3.1.1 函数的概念 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从概念理解到综合应用，适配新授课知识巩固与抽象能力、推理意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|函数定义、定义域、区间表示|单选题1-3直接考查概念，填空题12-13强化运算，培养抽象能力| |中档|值域求解、同一函数判断|单选题4-6结合性质辨析，多选题9-11综合函数关系，发展推理意识| |提升|定义域值域综合、创新应用|单选题7-8（如“同族函数”）、解答题15-19（性质证明），深化数学表达与逻辑推理|

3.1.1 函数的概念 同步练 2026-2027学年上学期高中数学人教A版必修第一册 一、单选题 1．已知函数，则的值等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，矩形的面积关于的函数关系式是，则函数的定义域为 A． B． C． D． 3．集合用区间可表示为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 5．已知函数的定义域为，则其值域为（    ） A． B． C． D． 6．下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 7．已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 8．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．无数个 二、多选题 9．设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域和值域均为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 三、填空题 12．函数的值域为________ 13．函数的定义域为______． 14．已知函数.则__________. 四、解答题 15．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．已知函数，. (1)求，，及的值. (2)求，并证明为常数. 17．函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． 18．已知函数． (1)求和，和的值． (2)猜想一下与有什么关系？并证明． 19．已知函数． (1)点在的图象上吗? (2)当时，求的值；当时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B A B A C AD BCD 题号 11 答案 ABC 1．D 根据函数的概念求函数值. 因为函数，所以， 所以， 故选:D. 2．D 根据题意易得，从而得到结果. 将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，则宽为， ∴，解得 ∴函数的定义域为 故选D 3．C 根据区间表示集合的形式，即可求解. 集合用区间可表示为. 故选：C 4．B 根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 函数，令，则，而， 所以. 故选：B 5．A 根据定义域，代入解析式，求出值域. 当时，，当时，， 故值域为. 故选：A 6．B 根据函数的定义域和对应法则进行判断即可. 对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是， 对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误. 故选：B. 7．A 根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域. 令，解得，令，解得， 由函数的图象关于轴对称的性质，得的定义域可能为，或，则BCD可能； 而，的定义域不可能是，A不可能. 故选：A 8．C 根据函数的定义确定．，只要在定义域中，中至少有一个，中至少有一个即可． 值域为{1,4}，∴其定义域由1，－1，2，－2组成，∴有{1,2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1，2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，2，－2}，共有9种情况. 故选：C． 9．AD 从函数的定义出发，得到BC错误，AD正确. 对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应， 则满足从集合A到集合B的函数关系， 其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误； C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误. 故选：AD 10．BCD 根据的解析式，进行相关的运算判断各个选项即可. 对于A，，故A错误； 对于B，由，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由选项C知，且， ，故D正确. 故选：BCD. 11．ABC 根据抽象函数的定义域列不等式求解判断AB；求出抽象函数的值域判断CD. 函数中的x需满足，解得， 故函数的定义域为，故A正确； 函数中的x需满足解得， 故函数的定义域为，故B正确； 函数和的值域都为，故C正确，D错误． 故选：ABC． 12． 根据题意，由二次函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 因为，且，则当时，，当时，，则函数值域为. 故答案为： 13．或． 根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解. 由题知，，即， 解得， 故函数的定义域为或． 故答案为：或． 14．2 计算的值为常数即可得解. 因为， 所以， 所以， 故答案为：2 15．(1) (2) (3) (4) （1）根据即可求出函数的值域； （2）（3）分离常数，结合反比例函数的性质即可得解； （4）根据二次函数的性质求出被开方数的范围即可得解. （1）由，即所求函数的值域为； （2）由， ∵，∴， 即函数的值域为； （3）由，∴函数的定义域为， ， 即，∴， 即函数的值域为； （4）由，得， ∴所求函数的值域为． 16．(1)，，， (2)， ，为常数. （1）直接代入计算即可； （2）计算，再计算即可. （1）， ， ， . （2）因为，则 ， 所以，为常数. 17．(1) (2)或， （1）根据的定义域为，可得和是一元二次方程的实数根，即可利用韦达定理求解， （2）将问题转化为对任意的均成立，对系数进行讨论，结合判别式即可求解. （1）由于的定义域需要满足， 结合的定义域为，故和是一元二次方程的两个不相等实数根， 因此， 解得， （2）的定义域为，则对任意的均成立， 当时，，此时不等式为，则解不是全体实数，不符合，舍去， 当时，，此时不等式为，则解是全体实数，符合， 当且，此时，不等式为一元二次不等式， 要使解为全体实数，则， 解得或， 综上可得或， 18．(1)，，， (2) 猜想： 证明：由， 可得：， 则即证猜想． （1）利用代入法进行求解即可； （2）利用代入法进行判断证明即可. （1），，，； （2）略 19．(1)不在 (2)当时，；当时， （1）计算即可判断； （2）直接代值计算即可，令，解方程即可. （1）因为，所以点不在的图象上. （2）当时，； 若，则，即，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $