2.2 基本不等式-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

**基本信息** 该同步练习通过A、B、C、D四组梯度设计，实现从基础概念到高考应用的知识巩固，融合数学眼光、思维与语言，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|基本不等式概念、简单应用|结合赵爽弦图情境，通过判断、填空夯实“一正二定三相等”基础| |B组|比较大小、最值求解、证明|单一知识点深化，含变式题（如单元变双元），培养运算推理能力| |C组|多知识点综合应用|结合方程、不等式等综合题，提升数学思维的系统性| |D组|高考真题及改编|对接高考题型，强化数学语言表达与实际问题解决能力|

2.2　基本不等式 1.A　易知4个直角三角形的面积和为2ab,正方形ABCD的面积为a2+b2.又正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和,所以a2+b2>2ab.故选A. 2.(1)　　(2)②2　 3.(1)√　(2)✕　(3)✕　(4)√　(5)√ 4.D 5.D　∵x<-1,∴x+1<0,∴<0,∴x+=--1≤-2-1=-3,当且仅当-(x+1)=-,x<-1,即x=-2时,等号成立.故选D. 6.答案　25 解题思路　设矩形场地的面积为y m2,一条边长为x m,则其相邻边长为×(20-2x)=(10-x)m,其中0<x<10, ∴y=x(10-x)≤=25,当且仅当x=10-x,即x=5时,等号成立, ∴ymax=25,即矩形场地的最大面积是25 m2. 7.解题思路　证明:∵a>0,b>0,∴≥,当且仅当a=b时,等号成立. 易知>0,>0, ∴≥>0,即≥, 当且仅当=,即a=b时,等号成立. 8.A　由a>b>0,可得>>0,所以0<<, 所以<,所以<<, 由a2+b2>2ab可得a2+2ab+b2<2a2+2b2, 得(a+b)2<2(a2+b2),所以<, 又a>b>0,所以<, 所以<<<.故选A. 9.C　因为a>0,b>0,a+b=4,所以不妨令a=3,b=1,则ab=3,+=+1=,a2+b2=10,所以A、B、D错误.因为a>0,b>0,所以a+b≥2,即4≥2,即≤2,当且仅当a=b=2时,取等号,故选C. 10.AD　对于A,∀a,b∈R,不等式a2+b2≥2ab恒成立,A正确; 对于B,由于a,b∈R,且ab>0,故当a<0,b<0时,a+b<0,而2>0,此时B选项中的不等式不成立,B错误; 对于C,由于a,b∈R,且ab>0,故当a<0,b<0时,+<0,而>0,此时C选项中的不等式不成立,C错误; 对于D,由a,b∈R,且ab>0,得>0,>0,则+≥2=2,当且仅当a=b时,取等号,D正确.故选AD. 11.A　因为a,b>0,所以ab=a+b+≤,即(a+b)2-4(a+b)-5≥0,令a+b=t,则t>0,则t2-4t-5≥0,即t2-4t+4≥9,即(t-2)2≥9,所以t≥5,即a+b≥5,当且仅当a=b=时,取等号,A对,B错;由ab=a+b+≥2+,得4ab-8-5≥0,令=k,则k>0,则4k2-8k-5≥0,即4k2-8k+4≥9,即(2k-2)2≥9,即k≥,即≥⇒ab≥,当且仅当a=b=时,等号成立,C、D错.故选A. 12.C　因为x>1,所以x-1>0,所以x+=x-1++1≥2+1=7,当且仅当x-1=,x>1,即x=4时,等号成立,故选C. 名师点睛　利用基本不等式求最值的条件 利用基本不等式≤求最值,必须同时满足三个条件:一正、二定、三相等. ①x,y都是正数. ②积xy(或和x+y)为定值(有时需通过配凑、拆分找出定值). ③x与y必须能够相等(等号能够取到). 13.C　∵x<,∴3x-2<0. y=3x-2++3=-+3 ≤-2+3=-3,当且仅当x=-时,取“=”.故y=3x+1+有最大值-3.故选C. 14.A　因为0<x<,所以x(2-3x)=×3x(2-3x)≤×=,当且仅当3x=2-3x,即x=时,等号成立.故x(2-3x)的最大值是.故选A. 变式14-1　B　因为x>0,y>0,且x+y=8,所以(1+x)·(1+y)=1+x+y+xy=9+xy≤9+=9+42=25,当且仅当x=y=4时,等号成立,故(1+x)(1+y)的最大值为25. 变式14-2　B　因为0<x<2,所以y=2x=2≤2=4, 当且仅当x2=4-x2,0<x<2,即x=时,取等号,故选B. 15.B　a2+b2=ab+4,则(a+b)2=3ab+4≤+4,可得(a+b)2≤16,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,等号成立.所以a+b的最大值为4.故选B. 16.D　审题指导　由+=1,可考虑“1”的逆代,将代数式x+y+z与+相乘,构造积为定值的形式后,利用基本不等式可求出最值. 解题思路　∵y>0,z>0,∴y+z>0,又x>0,+=1,∴x+y+z=(x+y+z)=10++≥10+2=16,当且仅当=时,等号成立, ∴x+y+z的最小值为16.故选D. 