3.1.1 函数的概念-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

**基本信息** 该同步练通过A/B/C/D组分层设计，以“基础巩固-单一深化-综合应用-高考衔接”为路径，融合生活情境与教材改编题，培养数学眼光、思维与语言能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|函数定义、定义域等基础概念|含数学与生活情境题（如圆周率数字函数），教材改编题占比高| |B组|函数概念、定义域、值域等单一知识点|分知识点专项训练，含多选及方法指导题（如定义域求法）| |C组|定义域与值域综合、创新应用|设变式题（如改变自变量范围）及逆向问题，提升综合思维| |D组|高考考点|精选高考真题（如北京、江苏高考定义域题），对接升学需求|

第三章　函数的概念与性质 3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念 1.N*　{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 2.(1)实数集　任意一个数x　对应关系　唯一 (2)定义域　对应关系　不是 3.(1)✕　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√ 4.AB　5.D　6.D　 7.{t|0≤t≤6}　{h|0≤h≤9} 8.6　8a3-12a2+10a　3 9.解题思路　因为≥0恒成立,所以=-无解,因此-∉S. 当=3时,可解得x=8,即g(8)=3,所以3∈S. 10.B　因为姓名不是数集,所以A、D错误,因为同一个身高可能对应多名同学,多个成绩,所以C错误,根据函数定义知,只有考试成绩与学号之间存在函数关系,故选B. 11.BD　选项A,对于A中的元素0,在对应关系f的作用下得0,但0不属于B,即A中的元素0在B中没有元素与之对应,不是函数; 选项B,对于A中的元素±1,在对应关系f的作用下与B中的元素1对应,对于A中的元素±2,在对应关系f的作用下与B中的元素4对应,所以满足A中任意元素与B中唯一元素对应,是“多对一”的对应,所以是函数; 选项C,对于A中的元素1,在对应关系f的作用下与B中元素1,-1对应,不满足A中任意元素与B中唯一元素对应,不是函数; 选项D,对于A中的任意元素,在对应关系f的作用下, B中都有唯一元素与之对应,所以是函数. 故选BD. 12.CD　对于A,当x=-1时,y=-2,在集合N中没有对应值,不满足条件. 对于B,当x=4时,y=x+2=6,在集合N中没有对应值,不满足条件. C,D满足条件,故选CD. 13.C　要使函数有意义,自变量x必须满足解得x≥且x≠1,故选C. 方法总结　求函数定义域的方法 (1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R. (2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3)如果f(x)是偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合. (4)如果f(x)是由几部分构成的,那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合,也就是使各部分有意义的实数的集合的交集. (5)如果f(x)是根据实际问题列出的,那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合. 14.C　∵-2<x<0,∴0<x+2<2,∴f(x)的定义域为{x|0<x<2},由0<2x-2<2得1<x<2. 故f(2x-2)的定义域是{x|1<x<2}. 15.解题思路　(1)由得0≤x≤,所以函数y=2-的定义域为0,. (2)由得-2≤x<0或0<x≤2,所以函数y=+的定义域为[-2,0)∪(0,2]. (3)由得所以函数y=-的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1]. (4)由题意得解得-4≤x≤4且x≠-3, 故函数y=的定义域为[-4,-3)∪(-3,4]. (5)由题意得解得0≤x≤10且x≠5, 所以函数f(x)的定义域为[0,5)∪(5,10]. 16.