1,5]. 易知f(x)在[1,5]上单调递减, ∴f(x)min=f(5)=-5=-, ∴a>-,即实数a的取值范围为. 故选A. 25.D　对任意m∈[0,1],不等式f(m)≤4即(m-a)|m-2|≤4成立, 即m2-(a+2)m+2a+4≥0对任意m∈[0,1]成立, 分离参数得a≥对任意m∈[0,1]成立, 令y=,则y=m-2++2=-+2,1≤2-m≤2, ∴-+2≤-2+2=-2,当且仅当2-m=,即m=0时,等号成立, ∴a≥-2, ∴实数a的取值范围是[-2,+∞). 故选D. 26.AC　作出函数f(x)的部分图象,如图所示, 对于A, f=--=--(-1)=, f=-=-0=, 所以f<f,故A正确. 对于B,由图可知在每一个区间[k,k+1)(k∈Z)上,函数f(x)都单调递增,但是f(x)在定义域上不是增函数,故B错误. 对于C,方程f(x)-=0的解为x=k+(k∈Z),故C正确. 对于D,由图可知函数f(x)无最大值,最小值为0,故D错误.故选AC. 27.答案　[2,+∞) 解题思路　易知函数f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 根据二次函数的性质,可得当x∈[0,4]时, f(x)∈[-1,3],记A=[-1,3]. 对于g(x)=mx+3-2m,当m>0时,g(x)=mx+3-2m在[0,4]上单调递增, 所以g(x)∈[3-2m,3+2m],记B=[3-2m,3+2m]. 因为对任意x1∈[0,4],总存在x2∈[0,4],使f(x1)=g(x2)成立,所以A⊆B,则解得m≥2. 所以实数m的取值范围为[2,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $