第二章 微专题1 基本不等式在求最值、证明问题中的方法技巧-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

**基本信息** 聚焦基本不等式求最值与证明，通过8个技巧模块构建从基础方法到综合应用的分层训练，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础方法层|单一技巧（拼凑、“1”代换等）|“知方法”题夯实运算基础，如选择填空直接应用公式| |综合应用层|多技巧综合（消元、双换元等）|“一题多解”题提升思维灵活性，如结合分离与构造法| |证明提升层|不等式证明|解答题强化逻辑推理，如条件不等式证明培养模型意识|

微专题1　基本不等式在求最值、 证明问题中的方法技巧 1.A　审题指导　将式中的x变为(x-2)+2,拼凑出式子中的分母,进而求解最值. 解题思路　x+=x-2++2≥2+2=6,(加减变形,拼凑成积为常数的形式) 当且仅当x=4时等号成立, 故x+的最小值为6. 故选A. 方法总结　利用“拼凑法”求最值时,主要是通过对式子变形,配系数等手段,配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式,再用基本不等式求最值. 应用时需要注意: (1)拼凑的技巧:对式子的系数或常数等进行调整,要做到等价变形; (2)代数式的变形:以配凑出“和”或“积”的定值为目标; (3)拆项、添项应注意检验基本不等式的使用条件. 2.D　审题指导　将x(3-2x)变为,拼凑出“和”为常数的形式,再求最值. 解题思路　y=x(3-2x)=×2x×(3-2x)≤×=, 当且仅当2x=3-2x,即x=时等号成立. 故y=x(3-2x)的最大值为,故选D. 3.C　因为2a+b=ab,所以(a-1)(b-2)=2, 又因为a>0,b>0,所以a-1>0,b-2>0, 则+≥2=2,当且仅当a=2,b=4时等号成立,所以+的最小值为2.故选C. 4.答案　 解题思路　因为a>0,b>0, 所以=·≤·==, 当且仅当2a=a+b,即a=b时等号成立. 故的最大值为. 5.A　由题意可知+=1,(对已知等式进行变形,找出常数“1”)又x>0,y>0, ∴2x+y=(2x+y)=++8≥2+8=16,当且仅当x=4,y=8时,等号成立,则2x+y的最小值为16.故选A. 6.B　审题指导　根据a+b=2得a+(b+1)=3,则+=[a+(b+1)],再利用基本不等式即可求解. 解题思路　∵正实数a,b满足a+b=2, ∴a+(b+1)=3, 则+=[a+(b+1)] =≥=3. 当且仅当=,且a+b=2,a,b>0,即a=1,b=1时取等号, 故+的最小值为3. 故选B. 7.D　审题指导　由1<a<3,a+=3可得0<a-1<2,b∈.再将a+=3变形为+=1,利用基本不等式及“1”的代换即可求出最小值. 解题思路　∵1<a<3,a+=3,∴0<a-1<2,2b=3a-a2=-+∈,即b∈. ∵a+=3,∴a-1+=2,即+=1. ∴+= =1+++ ≥+2=, 当且仅当a=,b=时等号成立. 故+的最小值为. 故选D. 8.C　因为0<x<,所以1-3x>0, 所以+=[3x+(1-3x)] =15++≥2+15=27, 当且仅当即x=时取等号. 因此+的最小值为27. 故选C. 9.D　审题指导　先将5a-4b用含a-b,a+b的代数式表示出来,由+=4,得1=,再利用乘“1”法及基本不等式即可求出5a-4b的最小值. 解题思路　设5a-4b=s(a-b)+t(a+b), 则5a-4b=(s+t)a-(s-t)b, 则解得则5a-4b=(a-b)+(a+b) = = ≥=2, 当且仅当a=,b=时等号成立,所以5a-4b的最小值为2, 故选D. 10.B　审题指导　先把进行变形,分离为和的形式,即x-1++2,再结合基本不等式求解即可. 解题思路　==x-1++2(分离为和的形式). 因为x<0,所以x-1<0,<0. 所以x-1+=-≤-6, 当且仅当-(x-1)=-,x<0,即x=-2时,等号成立. 所以x-1++2≤-4,则有最大值-4. 故选B. 方法总结　分子、分母均含有变量的式子求最值时,如果不能直接用基本不等式进行求解,那么可以通过将分式分离为和的形式再进行解答,如==+≥2(b>a>0). 11.B　因为xy=2x+y,所以(x-1)(y-2)=2, 又因为x>0,y>0,所以x-1>0,y-2>0, +=+=3+2(通过分离常数进行变形), 因为(x-1)(y-2)=2,x-1>0,y-2>0, 所以由基本不等式得+≥2=,当且仅当x=1+,y=2+时等号成立, 所以+≥3+2, 所以+的最小值为3+2.故选B. 12.答案　4 解题思路　==+≥2=4, 当且仅当=,即x=±时等号成立, ∴的最小值为4. 13.解题思路　(1)y==++=-≤-2=-,当且仅当-=-(x<0),即x=-2时,等号成立, 所以y=(x<0)的最大值为-. (2)当x>1时,x-1>0, 则y===x+1+=(x-1)++2≥2+2=8, 当且仅当x-1=(x>1),即x=4时,等号成立, 故y=(x>1)的最小值为8. (3)因为x>0,y>0且4x+y=xy,所以=+=1, 所以x+y=(x+y)=5++≥ 5+2=9, 当且仅当即时,等号成立,即x+y的最小值为9, 又因为x+y>m2+8m恒成立,所以m2+8m<9,即m2+8m-9<0,解得-9<m<1. 故实数m的取值范围是{m|-9<m<1}. 14.D　因为2x+y=-1,所以y=-1-2x,又x>0, 所以x-=x+=x++2≥2+2=4,当且仅当x=1时取等号,故选D. 方法总结　消元法求最值 条件与所求均含有两个变量,从简化问题的角度来思考,可以消去一个变量,转化为只含有一个变量的形式,然后利用基本不等式求最值.注意所保留变量的取值范围. 15.B　∵a+b=1,a>0,b>0,∴+=+=+-≥2-=,当且仅当a=时等号成立.故选B. 解题关键　根据a+b=1将+转化为+是解题关键,然后利用基本不等式即可求解. 16.答案　55 审题指导　由题可得y=>0,x>0,解得0<x<21, 则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31,再利用基本不等式即可求解. 解题思路　∵正实数x,y满足xy+2x+3y=42, ∴y=>0,x>0,解得0<x<21. ∴xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31≥3×2+31=55,当且仅当x=1,y=10时取等号.∴xy+5x+4y的最小值为55. 17.答案　6 解题思路　解法一:(代入消元法)由x+3y+xy=9,得x=,又y>0, 所以x+3y=+3y== ==3(1+y)+-6 ≥2-6=12-6=6, 当且仅当3(1+y)=,y>0,即y=1,x=3时取等号, 故x+3y的最小值为6. 解法二:由已知得9-(x+3y)=xy=·x·3y≤·, 当且仅当x=3y,x>0,y>0,即x=3,y=1时取等号. 故(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0, 令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0,故t≥6,即x+3y的最小值为6. 18.C　令a=x+2,则a>0,令b=y+3,则b>0, 结合题意可知+=, 所以x+y=a+b-5=6(a+b)-5=6-5≥6-5=19, 当且仅当即即时,等号成立.故选C. 方法总结　对结构比较复杂的代数式求最值,若把其中某些不同部分,看成一个或两个整体,用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化、明朗化,在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用. 19.答案　3+2 解题思路　令x-y=t,x+3y=s(t>0,s>0), 则x=(s+3t),y=(s-t), 由x+y=得s+t=1, 则+=+=(s+t)=3+≥3+2,当且仅当s=t=2-时等号成立. 故+的最小值为3+2. 20.答案　 解题思路　令=x,=y,则x>0,y>0,a=,b=,x+2y=1, 所以x+1+2y+2=4, 所以+=+= +=3-- =3-(x+1+2y+2) =3-5++ ≤3-=, 当且仅当x=,y=时等号成立. 所以+的最大值为. 21.答案　4 解题思路　由ab+ac=4,得a(b+c)=4,设a=x,b+c=y,则x>0,y>0,且xy=4, 原式=++=+=+≥2=2×2=4, 当且仅当x=y=2时等号成立, 所以++的最小值是4. 22.C　因为a>0,b>0,所以3=2ab+a+2b≤+a+2b,当且仅当a=2b时取等号, 故(a+2b)2+4(a+2b)-12≥0,即(a+2b+6)(a+2b-2)≥0,解得a+2b≥2或a+2b≤-6(舍), 所以当a=2b=1时,a+2b取得最小值,为2. 故选C. 方法总结　构造不等式求最值 当条件中给出了“和”与“积”之间的关系时,可以考虑借助基本不等式进行放缩,由条件式构建得到关于“和”或“积”的不等式,解此不等式即可求得“和”或“积”的最值. 23.BC　由x2+y2-xy=1得(x+y)2-1=3xy≤3, 解得-2≤x+y≤2,当且仅当x=y=-1时,x+y=-2, 当且仅当x=y=1时,x+y=2,所以A错误,B正确; 由x2+y2-xy=1得(x2+y2)-1=xy≤, 解得x2+y2≤2,当且仅当x=y=±1时取等号,所以C正确; 由x2+y2-xy=1得x2+y2=xy+1≥2xy,所以xy≤1,当且仅当x=y=±1时,等号成立,所以D错误. 故选BC. 24.答案　16 解题思路　解法一:(构造不等式法)由+=1得(x-1)(y-9)=9≤(构造不等式),所以≥3或≤-3(舍去).所以x+y≥16,当且仅当x=4,y=12时取等号,所以x+y的最小值为16. 解法二:(消元后用基本不等式法)由+=1得y=9+(x>1),所以x+y=x+9+=10+x-1+≥10+2=16, 当且仅当x-1=且x>1,即x=4,y=12时取等号,所以x+y的最小值为16. 解法三:(巧用“1”)因为x>0,y>0,且+=1,所以x+y=(x+y)=10++≥10+2=16,当且仅当x=4,y=12时取等号, 所以x+y的最小值为16. 25.答案　{xy|xy≥9} 解题思路　解法一:由x>0,y>0,得xy=x+y+3⇒xy-3=x+y≥2,即-2-3≥0, 解得≤-1(舍去)或≥3, 当且仅当x=y且xy=x+y+3,即x=y=3时取“=”, 故xy的取值范围是{xy|xy≥9}. 解法二:由x>0,y>0,xy=x+y+3⇒(x-1)y=x+3知x≠1,y=,由y>0得>0,则x>1, 则xy=x·== =(x-1)++5≥2+5=9, 当且仅当x-1=(x>0),即x=3时取“=”, 故xy的取值范围是{xy|xy≥9}. 26.B　a++2b=+2b≥2+2b=+2b≥2=4, 当且仅当即a=b=1时取“=”, 故m≥4, 故选B. 方法总结　多变量代数式求最值,可以连续使用基本不等式进行求解.需要注意的是,每次使用基本不等式时等号成立的条件都要相同,即保证等号能同时成立. 27.答案　4 解题思路　∵a>b>0,∴a-b>0,∴(a-b)b≤=,∴2a2+≥2a2+≥4, 当且仅当即时等号成立, ∴2a2+的最小值是4. 28.解题思路　证明:+=4+a2+b2++=4+a2+b2++=4+a2+b2+1+++++1=4+a2+b2+2+2++≥4++2+4+2=,当且仅当a=b=时等号成立, 所以+≥. 解后反思　利用基本不等式证明不等式的一般思路:观察题中要证明的不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之转化为能使用基本不等式的形式;若题目中还有其他条件,则观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有“1”时,要注意“1”的代换.另外,解题时要时刻注意等号能否取到. 29.解题思路　证明:(1)∵a>0,b>0,a+b=1, ∴+=+=1++≥1+2=5, 当且仅当a=,b=时等号成立. ∴+≥5. (2)∵a>0,b>0,a+b=1, ∴=1+++=1+++=1++=1+(a+b)=1+3+4++=8++≥8+2=8+4, 当且仅当a=2-3,b=4-2时等号成立. ∴≥8+4. 30.解题思路　证明:(1)=≥≥=,当且仅当a=b=c=d时取等号. 所以≥. (2)当x,y,z均大于0时,易知x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)·(x2+y2+z2-xy-yz-zx)=(x+y+z)·≥0,当且仅当x=y=z时取等号,所以≥xyz, 令a=x3,b=y3,c=z3,则≥. 学科网（北京）股份有限公司 $ 　　　　 微专题1　基本不等式在求最值、证明问题中的方法技巧 限时70分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 技巧1　拼凑法求最值 1.知方法(2025湖南邵阳月考)已知x>2,则x+的最小值为(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 2.(2025山东东营检测)函数y=x(3-2x)的最大值为(　　) A.3 B. C. D. 3.(2025江苏月考)已知a>0,b>0,2a+b=ab,则+的最小值为(　　) A. B.2 C.2 D.4 4.()已知a>0,b>0,则的最大值为　　　　　.  技巧2　常数“1”代换后求最值 5.(2025上海月考)已知x>0,y>0,且4x+2y-xy=0,则2x+y的最小值为(　　) A.16 B.8+4 C.12 D.6+4 6.(2025海南海口月考)已知正实数a,b满足a+b=2,则+的最小值为(　　) A.2 B.3 C.2 D.3 7.(2025辽宁大连月考)已知1<a<3,a+=3,则+的最小值为(　　) A. B. C. D. 8.(2025湖南邵阳期中)已知实数x满足0<x<,则+的最小值为(　　) A.9 B.18 C.27 D.36 9.(2025广东深圳月考)已知a>b>0,+=4,则5a-4b的最小值为(　　) A. B.4 C. D.2 技巧3　分离后求最值 10.知方法(2025云南昆明阶段练习改编)已知x<0,则有(　　) A.最大值-6 B.最大值-4 C.最小值6 D.最小值8 11.(2025贵州贵阳月考)若x>0,y>0,且xy=2x+y,则+的最小值为(　　) A.0 B.3+2 C.2+1 D.4 12.()的最小值为　　　　.  13.(2025甘肃兰州期中)求解下列各题: (1)求y=(x<0)的最大值; (2)求y=(x>1)的最小值; (3)已知x>0,y>0且4x+y=xy,若x+y>m2+8m恒成立,求实数m的取值范围. 技巧4　消元法求最值 14.知方法(2024福建莆田期中)实数x,y满足2x+y=-1,x>0,则x-的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 15.(2024安徽阜阳期末)已知a>0,b>0且a+b=1,则+的最小值为(　　) A. B. C.2 D. 16.()已知正实数x,y满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y的最小值为　　　　.  17.一题多解(2025山东东营模拟改编)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为　　　　.  技巧5　双换元法求最值 18.知方法(2025江苏无锡阶段练习)已知x,y均为正实数,且+=,则x+y的最小值为(　　) A.- B.-1 C.19 D.24 19.(2025四川巴中期末改编)已知实数x,y满足x>y>0,且x+y=,则+的最小值为　　　　.  20.()已知a>1,b>,+=1,则+的最大值为　　　　.  21.()已知a,b,c均为正实数,ab+ac=4,则++的最小值是　　　　.  技巧6　构造不等式求最值 22.知方法()若a>0,b>0,2ab+a+2b=3,则a+2b的最小值是(　　) A. B.1 C.2 D. 23.(2025山东菏泽月考)(多选)若x,y满足x2+y2-xy=1,则(　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.xy>1 24.一题多解(2024山东青岛月考)已知x>0,y>0,且+=1,则x+y的最小值为　　　　.  25.(2025山东德州月考改编)已知正数x,y满足xy=x+y+3,则xy的取值范围为　　　　.  技巧7　多次使用基本不等式求最值 26.知方法()已知a,b都是正数,m=a++2b,则(　　) A.m>4 B.m≥4 C.m≤4 D.m≥2 27.(2024天津宁河期末)已知a>b>0,则2a2+的最小值是　　　　.  技巧8　利用基本不等式证明不等式 28.()已知a,b均为正数,且a+b=1,证明:+≥. 29.(2025广东广州阶段练习)已知a>0,b>0,a+b=1,求证: (1)+≥5; (2)≥8+4. 30.(2025北京期中)对于正数a,b,c,d,求证: (1)≥; (2)≥. 学科网（北京）股份有限公司 $