答案　(-∞,2] 解题思路　令=t,t∈[0,+∞),则1-2x=t2,即x=, 所以y=1++t=-(t2-2t-3)=-(t-1)2+2,t≥0, 当t=1时,y=-(t-1)2+2取得最大值,为2, 所以y≤2,即所求函数的值域为(-∞,2]. 17.答案　[0,4] 解题思路　函数y=-x2+2x+3图象的对称轴为直线x=1,开口向下, 当x=0时,y=3;当x=1时,y=4;当x=3时,y=0, 所以函数y=-x2+2x+3(0≤x≤3)的最小值为0,最大值为4, 所以y=-x2+2x+3(0≤x≤3)的值域为[0,4]. 18.答案　{y|y≠3} 解题思路　y===3+. ∵≠0,∴y≠3,∴所求的值域为{y|y≠3}. 方法总结　求函数值域的方法 (1)观察法.通过对解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数图象的最高点和最低点观察函数的值域. (2)配方法.求形如F(x)=a[f(x)]2+bf(x)+c(a≠0)的函数的值域可用配方法,但要注意f(x)的取值范围.如求函数y=x+2+3的值域,因为y=(+1)2+2≥3,所以所求值域为{y|y≥3}.同时要注意在给定区间上二次函数最值的求法. (3)分离常数法.形如y=(ac≠0,ad≠bc)的函数常用分离常数法求值域.转化过程为y==+,其值域是. (4)换元法.形如y=ax+b+(a≠0)的函数常用换元法求值域,即先令t=,求出x,并注明t的取值范围,再代入原式将y表示成关于t的二次函数,最后用配方法求值域. 注意:分离常数的目的是将分式函数变为反比例函数类型,换元的目的是将函数变为二次函数类型,即将函数解析式变为熟悉的简单函数类型求值域. 变式18-1　[0,2]　易得y==-1, 因为-1≤x≤1,所以1≤2+x≤3,则1≤≤3, 所以0≤-1≤2, 故函数y=(-1≤x≤1)的值域为[0,2]. 19.解题思路　(1)f(2)=22+2-1=5, f=+-1=. (2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0, 解得x=2或x=-3. 20.D　对于A,函数g(x)=+1=x+1,x≠0,而f(x)=x+1的定义域为R,所以A不符合题意. 对于B,函数g(x)=+1=|x|+1,而f(x)=x+1,所以B不符合题意. 对于C,函数g(x)=|x|+1,而f(x)=x+1,所以C不符合题意. 对于D,函数g(x)=+1=x+1,定义域为R,与f(x)=x+1的定义域相同,对应关系也相同,所以D符合题意. 故选D. 方法总结　判断两函数是不是同一函数 (1)步骤: (2)两个注意点: ①在化简解析式时,必须是等价变形; ②与用哪个字母表示变量无关. 21.AD　A选项,y===x与y=x的定义域、对应关系都相同,所以是同一函数,A选项正确. B选项,y=的定义域是R,y=的定义域是[0,+∞),所以不是同一函数,B选项错误. C选项,y=x与y==|x|的对应关系不同,所以不是同一函数,C选项错误. D选项,y=x2+2x-1与s=t2+2t-1的定义域、对应关系都相同,所以是同一函数,D选项正确. 故选AD. 22.ABC 由y=x2-2x+2=1得x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,解得x=1, 由y=x2-2x+2=2得x2-2x=0,解得x=0或x=2, 故定义域内必须含有1,0与2至少含有一个,且定义域一定是[0,2]的子集, 设定义域为[a,b], 若a=0,则1≤b≤2,则A成立; 若b=2,则0≤a≤1,则B,C成立. 故选ABC. 名师点睛　本题若能正确画出二次函数的图象(如图),则各选项是否正确就会很容易地得到判断. 23.A　∵函数f(x-2)的定义域为(-1,3),即-1<x<3, ∴-3<x-2<1, 对于函数g(x)=,有解得1<x<3, 即函数g(x)=的定义域为(1,3).故选A. 变式23-1　C　∵函数f(x)=,∴4-x2≥0, 可得-2≤x≤2,则函数f(2-x)+f(x)中的x需满足解得0≤x≤2,即函数f(2-x)+f(x)的定义域为[0,2],故选C. 变式23-2　A　∵函数f(2x+1)的定义域为(-1,0),即-1<x<0,∴-1<2x+1<1, ∴函数f(x)的定义域为(-1,1).故选A. 24.C　由2x2-3=-1得x=±1;由2x2-3=5得x=±2, 则定义域可以为{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{-1,2,-2},{1,-2,2},{1,-1,2,-2},因此“孪生函数”共有9个. 