2.1 等式性质与不等式性质-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

**基本信息** 围绕“等式性质与不等式性质”，通过A（基础）、B（单一知识点）、C（综合）、D（高考）四组分层设计，实现从概念记忆到综合应用再到高考对接的知识巩固路径，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|基本事实、性质、简单应用|结合生活情境（如盐水变淡），通过填空、判断巩固基础概念| |B组|单一知识点深化（比较大小、求范围等）|多选辨析性质易错点，改编教材习题强化应用| |C组|多知识点综合、实际应用|创新题（如下位序列）、一题多解培养数学思维| |D组|高考真题|对接高考题型，限时训练提升应试能力|

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 A组　教材夯基础限时10分钟 1.(数学与生活)已知b克盐水中有a克的盐(b>a>0),再添加m克水(m>0),盐水变淡了.下面式子可以说明这一事实的是(　　) A.< B.> C.< D.< 2.(填一填,记一记) (1)比较实数a,b(a,b∈R)大小的基本事实 a>b⇔a-b　　　　　0;  a=b⇔a-b　　　　　0;  a<b⇔a-b　　　　　0;  “作差法”的依据:比较两个数的大小转化为比较两个数之差与0的大小. (2)重要不等式:∀a,b∈R,有a2+b2　　　　2ab,当且仅当a=b时,等号成立.  (3)不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b　　a  传递性 a>b,b>c⇒a>c 可加性 a>b⇔a+c　　b+c  可乘性 ⇒ac　　bc  c的符号 ⇒ac　　bc  同向 可加性 ⇒a+c　　b+d  同向 同向同正 可乘性 ⇒ac　　bd  同向 同正 可乘方性 a>b>0⇒an　　bn  (n∈N*,n≥2) 同正 3.(判对错) (1)a>b,a+c>b+d⇒c>d.(　　) (2)若>1,则b>a.(　　) (3)若a<b<0,则<(n∈N*).(　　) 4.(教材P39探究改编)在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客. 右图是根据会标抽象成的图形,则下列命题能通过该图形证明的是(　　) A.如果a>b>0,那么> B.如果a>b>0,那么a2>b2 C.对任意正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立 D.对任意正实数a和b,有a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立 5.(教材P43习题2.1T3改编)设M=2a2+5a+4,N=(a+1)(a+3),则M与N的大小关系为(　　) A.M>N　 B.M=N　 C.M<N　 D.无法确定 6.(人教B版必修第一册P67练习AT3改编)用“>”或“<”填空. (1)若a<b,则a-4　　　　b-3;  (2)若a<b<0,则　　　 ; (3)若c>a>b>0,则ac　　　　bc.  7.(教材P43习题2.1T5改编)已知1<a<2,2<b<3. (1)求a-b的取值范围; (2)求的取值范围. B组　单一知识点限时15分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1　利用不等式(组)表示不等关系 8.(2025河北石家庄期中)(多选)火车站有某公司待运的甲种货物306吨,乙种货物230吨.现计划用A,B两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节A型货厢,5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节B型货厢,据此安排A,B两种货厢的节数,则满足要求的方案为(　　) A.A货厢28节,B货厢22节 B.A货厢29节,B货厢21节 C.A货厢31节,B货厢19节 D.A货厢30节,B货厢20节 9.(2025河南月考)在某校新生军训考核评比中,甲班的分数大于乙班的分数,甲班和乙班的分数之和大于170,且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为x,y,则用不等式组表示为　　　　　　　　.  知识点2　利用不等式的性质比较数(式)的大小 10.知方法(2024浙江杭州第四中学期末)(多选)若a,b,c,d∈R,则给出下列命题中,错误的是(　　) A.若a>b,c>d,则a+c>b+d B.若a>b,c>d,则b-c>a-d C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若a>b,c>0,则ac>bc 11.明易错(2024广西百色期末)(多选)下列结论正确的是(　　) A.若a>b,则ac>bc B.若a>b>0,则< C.若ac2>bc2,则a>b D.若a<b<0,则a2>b2 12.一题多变(2025浙江丽水期中)(多选)已知a,b,c∈R,则下列说法正确的是(　　) A.若a>b>0,则ac>bc B.若a>b,c>d,则a-d>b-c C.若ac2>bc2,则a3>b3 D.若b>a>0,c>0,则< 知识点3　作差法比较数(式)的大小 13.知方法(2025湖北期中)已知a,b,c∈R,则下列结论中正确的有(　　) A.若a>b且>,则ab>0 B.若c>a>b>0,则> C.若a>b>c>0,则< D.若a<b,则ac2>bc2 14.()已知a=+,b=4,c=+,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.b>c>a 知识点4　利用不等式性质求取值范围 15.明易错(2024陕西期末)已知-1<a<5,-3<b<1,则以下结论错误的是(　　) A.-15<ab<5 B.-4<a+b<6 C.-2<a-b<8 D.-<<5 16.(2024浙江杭州期末)若实数x,y满足-<x<y<,则x-y的取值范围为　　　　　.  17.()已知2≤2x+3y≤6,-3≤5x-6y≤9,则11x+3y的取值范围为　　　　　　　.  C组　综合知识点限时20分钟 　　　 18.()货车张师傅要给自己的货车分两次加同一品质的柴油,他在加油时可以采用两种不同的策略,第一种策略:每次加油量一定;第二种策略:每次加油时所花的钱数一定.若每次加油时油价不相同,则张师傅更经济的加油策略为(　　) A.第一种 B.第二种 C.都一样 D.无法比较 19.()(1)一题多解对于实数a,b,c,下列命题中的真命题是(　　) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b>0,则> C.若a<b<0,则> D.若a>b,>,则a>0,b<0 (2)知方法已知-1<x<4,2<y<3, 则x-y的取值范围为　　　　　　　;  3x+2y的取值范围为　　　　　　　.  20.()已知命题α:-3≤x<7,命题β:k+1≤x≤2k-1,且α是β的必要条件,则实数k的取值范围为　　　　.  21.(2024重庆联考)(1)已知1<a<6,3<b<4,求2a-b,的取值范围; (2)已知a,b,x,y>0,且>,x>y,试比较与的大小. 22.创新题(2025上海月考)对于四个正数x,y,z,w,如果<,那么称(x,y)是(z,w)的“下位序列”. (1)对于2,3,7,11,试问(2,7)是不是(3,11)的“下位序列”,请说明理由; (2)设a,b,c,d均为正数,且(a,b)是(c,d)的“下位序列”,试判断,,之间的大小关系,并说明理由; (3)已知正整数n满足条件:对集合{m|0<m<2 022,m∈N}内的每个元素m,总存在正整数k,使得(m,2 022)是(k,n)的“下位序列”,且(k,n)是(m+1,2 023)的“下位序列”,求n的最小值. D组　高考怎么考限时5分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 23.(2006上海春季高考)若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是(　　) A.< B.a2<b2 C.> D.a|c|>b|c| 24.(2014四川高考)若a>b>0,c<d<0,则一定有(　　) A.> B.< C.> D.< 25.(2010辽宁高考改编)已知-1<x+y<4且2<x-y<3,则z=2x-3y的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 1.A　向盐水中加入m克水,盐水的浓度变为,此时浓度变小,盐水变淡,即<,故选A. 2.(1)>　=　<　(2)≥　(3)<　>　>　<　>　>　> 3.(1)✕　(2)✕　(3)√ 4.C　通过观察,可以发现题图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边长为a,短直角边长为b,则整个大正方形的面积大于或等于这4个直角三角形的面积和,即a2+b2≥4×,即a2+b2≥2ab,当a=b时,整个大正方形与4个直角三角形重合.其他选项通过题图无法证明.故选C. 5.A　M-N=2a2+5a+4-(a+1)(a+3)=a2+a+1=+>0,所以M>N.故选A. 6.答案　(1)<　(2)>　(3)> 7.解题思路　(1)∵2<b<3,∴-3<-b<-2, 又∵1<a<2,∴-2<a-b<0, ∴a-b的取值范围为{a-b|-2<a-b<0}. (2)由2<b<3,得<<,又1<a<2,∴1×<a·<2×,即<<1.故的取值范围是. 