课时作业 12 基本不等式的实际应用-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦基本不等式实际应用，通过基础巩固、综合辨析、实践建模三层设计，培养数学眼光观察现实问题、数学思维解决最值问题、数学语言表达模型构建的核心素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一不等式求最值|单选直接应用公式（如矩形面积最值），夯实概念理解| |中档层|条件约束下的综合应用|多选辨析最值条件（如CO₂处理成本分析），提升推理能力| |提升层|实际情境建模|解答题结合几何（内接矩形）、经济（货车运输时间）问题，发展应用意识|

课时作业 12 基本不等式的实际应用 一、选择题 1. 已知 ，则 取得最大值时， 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若 ，则函数 （ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 3. 已知 ， 都是正数，且满足 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 一批货物用 列货车（货车可视为质点）从 A 市以 的速度匀速送达 B 市，已知两地之间的铁路线长 ，为了安全，两列货车的间距不得小于 ，那么这批货物全部运到 B 市，最快需要（ ） A. B. C. D. 5. 已知 ，，且 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 一个周长为 的矩形，它的面积最大是（ ） A. B. C. D. 7. （多选题）已知 ，，则关于式子 的说法正确的是（ ） A. 最小值是 B. 最大值是 C. 当 时取得最小值 D. 当 时取得最大值 8. （多选题）某单位采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 ，最多为 ，月处理成本 （单位：元）与月处理量 （单位：）之间的函数关系可近似地表示为 ，且每处理 二氧化碳得到的可利用化工产品的价值为 元.以下判断正确的是（ ） A. 该单位每月处理量为 时，才能使每吨的月处理成本最低 B. 该单位每月最低可获利 元 C. 该单位每月既不获利，也不亏损 D. 每月至少亏损 元 二、填空题 9. 若 ， 都是正数，则 的最小值是________. 10. 在 “” 的两个 “” 中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________. 11. 已知正数 ， 满足 ，则 的最大值为________. 12. 某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为 的三级污水处理池，如图所示，池外围墙每平方米的造价为 元，中间两条隔墙每平方米的造价为 元，且墙高为 ，池底每平方米的造价为 元（池壁的厚度忽略不计，且池无盖）.若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长为______，宽为______. 三、解答题 13. 知 ，，，求 的最大值. 14. 在一块锐角三角形空地上，欲建一个面积最大的内接矩形花园，如图所示，求其边长 . 15. 已知 ， 为常数，， 为变量，，，， 都为正实数，满足 ，， 的最小值是 .求 ， 的值. 参考答案 1.B 2. A 3. A 4.A 解析：设这批货物从 A 市全部运到 B 市的时间为 ， 则 当且仅当 ，即 时等号成立，此时 . 5.B 解析： 因此当且仅当 ，即 时， 取得最大值 . 6.D 7. AC 8. AD 9. 解析： 当且仅当 时等号成立. 10. 解析：设两数为 ，，即 ， 当且仅当 ，且 ，，，即 ，且 时，等号成立，故应分别填上 ，. 11. 解析：因为 ，所以 ， 所以 当且仅当 即 时等号成立，所以 的最大值为 . 12. 解析：设总造价为 元，污水处理池的长为 ，则宽为 ， 当且仅当 ，即 时等号成立，此时污水处理池的长为 ，宽为 . 13.解：因为 ，，所以 ，即 ，得 ， 当且仅当 ， 时， 取得最大值 . 14.解：已知矩形一边长为 ，则设另一边为 ，由三角形相似得 ，且 ，，，，当且仅当 时，即为正方形时的面积 取最大值.所以其边长 时，花园面积最大. 15.解： 所以 .又 ，所以 或 . 学科网（北京）股份有限公司 $