解后反思　利用常数“1”的代换求最值的两种模型 模型1:已知正数x,y满足ax+by=1,求+的最小值(a>0,b>0,m>0,n>0). 模型2:已知正数x,y满足+=1,求mx+ny的最小值(a>0,b>0,m>0,n>0). 17.C　因为a+2b=1,所以+=+=+-4, +=(a+2b)=1+++4≥2+5=9,当且仅当a=b=时,取等号, 所以+=+-4的最小值为5.故选C. 18.ACD　对于A,x+=-≤-2=-2,当且仅当x=-1时,等号成立,所以A正确; 对于B,==+≥2=2,当且仅当=时,等号成立, 易知x2+2=1无实数解,所以等号取不到,故B错误; 对于C,2-3x-=2-≤2-2=2-4,当且仅当3x=,x>0,即x=时,等号成立,所以2-3x-(x>0)的最大值为2-4,故C正确; 对于D,因为x≥0,所以x+1≥1, 所以=(x+1)+≥2=2, 当且仅当x+1=,即x=0时,等号成立,故D正确.故选ACD. 方法总结　利用基本不等式求二次式与一次式的商式的最值的解题步骤: (1)把商式拆成两个同号的代数式的和,且它们的积是定值; (2)利用基本不等式求商式的最值. 19.解题思路　(1)证明:由a=1,a2+b2+c2=3,得b2+c2=2, 则+=(b2+c2)=1++≥1+2=2, 当且仅当b=c=1时,等号成立. (2)易知ab≤(a2+b2),bc≤(b2+c2),ac≤(a2+c2),所以ab+bc+ac≤a2+b2+c2=3,当且仅当a=b=c=1时,等号成立,即ab+bc+ca的最大值为3. 名师点睛　(1)证明不等式时,充分利用条件是关键,要注意“1”的整体代换及几个“=”必须保证同时成立. (2)证明不等式时要注意灵活变形,可以多次利用基本不等式的变形形式. 20.解题思路　证明:(1)由c<d<0,得-c>-d>0, 又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0, 所以(a-c)2>(b-d)2>0,所以<, 又因为e<0,所以>. (2)因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1, 所以=××=××≥××=8, 当且仅当a=b=c=时,等号成立. 故≥8. 21.B　由题意得=+1+≥2+1=3, 当且仅当=,m>0,即m=200时,等号成立, 所以若要使每台设备的平均成本最低,则应购买设备200台.故选B. 22.C　因为(x-1)(y-2)=2,所以xy=2x+y,又x>0,y>0,所以+=1,所以3x+2y=(3x+2y)=7++≥7+2=7+4, 当且仅当x=1+,y=2+时,等号成立, 故3x+2y的最小值为7+4. 又因为不等式3x+2y>m恒成立,所以m<7+4,所以实数m的取值范围是{m|m<7+4}.故选C. 解题关键　由于不等式3x+2y>m恒成立,故只需(3x+2y)min>m,解题关键是将已知等式变形为+=1,利用基本不等式的乘“1”法,求出3x+2y的最小值. 23.答案　; 解题思路　由x,y∈R,2x2+2y2=1+xy≤1+可得x2+y2≤, 当且仅当x=y=±时,等号成立,故x2+y2的最大值为. 由2x2+2y2=1-(-x)y≥1-,可得x2+y2≥, 当且仅当x=,y=-或x=-,y=时,等号成立, 故x2+y2的最小值为. 24.答案　(1)4　(2){t|-2<t≤2} 解题思路　(1)当t=2时,4a2+4ab+b2=(2a+b)2=4, 又因为a,b为正实数,所以2a+b=2, 所以+=(2a+b)=≥=4, 当且仅当即时,等号成立, 故+的最小值为4. (2)正实数a,b和实数t满足4a2+2tab+b2=(2a+b)2+(2t-4)ab=4, 当t=2时,2a+b=2; 当2t-4>0,即t>2时, 4=(2a+b)2+(t-2)×2ab≤(2a+b)2+(t-2)·=×(2a+b)2, 即(2a+b)2≥,即2a+b≥,不符合题意; 当2t-4<0,即t<2时, 4=(2a+b)2+(t-2)×2ab≥(2a+b)2+(t-2)·=×(2a+b)2, 若2a+b存在最大值,则t+2>0,即t>-2,所以-2<t<2. 综上所述,若2a+b存在最大值,则t的取值范围为{t|-2<t≤2}. 25.解题思路　(1)当0≤x<40,100x∈N时, P=80x-x2-20x-100-500=-x2+60x-600, 当40≤x≤100,100x∈N时, P=80x--500=-x-+650, 故P= (2)当0≤x<40,100x∈N时, P=-(x-30)2+300,当x=30时,P取得最大值,为300, 当40≤x≤100,100x∈N时, P=-x-+650≤-2+650=350, 当且仅当x=60时,等号成立, 由于350>300,故当年产量为60百台时,企业所获年利润最大,最大年利润为350万元. 26.ACD　对于C,因为a>0,b>0,a+b=1,所以a+b≥2,当且仅当a=b=时,等号成立,即ab≤,故C正确;对于A,a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×=,故A正确;对于B,a,b的大小不能确定,故B错误;对于D,由(+)2=a+b+2=1+2≤2,得+≤,故D正确.综上可知,正确的选项为A、C、D. 27.答案　 解题思路　正实数a,b满足a+4b=1,则ab=a·4b≤×=,当且仅当a=,b=时,等号成立.故ab的最大值为. 28.答案　4 解题思路　++=+=+≥2=4, 当且仅当=,a>0,b>0,即(a+b)2=16,a>0,b>0,也即a+b=4时,取等号. 又∵ab=1,∴或时,取等号, ∴++的最小值为4. 29.答案　2 解题思路　因为a>0,b>0,所以++b≥2+b=+b≥2=2. 当且仅当即a=b=时,等号成立, 故++b的最小值为2. 30.答案　 解题思路　===2+. ∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2,解得0<xy≤2,当且仅当x=2y=2,即x=2且y=1时,“=”成立. 此时≥, ∴2+≥2+=, 故的最小值为. 31.解题思路　证明:(1)由a2+b2≥2ab,c2+b2≥2bc,a2+c2≥2ac得a2+b2+c2≥ab+bc+ca, 由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1, 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤. (2)因为a,b,c均为正数,所以+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c, 所以+++(a+b+c)≥2(a+b+c), 即++≥a+b+c, 又a+b+c=1,所以++≥1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2　基本不等式 A组　教材夯基础限时10分钟 　　　　　　　 1.(数学与生活)根据中国古代赵爽弦图设计的第24届国际数学家大会的会标,可以抽象成由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形ABCD,设直角三角形的两条直角边的长分别为a,b(a>b),则由正方形的面积和阴影部分的面积关系,可以直接得到的一个不等式是(　　) A.a2+b2>2ab B.a+b>2 C.a2+b2≥2ab D.a+b≥2 2.(填一填,记一记) (1)基本不等式: 基本不等式链 条件 ≤　　　　≤  a>0, b>0 当a=b时, 取“=” ab≤≤　　　  a,b∈R (2)利用基本不等式≤求最值. ①a>0,b>0(一正); ②ab=p(二定)(a+b)min=　　　　;  a+b=q(二定)(ab)max=　　　　.  提醒:利用基本不等式求最值应满足三个条件:“一正、二定、三相等”. 3.(判对错) (1)若a,b同号(ab≠0),则+≥2.(　　) (2)不等式ab≤与≤等号成立的条件是相同的.(　　) (3)6和8的几何平均数为2.(　　) (4)y=x+(x>0)的最小值是2.(　　) (5)若x>0,y>0且x+y=xy,则xy的最小值为4.(　　) 4.(教材P48习题2.2T2改编)已知x,y都是正数,则下列命题为真命题的是(　　) A.如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最大值2 B.如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最小值S2 C.如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+2y有最小值2 D.如果和x+2y等于定值S,那么当x=2y时,积xy有最大值S2 5.(教材P48习题2.2T1(1)改编)已知x<-1,则x+的最大值是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1 B.-2 C.-2 D.-3 6.(教材P48练习T2改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是　　　　m2.  7.(教材P46练习T2改编)已知a>0,b>0,证明:≥. B组　单一知识点限时50分钟 　　　 知识点1　利用基本不等式比较大小 8.(2025四川遂宁期中)已知a>b>0,则,,,中最大的是(　　) A. B. C. D. 9.(2025湖南长沙期中)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　) A.0<a<2 B.+≤1 C.≤2 D.a2+b2≤8 10.(2024广东深圳市高级中学期中)(多选)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(　　) A.a2+b2≥2ab B.a+b≥2 C.+> D.+≥2 11.(2025贵州期中)已知a,b>0,且ab=a+b+,则下列关系正确的是(　　) A.a+b≥5 B.a+b≤1 C.ab≥10 D.ab≤ 知识点2　利用基本不等式求最值 12.(2025山东东营月考)已知x>1,则x+的最小值为(　　) A.5 B.6 C.7 D.10 13.()若x<,则y=3x+1+有(　　) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-3 14.(2024广东潮州二中期中)已知0<x<,则x(2-3x)的最大值是(　　) A. B. C. D. 　　　　　　　　　　　　　　　　 变式14-1　(单元变换为双元)已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为(　　) A.16 B.25 C.9 D.36 变式14-2　(变为含根式的形式)已知0<x<2,则y=2x的最大值为(　　) A.2 B.4 C.5 D.6 15.(2024广西期末)已知a2+b2=ab+4,则a+b的最大值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.2 16.()已知x>0,y>0,z>0,且+=1,则x+y+z的最小值为(　　) A.8 B.9 C.12 D.16 17.(2024河南模拟)已知a+2b=1,且a>0,b>0,则+的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 18.知方法(2025辽宁月考改编)(多选)下列命题中正确的是(　　) A.x+(x<0)的最大值是-2 B.的最小值是2 C.2-3x-(x>0)的最大值是2-4 D.当x≥0时,≥2 知识点3　利用基本不等式证明不等式 19.(2024四川雅安期中)已知正实数a,b,c满足a2+b2+c2=3. (1)若a=1,证明:+≥2; (2)求ab+bc+ca的最大值. 20.(2025云南玉溪月考)证明下列不等式: (1)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>; (2)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证:≥8. 知识点4　基本不等式在实际问题中的应用 21.()某服装加工厂为了适应市场需求,引进某种新设备,以提高生产效率和降低生产成本,已知购买m台设备的总成本为y=m2+m+200(单位:万元).若要使每台设备的平均成本最低,则应购买设备(　　) A.100台 B.200台 C.300台 D.400台 C组　综合知识点限时20分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 22.(2024天津杨柳青第一中学期末)已知正数x,y满足(x-1)(y-2)=2,不等式3x+2y>m恒成立,则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m<4+6} B.{m|m>6+4} C.{m|m<7+4} D.{m|m>8+4} 23.(2024安徽安庆期末)已知x,y∈R且2x2+2y2=1+xy,则x2+y2的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  24.(2025浙江台州期中改编)已知正实数a,b和实数t满足4a2+2tab+b2=4.(1)若t=2,则+的最小值为　　　　;(2)若2a+b存在最大值,则t的取值范围为　　　　　　　.  25.(2025福建福州期中)某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备,并从2024年起全面发售.经测算,生产该高级设备每年需投入固定成本500万元,每生产x百台高级设备需要另投入成本y万元,且y=每百台高级设备售价为80万元. (1)求企业获得年利润P(万元)关于年产量x(百台)的函数关系式; (2)当年产量为多少时,企业所获年利润最大?并求最大年利润. D组　高考怎么考限时20分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 26.(2020全国新高考Ⅰ改编)(多选)已知a>0,b>0,且a+b=1,则(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.a2+b2≥ B.-≥0 C.ab≤ D.+≤ 27.(2023上海春季高考)已知正实数a,b满足a+4b=1,则ab的最大值为　　　　.  28.(2020天津高考)已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为　　　　.  29.(2021天津高考)若a>0,b>0,则++b的最小值为　　　　.  30.(2019天津高考)设x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为　　　　.  31.(2013全国Ⅱ)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ca≤; (2)++≥1. 学科网（北京）股份有限公司 $