故选C. 25.CD　对于A,y===|x-1|≥0,值域为[0,+∞),∴A不符合题意; 对于B,y==1+(x∈(0,+∞)),值域为(1,2),∴B不符合题意; 对于C,y==>0,值域为(0,+∞),∴C符合题意; 对于D,y=>0,值域为(0,+∞),∴D符合题意. 故选CD. 26.答案　∪ 解题思路　∵[2x2-x+1]=1, ∴1≤2x2-x+1<2, 由2x2-x+1<2,可得-<x<1, 由2x2-x+1≥1,可得x≤0或x≥, ∴实数x的取值范围为∪. 27.答案　 解题思路　∵f(x)=的定义域为R, ∴对于任意实数x,mx2+3mx+m+1≥0恒成立, 当m=0时,有1>0成立; 当m≠0时,由解得0<m≤. 综上所述,实数m的取值范围为. 易错警示　先将问题转化为对于任意实数x,mx2+3mx+m+1≥0恒成立,然后对m分类求解得答案.学生容易忽略对二次项系数为0时的讨论导致出现漏解的情况. 28.答案　{x|x≤1且x≠0} 解题思路　要使f(x)=+有意义, 则解得x≤1且x≠0, ∴f(x)的定义域为{x|x≤1且x≠0}. 29.答案　[-1,7] 解题思路　要使函数有意义,需满足7+6x-x2≥0,解得-1≤x≤7,故所求定义域为[-1,7]. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念 A组　教材夯基础限时20分钟 　 1.(数学与生活)在一个展现人脑智力的综艺节目中,一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位,更神奇的是,当主持人说出小数点后面的位数时,这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率π小数点后第n位上的数字为y,那么我们认为y是n的函数,则该函数的定义域为　　　　;值域为　　　　　　　　　.  2.(填一填,记一记) (1)一般地,设A,B是非空的　　　　,如果对于集合A中的　　　　　　　,按照某种确定的　　　　 f,在集合B中都有　　　　确定的数y与它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.  (2)如果两个函数的　　　　和　　　　相同,那么这两个函数是同一函数.如果两个函数仅对应关系相同,但定义域不相同,那么它们　　　　同一个函数.  3.(判对错) (1)根据函数的定义,定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(　　) (2)值域中的某一个y值可以对应着不同的x.(　　) (3)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2,+∞).(　　) (4)定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了.(　　) (5)在研究函数时,除用符号f(x)外,还可用g(x),F(x),G(x)等来表示函数.(　　) 4.(教材P64练习T3改编)(多选)下列从集合A到集合B的对应关系中是函数的是(　　) 5.(教材P66例3改编)下列函数中,与函数y=x是同一个函数的是(　　) A.y=()2　B.y=　C.y=|x|　D.y= 6.(教材P65例2改编)函数f(x)=的定义域为(　　) A.(1,+∞) B.[0,+∞) C.(-∞,1)∪(1,+∞) D.[0,1)∪(1,+∞) 7.(教材P63练习T1改编)一个小球被抛出后经过6 s落地,小球在空中运动时与地面的最大距离为9 m,且小球与地面的距离h(m)与运动时间t(s)之间的关系为h=-t2+6t,则该关系所表示的函数的定义域A为　　　　　　,值域B为　　　　　.  8.(教材P67练习T2改编)已知f(x)=x3+2x+3,则f(1)=　　　　, f(2a-1)=　　　　,f(f(-1))=　　　　.  9.(人教B版教材好题)设函数g(x)=的值域为S,分别判断-和3是不是S中的元素. B组　单一知识点限时25分钟 　　　　　　　 知识点1　函数的概念及其表示 10.()某校有一班级,设变量x是该班同学的姓名,变量y是该班同学的学号,变量z是该班同学的身高,变量w是该班同学的数学考试成绩,则下列选项中正确的是(　　) A.y是x的函数 B.w是y的函数 C.w是z的函数 D.w是x的函数 11.(2024四川绵阳阶段练习)(多选)下列对应关系是从集合A到集合B的函数的是(　　) A.A=N,B=N*,对应关系f:对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应 B.A={-1,1,2,-2},B={1,4},对应关系f:x→y=x2 C.A={0,1},B={-1,0,1},对应关系f:A中的数开平方 D.A={x|-1≤x≤1},B={0},对应关系f:x→y=0 12.()(多选)托马斯说:“函数概念是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断:下列对应关系是集合M={-1,2,4}到集合N={1,2,4,16}的函数的是(　　) A.y=2x B.y=x+2 C.y=x2 D.y=|x| 知识点2　函数的定义域与区间表示 13.知方法(2024安徽六安期末)函数f(x)=的定义域为(　　) A. 　B.{x|x>1} C. 　D. 14.(2024河南周口期末)已知函数f(x+2)的定义域为{x|-2<x<0},则函数f(2x-2)的定义域为(　　) A.{x|0<x<2} B. C.{x|1<x<2} D. 15.(2024湖南邵阳期末改编)求下列函数的定义域. (1)y=2-; (2)y=+; (3)y=-; (4)y=; (5)f(x)=+. 知识点3　函数值及函数值域 16.(2025江苏无锡阶段练习)函数y=1+x+的值域为　　　　.  17.(2025江苏扬州阶段练习)函数y=-x2+2x+3(0≤x≤3)的值域为　　　　.  18.知方法()函数y=的值域为　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　　　 变式18-1　(改变自变量的取值范围)函数y=(-1≤x≤1)的值域为　　　　.  19.()已知函数f(x)=x2+x-1. (1)求f(2), f ; (2)若f(x)=5,求x的值. 知识点4　同一个函数的判断 20.知方法()下列函数与f(x)=x+1是同一个函数的是(　　) A.g(x)=+1 B.g(x)=+1 C.g(x)=|x|+1 D.g(x)=+1 21.(2025江苏镇江期中)(多选)下列各组函数是同一函数的有(　　) A.y=与y=x B.y=()3与y=()4 C.y=x与y= D.y=x2+2x-1与s=t2+2t-1 C组　综合知识点限时15分钟 　　　　　　 22.()(多选)已知函数y=x2-2x+2的值域是[1,2],则其定义域可能是(　　) A.[0,1] B.[1,2] C. D.[-1,1] 23.()已知函数f(x-2)的定义域为(-1,3),则函数g(x)=的定义域为(　　) A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(3,7) 　　　　　　　　　　　　　　　　 变式23-1　(改变条件形式)已知函数f(x)=,则函数f(2-x)+f(x)的定义域为(　　) A.[0,+∞) B.[-4,0] C.[0,2] D.[0,4] 变式23-2　(逆向求解)已知函数f(2x+1)的定义域为(-1,0),则函数f(x)的定义域为(　　) A.(-1,1) B. C.(-1,0) D. 24.()若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为y=2x2-3,值域为{-1,5}的“孪生函数”共有(　　) A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 25.(2024吉林长春月考)(多选)下列函数中,值域是(0,+∞)的是(　　) A.y= B.y=(x∈(0,+∞)) C.y= D.y= 26.创新题()对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.5]=-2,则满足[2x2-x+1]=1的实数x的取值范围为　　　　　　.  27.明易错()已知函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围为　　　　.  D组　高考怎么考限时5分钟 　　　　　　　 28.(2022北京高考)函数f(x)=+的定义域是　　　　　　　　.  29.(2019江苏高考)函数y=的定义域是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $