第二章 一元二次函数、方程和不等式 综合检测卷-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

**基本信息** 第二章不等式单元复习卷，以真题改编为载体，覆盖充分必要条件、不等式解法等核心知识，通过分层设计落实数学思维与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6/30|充分必要条件、不等式解集、恒成立问题|结合2024江苏镇江期中题，考查逻辑推理| |多选|3/18|基本不等式、二次不等式性质|第7题辨析函数最值与充要条件，培养批判性思维| |填空|3/15|方程根分布、不等式论断|第11题开放设问，发展创新意识| |解答|4/37|二次函数综合、不等式证明、利润应用|16题以双十一销售为情境，体现数学语言表达现实世界|

第二章　综合检测限时60分钟满分100分 一、单项选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2024江苏镇江期中)“|x|<3”是“x2<x”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2024广东湛江开学考试)关于x的不等式-x2+mx+n>0的解集为{x|-1<x<2},则m+n的值为　(　　) A.- B.- C. D. 3.(2025山东东营检测)当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≤2} B.{a|a≥2} C.{a|a≥3} D.{a|a≤3} 4.(2024辽宁阶段练习)当x>0时,不等式x2-mx+16>0恒成立,则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m<8} B.{m|m≤8} C.{m|m≥8} D.{m|m>6} 5.(2025广东肇庆月考)某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,则每天能卖出30个,若一个削笔器的售价每提高1元,则日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,这批削笔器的销售单价x(单位:元)的取值范围是(　　) A.{x|10<x<20} B.{x|15≤x<20} C.{x|16<x<20} D.{x|15≤x<25} 6.(2025浙江温州期中)已知正数a,b满足+=1,则a+b的最小值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 7.(2024广东深圳期中)下列说法正确的是(　　) A.函数y=x+的最小值为2 B.若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“|a|+|b|≠0”的充要条件 C.若a,b,m为正实数,a>b,则< D.“>”是“a<b”的充分不必要条件 8.(2025山东德州月考)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-2或x≥1},则(　　) A.b>0且c<0 B.4a+2b+c=0 C.关于x的不等式bx+c>0的解集为{x|x>2} D.关于x的不等式cx2-bx+a<0的解集为x-1<x< 9.(2025辽宁丹东期中)若实数x,y满足x2+y2=3,则(　　) A.xy的最大值为 B.xy的最小值为- C.x+y的最大值为 D.x+y的最小值为- 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 10.(2025北京阶段练习)已知关于x的方程x2+(2m-1)x+4-2m=0的两根一个比2大,另一个比2小,则实数m的取值范围是　　　　　.  11.(2025山东滨州模拟)给出下列三个论断:①a>b>c;②ab>bc;③b>0且c<0.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,请你写出一个正确的命题:　.  12.(2025重庆期中)当x≥0时,关于x的不等式(x-a+2)[x2-(a+a2)x+a3]≥0恒成立,则实数a的值为　　　　　　.  四、解答题(本题共4小题,共37分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 13.(8分)(2024河北保定阶段练习)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1. (1)证明:ab+bc+ca<0; (2)若a>b,证明:a3>b3. 14.(9分)(2025上海期中)(1)已知a>1,求证:<; (2)已知正数x,y满足x+3y=2,求证:+≥2+. 15.(10分)(2025江苏盐城期中)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=-4有且仅有一个公共点,且关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|-1≤x≤3}. (1)求此二次函数的解析式; (2)关于x的不等式ax2+bx+c<(m-1)x-m-3的解集中恰有一个正整数,求实数m的取值范围; (3)∀m∈{m|0≤m≤2},不等式ax2+bx+c<(m-2)x恒成立,求实数x的取值范围. 16.(10分)(2025浙江温州期中)双十一期间,某服装公司在各大网络平台销售运动衣,经调研,每件运动衣的售价y(单位:元)与销量x(单位:万件)之间满足关系式y=已知公司每年固定成本为10万元,每生产1万件运动衣需要再投入4万元.设该公司一年内生产的运动衣全部销售完.当公司销售8万件运动衣时,年利润为990万元;当公司销售20万件运动衣时,年利润为1 145万元. (1)写出年利润W(万元)关于年销量x(万件)的函数解析式; (2)当年产量为多少万件时,公司年利润最大?并求出最大年利润. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　综合检测 1.B　由|x|<3,解得-3<x<3;由x2<x,解得0<x<1. 易知{x|0<x<1}是{x|-3<x<3}的真子集,所以“|x|<3”是“x2<x”的必要不充分条件.故选B. 2.C　解法一:因为关于x的不等式-x2+mx+n>0的解集为{x|-1<x<2}, 所以-1,2是关于x的方程-x2+mx+n=0的两个实根, 所以解得 所以m+n=.故选C. 解法二:因为关于x的不等式-x2+mx+n>0的解集为{x|-1<x<2}, 所以-1,2是关于x的方程-x2+mx+n=0的两个实根, 由根与系数的关系可得 ①-②整理得m+n=,故选C. 3.D　当x>1时,x-1>0,故x+=(x-1)++1≥2+1=3,当且仅当x=2时,等号成立,又不等式x+≥a恒成立,所以a≤=3,故a≤3,故选D. 4.A　当x>0时,不等式x2-mx+16>0恒成立, 则m<=x+,x>0恒成立, 只需m<(x>0)即可. 易知当x>0时,x+≥2=8,当且仅当x=4时,取等号. 所以当x>0时,=8,所以实数m的取值范围是{m|m<8}.故选A. 5.B　这批削笔器的销售单价为x元,则x≥15, 由题意得[30-(x-15)×2]·x>400,且30-(x-15)×2>0,即x2-30x+200<0,15≤x<30, 易知方程x2-30x+200=0的两个实数根分别为x1=10,x2=20, ∴x2-30x+200<0的解集为{x|10<x<20}, 又∵15≤x<30,∴15≤x<20, 故这批削笔器的销售单价x(单位:元)的取值范围是{x|15≤x<20}时,才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 故选B. 6.B　由题意知a>0,b+1>0,则a+b=(a+b+1)-1=(a+b+1)·-1=++1≥2+1=3, 当且仅当a=2,b=1时,取等号.故选B. 7.BC　对于A,当x取负值时,显然不成立,故A错误. 对于B,若a,b∈R,则由a2+b2≠0,可知a,b不同时为0,由|a|+|b|≠0,可知a,b不同时为0, 所以“a2+b2≠0”是“|a|+|b|≠0”的充要条件,故B正确. 对于C,-==<0, 所以<,故C正确. 对于D,若>,则当a>0,b>0时,0<a<b;当a<0,b<0时,a<b<0;当a,b异号时,a>0>b. 若a<b,则当a,b同号时,>;当a,b异号时,a<0<b,则<. 所以“>”是“a<b”的既不充分也不必要条件,故D错误.故选BC. 8.AC　依题意可得-2,1是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个实根,且a>0. 由根与系数的关系可得 即b=a,c=-2a. 对于A,由a>0可得b=a>0,c=-2a<0,故A正确; 对于B,易知4a+2b+c=4a>0,故B错误; 对于C,关于x的不等式bx+c>0即ax>2a,不等号两边同时除以a可得x>2,所以关于x的不等式bx+c>0的解集为{x|x>2},故C正确; 对于D,关于x的不等式cx2-bx+a<0即-2ax2-ax+a<0,化简得(2x-1)(x+1)>0,解得x>或x<-1,即关于x的不等式cx2-bx+a<0的解集为,故D错误. 故选AC. 9.AD　因为所以-(x2+y2)≤2xy≤x2+y2, 所以-≤xy≤, 易知当x=y=±时,xy=,当或时,xy=-, 所以xy的最大值为,最小值为-,故A正确,B错误; 因为(x+y)2=x2+y2+2xy=3+2xy,2xy∈[-3,3], 所以(x+y)2∈[0,6],所以-≤x+y≤, 当x=y=时,x+y=,当x=y=-时,x+y=-, 所以x+y的最大值为,最小值为-,故C错误,D正确. 故选AD. 10.答案　{m|m<-3} 解题思路　因为关于x的方程x2+(2m-1)x+4-2m=0的两根一个比2大,另一个比2小, 所以22+2(2m-1)+4-2m=6+2m<0,解得m<-3, 因此,实数m的取值范围是{m|m<-3}. 11.答案　若a>b>c,b>0且c<0,则ab>bc 解题思路　当选择①③作为条件,②作为结论时,若a>b>c,b>0且c<0,则ab>bc,此时命题正确; 当选择①②作为条件,③作为结论时,若ab>bc,则(a-c)·b>0,又a>b>c,所以b>0,但c可能为0,故选择①②作为条件,③作为结论的命题不正确; 当选择②③作为条件,①作为结论时,若ab>bc,则(a-c)·b>0,又b>0且c<0,所以a>c,但a与b大小关系不确定,故选择②③作为条件,①作为结论的命题不正确. 故答案为若a>b>c,b>0且c<0,则ab>bc. 12.答案　0或1 解题思路　由已知可得(x-a+2)(x-a)(x-a2)≥0, 易知该不等式对应的方程的三个根分别为x1=a-2,x2=a,x3=a2,易知x2>x1,x3≥0且a2>a-2恒成立. 当a2=0,即a=0时,原不等式变为x2(x+2)≥0,易知满足题意; 当a2>0时,因为当x≥0时,关于x的不等式(x-a+2)·[x2-(a+a2)x+a3]≥0恒成立,所以a=a2,a-2≤0,解得a=1. 综上,a=0或a=1. 故答案为0或1. 13.解题思路　证明:(1)易知(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,(2分) ∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2).(3分) 由abc=1知a,b,c不同时为0,故a2+b2+c2>0, ∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)<0.(4分) (2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).(6分) a2+ab+b2=+b2≥0,取等号的条件为a=b=0,而a>b,∴等号无法取得, 故a2+ab+b2=+b2>0,(7分) ∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0,∴a3>b3.(8分) 14.解题思路　证明:(1)-==,(1分) 因为a>1,所以a2-1>0,-2a<0,故<0,(3分) 所以<,得证.(4分) (2)因为正数x,y满足x+3y=2, 所以+=(x+3y)= ≥=×(4+2)=2+,(8分) 当且仅当x=-1,y=1-时,等号成立, 故得证.(9分) 15.解题思路　(1)由关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|-1≤x≤3}, 得a>0且-1,3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根,(1分) 所以ax2+bx+c=a(x+1)(x-3), 所以函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,其对称轴为直线x=1,(2分) 而该图象与直线y=-4有且仅有一个公共点, 所以y=a(x+1)(x-3)图象的顶点坐标为(1,-4), 于是-4=-4a,解得a=1, 所以此二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3),即y=x2-2x-3.(3分) (2)由(1)得ax2+bx+c<(m-1)x-m-3即x2-2x-3<(m-1)x-m-3, 整理得x2-(m+1)x+m<0,即(x-1)(x-m)<0,(4分) 依题意得,关于x的不等式(x-1)(x-m)<0(*)的解集中恰有一个正整数,所以m≠1, 当m<1时,(*)的解集为{x|m<x<1},不合题意,故舍去;(5分) 当m>1时,(*)的解集为{x|1<x<m},要使解集中恰有一个正整数, 则必有2<m≤3, 所以实数m的取值范围是{m|2<m≤3}.(7分) (3)∀m∈{m|0≤m≤2},不等式ax2+bx+c<(m-2)x恒成立, 即∀m∈{m|0≤m≤2},不等式mx-x2+3>0恒成立,(8分) 令g(m)=mx-x2+3,0≤m≤2,则 解得-1<x<, 即实数x的取值范围为{x|-1<x<}.(10分) 16.解题思路　(1)当销售8万件运动衣时,年利润为990万元, 所以(a-5×8)×8-10-4×8=990,解得a=169.(1分) 当销售20万件运动衣时,年利润为1 145万元, 所以×20-10-4×20=1 145,解得b=1 280.(2分) 所以当0<x≤10时,W=x(169-5x)-(4x+10)=-5x2+165x-10;(3分) 当x>10时,W=x-(4x+10)=--4x+1 270.(4分) 综上,W=(5分) (2)当0<x≤10时,W=-5+, 由二次函数知识得,当x=10时,W取最大值,为-5×102+165×10-10=1 140;(6分) 当x>10时,W=--4x+1 270, 由于+4x≥2=120,(8分) 当且仅当x=15时,取等号,所以此时W的最大值为1 270-120=1 150.(9分) 又1 140<1 150,所以当年产量为15万件时,公司年利润最大,为1 150万元.(10分) 学科网（北京）股份有限公司 $