2.2基本不等式与对勾函数专项突破练五-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦基本不等式与对勾函数，分层设计基础理解、综合应用、拓展探究三级梯度，实现从概念辨析到性质应用再到问题解决的知识巩固路径，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|对勾函数定义、图像与性质|第1题（取值范围）、第2题（图像判断）考查概念辨析，培养几何直观| |综合应用层|单调性、最值与参数范围|第5题（单调区间）、第6题（参数范围）强化性质应用，发展运算能力| |拓展探究层|证明与实际问题解决|第7题（单调性证明）、第8题（区间长度）提升探究能力，体现模型意识|

专项突破练五　基本不等式与对勾函数 1.A　[解析] 因为函数f(x)=x+在(1,2)上单调递减,在[2,3]上单调递增,所以f(2)=4是f(x)在(1,3]上的最小值,又f(1)=5,f(3)=,所以f(x)在(1,3]上的取值范围为[4,5). 2.A　[解析] 当a=0时,f(x)=,对应的图象是B选项.当a>0时,对应的图象是D选项.当a<0时,f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,对应的图象是C选项.故选A. 3.C　[解析] 化简可得f(x)=x+-1,设g(x)=x+,则f(x)=g(x)-1.由对勾函数的性质可知,g(x)的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞),所以函数f(x)=g(x)-1的值域为(-∞,-5]∪[3,+∞),故选C. 4.BCD　[解析] 当b=1时,函数f(x)=x+在区间(-1,0),(0,1)上单调递减,在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增.f(x)的图象如图①所示,可知函数f(x)没有最小值,故A错误,B正确;当b=-1时,f(x)=x-,x≠0,则f(-x)=-x+=-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,故D正确;函数f(x)=x-(x≠0)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,其图象如图②所示,所以函数f(x)的值域为R,故C正确.故选BCD. 5.(-4,0)和(0,4)　(-∞,-4)和(4,+∞)　[解析] f(x)==-x-=-,根据对勾函数的性质得函数y=x+在(-4,0)和(0,4)上单调递减,在(-∞,-4)和(4,+∞)上单调递增,故f(x)的单调递增区间为(-4,0)和(0,4),单调递减区间为(-∞,-4)和(4,+∞). 6.[2,4]　[解析] 由对勾函数的单调性知,当x∈(0,2)时,f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增,∴当x>0时,f(x)在x=2处取得最小值f(2)=4.若a≤2,则f(x)在[1,a]上单调递减,所以当x∈[1,a]时,f(x)max=f(1)=5,f(x)min=f(a)=a+,因为f(x)在区间[1,a]上的取值范围为[4,5],所以a+=4,解得a=2;若a>2,则f(x)在[1,2)上单调递减,在(2,a]上单调递增,f(x)min=f(2)=4,所以当x∈[1,a]时,f(x)max=max{f(1),f(a)}=max,因为f(x)在区间[1,a]上的值域为[4,5],所以a+≤5,解得1≤a≤4,又a>2,所以2<a≤4.综上可得,实数a的取值范围为[2,4]. 7.解:(1)f(x)在(0,1)上单调递减.证明如下: ∀x1,x2∈(0,1),且x1<x2,有f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=x1-x2+=(x1-x2). 因为0<x1<x2<1,所以x1-x2<0,1-<0, 则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减. (2)由(1)知,f(x)在(0,1)上单调递减, 又f(-x)=-x+=-=-f(x), 所以f(x)为奇函数,则f(x)在(-1,0)上单调递减. ①由解得<a<; ②由解得<a<1; ③由无解. 综上所述,实数a的取值范围是∪. 8.解:(1)因为点A(1,5),B(2,4)是f(x)的图象上的两点, 所以解得 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x+. (2)f(x)在[2,+∞)上单调递增.理由如下: 任取x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)+=, 因为x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>4,x1x2-4>0,则f(x1)-f(x2)=<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在[2,+∞)上单调递增. (3)存在满足题意的区间[a,b].易得f(x)=x+在(0,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,且f(2)+2=6,f(1)+2=f(4)+2=7, 因为当x∈[a,b]时,f(x)+2∈[6,7], 所以(b-a)max=4-1=3. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破练五　基本不等式与对勾函数 【方法综述】 1.对勾函数的定义 对勾函数是指形如y=ax+(ab>0)的一类函数,因其图象形态极像对勾,因此被称为“对勾函数”,又被称为“双勾函数”“勾函数”. (1)当a,b同号时,函数f(x)=ax+的图象形状酷似双勾,故称“对勾函数”,如图所示. (2)当a,b异号时,函数f(x)=ax+的图象形状发生了变化,如图所示. 2.对勾函数y=ax+(a>0,b>0)的性质 (1)定义域:(-∞,0)∪(0,+∞); (2)值域:(-∞,-2]∪[2,+∞); (3)奇偶性:奇函数; (4)单调性:在,上单调递增;在,上单调递减. 3.y=ax+(a>0,b>0)的单调区间的分界点为±. 求分界点的方法:令ax=,得x=±. 特殊地,当a>0时,y=x+的单调区间的分界点为±. 4.在应用对勾函数时主要是利用对勾函数的单调性求其最值,解题时要先找出对应的单调区间,然后求解. 5.利用对勾函数求最值,常常用到如下的重要不等式:若a>0,b>0,则当x>0时,ax+≥2,当且仅当ax=,即x=时取等号. 在应用这个不等式时,要注意使用的前提条件是“一正、二定、三相等”,即加号两边的项ax和都是正的,且二者乘积为定值,同时ax=中等号可取到.若等号取不到,则应根据对勾函数的单调性求解. 【针对训练】 1.已知函数f(x)=x+,则函数f(x)在(1,3]上的取值范围是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.[4,5) B.(4,5) C. D. 2.函数f(x)=ax+(a∈R)的图象不可能是 (　 ) A B C D 3.函数f(x)=的值域为 (　 ) A.[3,+∞) B.(-∞,-5] C.(-∞,-5]∪[3,+∞) D.[-1,+∞) 4.(多选题)对于函数f(x)=x+,下列说法正确的是 (　 ) A.若b=1,则函数f(x)的最小值为2 B.若b=1,则函数f(x)在(1,+∞)上单调递增 C.若b=-1,则函数f(x)的值域为R D.若b=-1,则函数f(x)是奇函数 5.函数f(x)=的单调递增区间为　　　　　　　,单调递减区间为　　　　　　　.  6.[2026·北京八中高一期中] 已知函数f(x)=x+在区间[1,a]上的取值范围为[4,5],则实数a的取值范围为　　　　.  7.[2026·长沙雅礼中学高一期中] 已知f(x)=x+,x∈(-1,0)∪(0,1). (1)用定义判断并证明函数f(x)在(0,1)上的单调性; (2)若f(a-1)<f(3a-2),求实数a的取值范围. 8.已知函数f(x)=kx+(k,h∈R),点A(1,5),B(2,4)是f(x)的图象上的两点. (1)求函数f(x)的解析式. (2)判断函数f(x)在[2,+∞)上的单调性,并说明理由. (3)定义区间[a,b](a<b)的长度为b-a,是否存在区间[a,b],使得当x∈[a,b]时,f(x)+2∈[6,7]?若存在,求出此区间长度的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $