3.2.1函数的最大(小)值 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习通过“基础全面练”与“综合应用练”分层设计，覆盖函数最值核心知识点，从单一函数到综合应用，梯度合理，助力数学思维与应用意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|一次函数、二次函数、分式函数最值，图象分析|以选择、填空为主，如一次函数单调性求最值（题1）、二次函数区间最值（题3），夯实运算能力与几何直观| |综合应用练|分段函数、含参数函数、实际问题最值|含多选与解答题，如参数函数单调区间讨论（题15）、工厂利润优化（题14），提升推理能力与模型观念|

　函数的最大(小)值 (时间:45分钟　分值:90分) 【基础全面练】 1.(5分)函数f(x)=2x-1(x≤0)的最大值为(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(5分)已知函数f(x)=,则f(x)在区间[2,6]上的最大值为 (　　) A. B.3 C.4 D.5 3.(5分)函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为 (　　) A.42,12 B.42,- C.12,- D.无最大值,最小值为- 4.(5分)“弯弓射雕”几乎成了游牧民族的象征,当以每秒a米的初始速度从地面垂直向上射箭时,t秒时弓箭距离地面的高度为x米,x与t的关系为x=at-5t2,若射箭3秒时弓箭距离地面的高度为135米,则弓箭能达到的最大高度为 (　　) A.135米 B.160米 C.175米 D.180米 5.(5分)二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a= (　　) A.-1 B.1 C.-2 D.- 6.(5分)(多选)如图是函数y=f(x),x∈[-4,3]的图象,则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)在[-4,-1]上单调递减,在[-1,1]上单调递增 B.f(x)在区间(-1,3)上的最大值为3,无最小值 C.f(x)在[-4,1]上有最小值-2,有最大值3 D.当直线y=t与y=f(x)的图象有三个交点时-1<t<2 7.(5分)(2026·苏州高一检测)已知f(x)=x2-2x,g(x)=x+4,令M(x)=max{f(x),g(x)},则M(x)的最小值是　　.  8.(5分)某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为　　万元.  9.(5分)(2026·济宁高一检测)已知函数f(x)=,则f(x)的最小值为　　.  10.(10分)已知函数f(x)=,求函数在区间[2,4]上的最大值和最小值. 【综合应用练】 11.(5分)(2025·上海高一检测)已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,F(x)=,则 (　　) A.F(x)的最大值为3,最小值为1 B.F(x)的最大值为2-,无最小值 C.F(x)的最大值为7-2,无最小值 D.F(x)的最大值为3,最小值为-1 12.(5分)(多选)若函数f(x)=x2-4x+1在定义域A上的值域为[-3,1],则区间A可能为 (　　) A.[0,4] B.[2,4] C.[1,4] D.[-3,5] 13.(5分)函数f(x)=的最大值是　　.  14.(10分)(2025·长沙高一检测)某工厂更新技术开发研制了一款新产品,通过调研知,往年每年生产x千件产品,获利C(x)千元,且C(x)= ,更新技术后需要另外投入费用(x+2)千元,且每千件产品比之前多盈利2千元,生产的产品供不应求,均能售完. (1)求更新技术后的利润L(x)(千元)关于年产量x(千件)的函数解析式; (2)更新技术后,当年产量为多少千件时,该工厂所获利润最大?并求出最大利润. 15.(10分)(2026·菏泽高一检测)已知函数f(x)=x+(x>0). (1)当实数a=2时,写出f(x)的单调区间,并用定义证明f(x)在(0,2]上的单调性; (2)对任意实数a,写出f(x)的单调区间(无需证明); (3)当实数a>1时,求函数f(x)在[1,2a]上的最大值和最小值. 答案解析 【基础全面练】 1.(5分)函数f(x)=2x-1(x≤0)的最大值为(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【解析】选B.因为f(x)在(-∞,0]上单调递增,所以f(x) ≤f(0)=-1. 2.(5分)已知函数f(x)=,则f(x)在区间[2,6]上的最大值为 (　　) A. B.3 C.4 D.5 【解析】选C.f(x)==2+,f(x)在[2,6]上单调递减,故f(x)max=f(2)=2+=4. 3.(5分)函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为 (　　) A.42,12 B.42,- C.12,- D.无最大值,最小值为- 【解析】选D.因为f(x)=(x+)2-,x∈(-5,5),所以当x=-时,f(x)有最小值-,f(x)无最大值. 4.(5分)“弯弓射雕”几乎成了游牧民族的象征,当以每秒a米的初始速度从地面垂直向上射箭时,t秒时弓箭距离地面的高度为x米,x与t的关系为x=at-5t2,若射箭3秒时弓箭距离地面的高度为135米,则弓箭能达到的最大高度为 (　　) A.135米 B.160米 C.175米 D.180米 【解析】选D.由题意,当t=3时,x=135,代入x=at-5t2,可得135=3a-5×9,解得a=60,则x=60t-5t2=-5(t-6)2+180,故当t=6时,x取得最大值,最大值为180. 5.(5分)二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a= (　　) A.-1 B.1 C.-2 D.- 【解析】选A. 因为二次函数有最大值,所以a<0.又二次函数y=ax2+4x+a的最大值为,所以=3⇒a2-3a-4=0⇒a=4或a=-1. 因为a<0,所以a=-1. 6.(5分)(多选)如图是函数y=f(x),x∈[-4,3]的图象,则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)在[-4,-1]上单调递减,在[-1,1]上单调递增 B.f(x)在区间(-1,3)上的最大值为3,无最小值 C.f(x)在[-4,1]上有最小值-2,有最大值3 D.当直线y=t与y=f(x)的图象有三个交点时-1<t<2 【解析】选ABC.A选项,由题图得,f(x)在[-4,-1]上单调递减,在[-1,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减,故A正确; B选项,由题图得,f(x)在区间(-1,3)上的最大值为f(1)=3,无最小值,故B正确; C选项,由题图得,f(x)在[-4,1]上有最小值f(-1)=-2,有最大值f(1)=3,故C正确; D选项,由题图得,为使直线y=t与y=f(x)的图象有三个交点,只需-1≤t≤2,故D错误. 7.(5分)(2026·苏州高一检测)已知f(x)=x2-2x,g(x)=x+4,令M(x)=max{f(x),g(x)},则M(x)的最小值是　3　.  【解析】作出f(x)=x2-2x,g(x)=x+4的图象如图所示: 令x2-2x=x+4,解得x=-1或4,则点A(-1,3),B(4,8) M(x)=max{f(x),g(x)}=, 由图知M(x)的最小值为3. 8.(5分)某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为　120　万元.  【解析】设公司在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆, 公司获利为L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-(x-)2+30+, 所以当x=9或x=10时,L最大为120万元. 9.(5分)(2026·济宁高一检测)已知函数f(x)=,则f(x)的最小值为　　.  【解析】函数f(x)=的定义域为R,f(x)=-, 令t=≥3,函数g(t)=t-在[3,+∞)上单调递增, 则g(t)min=g(3)=3-,所以f(x)的最小值为. 10.(10分)已知函数f(x)=,求函数在区间[2,4]上的最大值和最小值. 【解析】任取2≤x1<x2≤4,则f(x1)-f(x2)=-, 因为2≤x1<x2≤4,所以x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在[2,4]上单调递增, 所以f(x)的最小值为f(2)=,最大值为f(4)=. 【综合应用练】 11.(5分)(2025·上海高一检测)已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,F(x)=,则 (　　) A.F(x)的最大值为3,最小值为1 B.F(x)的最大值为2-,无最小值 C.F(x)的最大值为7-2,无最小值 D.F(x)的最大值为3,最小值为-1 【解析】选C.当x≤0时,f(x)=3+2x,令3+2x=x2-2x,解得x=2-; 当x>0时,f(x)=3-2x,令3-2x=x2-2x,解得x=,作出F(x)的图象,如图所示: 由此可知:F(x)无最小值,F(x)max=F(2-)=3+2(2-)=7-2. 12.(5分)(多选)若函数f(x)=x2-4x+1在定义域A上的值域为[-3,1],则区间A可能为 (　　) A.[0,4] B.[2,4] C.[1,4] D.[-3,5] 【解析】选ABC.因为函数f(x)=x2-4x+1的图象是开口向上的抛物线,以直线x=2为对称轴, 所以函数f(x)在区间(-∞,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增. 当x∈[0,4]时,函数的最小值为f(2)=-3,最大值为f(0)=f(4)=1,得函数的值域为[-3,1]; 当x∈[2,4]时,函数的最小值为f(2)=-3,最大值为f(4)=1,得函数的值域为[-3,1]; 当x∈[1,4]时,函数的最小值为f(2)=-3,因为f(1)=-2<f(4)=1, 所以最大值为f(4)=1,得函数的值域为[-3,1];当x∈[-3,5]时,最小值为f(2)=-3, 因为f(-3)=22>f(5)=6,所以最大值为f(-3)=22,得函数的值域为[-3,22]. 根据以上的讨论可得A,B,C符合题意. 13.(5分)函数f(x)=的最大值是　　.  【解析】因为1-x(1-x)=x2-x+1=(x-)2+≥,所以≤. 故f(x)的最大值为. 14.(10分)(2025·长沙高一检测)某工厂更新技术开发研制了一款新产品,通过调研知,往年每年生产x千件产品,获利C(x)千元,且C(x)= ,更新技术后需要另外投入费用(x+2)千元,且每千件产品比之前多盈利2千元,生产的产品供不应求,均能售完. (1)求更新技术后的利润L(x)(千元)关于年产量x(千件)的函数解析式; 【解析】(1)由已知,L(x)=C(x)-(x+2)+2x, 又C(x)=,所以L(x)=. (2)更新技术后,当年产量为多少千件时,该工厂所获利润最大?并求出最大利润. 【解析】(2)当0<x≤2时,L(x)=20x2-20x+330=20(x-)2+325,则当x=2时,L(x)max=370; 当2<x≤5时,L(x)=490--20x=490-[+20(x-1)+20]≤470-2=390, 当且仅当=20(x-1),即x=3时,L(x)max=390. 因为370<390,所以L(x)的最大值为390, 故当产量为3千件时,该工厂利润最大,最大利润是390千元. 15.(10分)(2026·菏泽高一检测)已知函数f(x)=x+(x>0). (1)当实数a=2时,写出f(x)的单调区间,并用定义证明f(x)在(0,2]上的单调性; 【解析】(1)当a=2时,f(x)=x+(x>0), 则f(x)=x+(x>0)单调递减区间是(0,2],单调递增区间是[2,+∞), 证明如下:设0<x1<x2≤2,则f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-), 因为0<x1<x2≤2,所以0<x1x2<4,>1,1-<0, 又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在(0,2]上单调递减. (2)对任意实数a,写出f(x)的单调区间(无需证明); 【解析】(2)当a>0时,f(x)的单调递减区间是(0,a],单调递增区间是[a,+∞); 当a=0时,f(x)的单调递增区间是(0,+∞); 当a<0时,f(x)的单调递减区间是(0,-a],单调递增区间是[-a,+∞). (3)当实数a>1时,求函数f(x)在[1,2a]上的最大值和最小值. 【解析】(3)f(x)在[1,a]上单调递减,在[a,2a]上单调递增,所以f(x)的最小值为f(a)=2a. 因为f(1)=1+a2,f(2a)=,当f(1)≥f(2a),即a≥2时,f(x)的最大值为f(1)=1+a2, 当f(1)<f(2a),即1<a<2时,f(x)的最大值为f(2a)=. 学科网（北京）股份有限公司 $