8.ABD　设A,B两种型号的货厢分别安排x节,y节, 则 由7x+5y=7x+5(50-x)=2x+250≥306,解得x≥28, 由3x+7y=3x+7(50-x)=350-4x≥230,解得x≤30, 所以28≤x≤30,x∈N, 则或或共3种方案.故选ABD. 9.答案　 10.BC　对于A,因为a>b,c>d,所以a+c>b+d,故A中命题正确; 对于B,因为c>d,所以-d>-c,又a>b,所以a-d>b-c,故B中命题错误; 对于C,取a=-1,b=-2,c=1,d=-5,满足a>b,c>d,但是ac=-1<bd=10,故C中命题错误; 对于D,因为a>b,c>0,所以ac>bc,故D中命题正确.故选BC. 方法总结　利用不等式的性质比较数(式)的大小的策略 判断不等式是否成立,主要利用不等式的性质和特殊值验证这两种方法.对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简便.注意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算. 11.BCD　对于A,若a>b,c=0,则ac=bc=0,故A错误; 对于B,若a>b>0,则-=<0,即<,故B正确; 对于C,若ac2>bc2,则c2>0,a>b,故C正确; 对于D,若a<b<0,则a2-b2=(a+b)(a-b)>0,即a2>b2,故D正确.故选BCD. 易错警示　在使用不等式的性质时,一定要注意不等式性质成立的前提条件,不可强化或弱化不等式成立的条件,如“同向不等式”才可以相加,“同向且两边同正的不等式”才可相乘. 12.BCD　对于A,当c<0时,ac<bc,A错误; 对于B,由c>d可得-d>-c,又a>b,所以a-d>b-c,B正确; 对于C,因为ac2>bc2,故c2>0,所以a>b,所以a3>b3,C正确; 对于D,-==, 因为b>a>0,c>0,所以<0, 所以<,D正确.故选BCD. 变化结论　将D选项变为若b>a>0,c>0,则>. 解法一:(利用不等式性质)由b>a>0,c>0得bc>ac>0,b2>a2>0,b+c>0, 所以b2+bc=b(b+c)>a2+ac=a(a+c)>0,所以>,所以D正确. 解法二:由b>a>0,c>0得b+c>a+c>0, 所以>1>,所以D正确. 解法三:(作差法)由已知可得,b-a>0,a+b+c>0, 所以-==>0,所以D正确. 13.B　对于A选项,若a>b且>, 则a-b>0,-=<0,则ab<0,A错; 对于B选项,因为c>a>b>0,所以a-b>0,c-a>0,c-b>0, 则-==>0,即>,B对; 对于C选项,因为a>b>c>0,所以a-b>0, 则-==>0,即>,C错; 对于D选项,当c=0时,ac2=bc2,D错. 故选B. 方法总结　利用“作差法”比较大小的步骤及技巧 (1)步骤:①相减作差;②变形;③判断差的符号;④下结论. (2)变形中的技巧:分解因式、分(子)母有理化、配方等. 14.D　易知a,b,c均大于零,a2=(+)2=8+4,c2=(+)2=8+2,所以c2>a2,又c与a均大于零,所以c>a,易知b2-c2=16-(8+2)=8-2>0,所以b2>c2,又b与c均大于零,所以b>c,所以b>c>a,故选D. 15.D　对于A,由可得-15<ab<3, 由可得ab=0,由可得-1<ab<5. 综上,-15<ab<5,故A中结论正确. 对于B,因为-1<a<5,-3<b<1,所以-4<a+b<6,故B中结论正确. 对于C,因为-3<b<1,所以-1<-b<3,又-1<a<5, 所以-2<a-b<8,故C中结论正确. 对于D,当a=4,b=时,=8,故D中结论错误.故选D. 易错警示　利用不等式性质求取值范围需要注意的几个问题 在使用不等式的性质时,一定要注意不等式性质成立的前提条件,不能随意改变. (1)“同向不等式”才可以相加,否则需要转化; (2)“同向且两边同正的不等式”才可相乘,如果相除,需要进行倒数转化;如果不是同正,可通过分类讨论或乘“-1”进行转化至符合相乘的条件. 16.答案　{x-y|-1<x-y<0} 解题思路　由-<x<y<,得-<x<,-<y<, 所以-<-y<,所以-1<x-y<1, 又x<y,所以-1<x-y<0, 所以x-y的取值范围为{x-y|-1<x-y<0}. 名师点睛　在不等式中,没有“同向相减”“同向相除”,应把“相减”“相除”转化为“同向相加”“同向同正相乘”后再进行相关计算. 17.答案　{11x+3y|3≤11x+3y≤27} 解题思路　设11x+3y=m(2x+3y)+n(5x-6y),m,n∈R,则11x+3y=(2m+5n)x+(3m-6n)y, 所以解得 故11x+3y=3(2x+3y)+5x-6y. 又2≤2x+3y≤6,-3≤5x-6y≤9, 所以3≤3(2x+3y)+5x-6y≤27,即3≤11x+3y≤27. 所以11x+3y的取值范围为{11x+3y|3≤11x+3y≤27}. 思路分析　利用待定系数法,设11x+3y=m(2x+3y)+n(5x-6y),m,n∈R,由相等关系列方程组求出m,n,再利用不等式的性质求解即可. 18.B　按第一种策略,设第一次加油时油价为P1元/升,加n升,第二次加油时油价为P2元/升,加n升,按这种策略加油时两次的平均油价为=元/升; 按第二种策略,设第一次加油时花m元,加升,第二次加油时花m元,加升,按这种策略加油时两次的平均油价为==元/升, 又P1≠P2,所以-==>0, 所以第一种策略的平均油价高于第二种策略的平均油价,故第二种加油策略更经济,故选B. 19.(1)D　解法一:当c=0时,ac2=bc2,故A中命题为假命题; 由a>b>0,得ab>0,则>⇒>,故B中命题为假命题; a<b<0⇒-a>-b>0⇒->->0,则>,故C中命题为假命题; ⇒ab<0,又∵a>b,∴a>0且b<0,故D中命题为真命题. 解法二:(特殊值排除法)对于A,取c=0,则ac2=bc2,故A错; 对于B,取a=2,b=1,则=,=1,则<,故B错; 对于C,取a=-2,b=-1,则=,=2,则<,故C错.故排除A,B,C,故选D. (2)答案　{x-y|-4<x-y<2};{3x+2y|1<3x+2y<18} 解题思路　因为2<y<3,所以-3<-y<-2,又-1<x<4,所以-4<x-y<2.故x-y的取值范围为{x-y|-4<x-y<2}. 由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,所以1<3x+2y<18.故3x+2y的取值范围是{3x+2y|1<3x+2y<18}. 延伸探究　(2)中条件改为已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,求3x-2y的取值范围. 设3x-2y=m(x+y)-n(x-y)=(m-n)x+(m+n)y, 所以解得 所以3x-2y=(x+y)+(x-y), 又因为-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3, 所以2≤3x-2y=(x+y)+(x-y)≤8. 故3x-2y的取值范围是{3x-2y|2≤3x-2y≤8}. 方法总结　已知ax,by(ab≠0)通过加、减、乘、除构成的式子的取值范围,求解形如cx±dy(cd≠0)的取值范围问题时,要利用待定系数法,将cx±dy(cd≠0)用已知条件的关系式整体代换. 20.答案　{k|k<4} 审题指导　根据α是β的必要条件,可以得到集合{x|-3≤x<7}与{x|k+1≤x≤2k-1}之间的包含关系,从而求出k的取值范围. 解题思路　设A={x|-3≤x<7},B={x|k+1≤x≤2k-1}, ∵α是β的必要条件,∴B⊆A. 当B=⌀时,k+1>2k-1⇒k<2; 当B≠⌀时,⇒⇒2≤k<4. 综上,实数k的取值范围为{k|k<4}. 21.解题思路　(1)∵1<a<6,3<b<4, ∴2<2a<12,<<,-4<-b<-3. ∴-2<2a-b<9,<<2. (2)-=, ∵>且a,b>0, ∴b>a>0.又x>y>0,∴bx>ay>0,(x+a)(y+b)>0, ∴->0,即>. 22.解题思路　(1)不是.理由如下:由于>,故不满足“下位序列”的概念,所以(2,7)不是(3,11)的“下位序列”. (2)由(a,b)是(c,d)的“下位序列”,得<, 又a,b,c,d均为正数,所以ad<bc, 则-==>0,即>, -==<0,即>, 所以>>. (3)由题可知m,k,n∈N*,由(m,2 022)是(k,n)的“下位序列”,得<, 所以mn<2 022k,则mn+1≤2 022k, 由(k,n)是(m+1,2 023)的“下位序列”,得<, 所以(m+1)n>2 023k,则mn+n-1≥2 023k, 所以2 022(mn+n-1)≥2 022×2 023k≥2 023(mn+1), 则n≥, 又上式对集合{m|0<m<2 022,m∈N}内的每个m均成立, 所以n≥=4 045,所以正整数n的最小值为4 045. 23.C　对于A,取a=1,b=-1,满足a>b,但>,故A错误; 对于B,取a=1,b=-1,满足a>b,但a2=b2,故B错误; 对于C,因为c2+1≥1>0,所以>0, 又a>b,所以>,故C正确; 对于D,取c=0,则a|c|=b|c|,故D错误. 故选C. 24.D　因为c<d<0,所以->->0,又a>b>0,所以->-,故<.故选D. 25.答案　{z|3<z<8} 解题思路　设z=a(x+y)+b(x-y)=(a+b)x+(a-b)y, 又z=2x-3y,∴解得即z=-(x+y)+(x-y), ∵-1<x+y<4且2<x-y<3, ∴-2<-(x+y)<且5<(x-y)<, ∴3<-(x+y)+(x-y)<8. 故z=2x-3y的取值范围是{z|3<z<8}. 学科网（北京）股份有限公司 $