2.1 等式性质与不等式性质 分级同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦不等式性质，通过基础巩固、综合应用、实际建模三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|不等式基本性质、大小比较|选择题1-4直接考查性质判断，解答题9-10训练作差法推理| |提升层|性质综合应用、取值范围|填空题8结合产值优化，附加题1-3涉及多变量不等关系| |拓展层|实际情境建模|运输方案设计题需构建不等式组，采光问题体现数学与现实联系|

等式性质与不等式性质同步练 一、选择题 1．若<<0(a，b∈R)，则下列不等式恒成立的是(　　) A．a<b B．a＋b>ab C．|a|>|b| D．ab<b2 2．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　) A．ab>bc B．ac>bc C．ab>ac D．a|b|>|b|c 3．已知a>b>0，则－与的大小关系是(　　) A．－> B．－< C．－＝ D．无法确定 4．已知0<a1<1,0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．M≥N 5．(多选)设a，b为正实数，则下列命题正确的是(　　) A．若a2－b2＝1，则a－b<1 B．若－＝1，则a－b<1 C．|－|＝1，则|a－b|<1 D．|a|≤1，|b|≤1，则|a－b|≤|1－ab| 二、填空题 6．若x∈R，则与的大小关系为________. 7．已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围为________，的取值范围为________. 8．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 产品种类 每件需要人员数 每件产值(万元/件) A类 7.5 B类 6 今制定计划欲使总产值最高，则A类产品应生产________件，最高产值为________万元． 三、解答题 9．已知x>y>z>0，求证：>. 10．已知x∈R且x≠－1，比较与1－x的大小． 1．足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满．则A队有出租车(　　) A．11辆 B．10辆 C．9辆 D．8辆 2．若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是(　　) A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π C．－<2α－β< D．0<2α－β<π 3．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题： ①若ab>0，bc－ad>0，则－>0； ②若ab>0，－>0，则bc－ad>0； ③若bc－ad>0，－>0，则ab>0. 其中正确的命题是________(填序号)． 4．已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，求2x－3y的取值范围． 5．建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好．试问：若同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由． 扬州火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，现计划用50节A，B两种型号的车厢将这批货物运至北京．已知每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元；甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的运费最少，最少运费是多少？ 等式性质与不等式性质同步练参考答案 一、选择题 1．若<<0(a，b∈R)，则下列不等式恒成立的是(　　) A．a<b B．a＋b>ab C．|a|>|b| D．ab<b2 答案　D 解析　因为<<0，所以a<0，b<0，所以ab>0，a＋b<0，所以a＋b<ab，故B错误；<两边同乘以ab，得b<a<0，所以|a|<|b|，故A，C错误；b<a<0两边同乘以b，得b2>ab，即ab<b2，故D正确． 2．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　) A．ab>bc B．ac>bc C．ab>ac D．a|b|>|b|c 答案　C 解析　因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac. 3．已知a>b>0，则－与的大小关系是(　　) A．－> B．－< C．－＝ D．无法确定 答案　B 解析　因为a>b>0，所以ab>b2>0，所以>b，所以(－)2－()2＝a＋b－2－a＋b＝2b－2<0，所以－<. 4．已知0<a1<1,0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．M≥N 答案　B 解析　∵0<a1<1,0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N. 5．(多选)设a，b为正实数，则下列命题正确的是(　　) A．若a2－b2＝1，则a－b<1 B．若－＝1，则a－b<1 C．|－|＝1，则|a－b|<1 D．|a|≤1，|b|≤1，则|a－b|≤|1－ab| 答案　AD 解析　对于A，因为a，b为正实数，则a2－b2＝1⇒a－b＝⇒a－b>0⇒a>b>0，故a＋b>a－b>0，若a－b≥1，则≥1⇒a＋b≤1，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立，所以A正确；对于B，取a＝5，b＝，则－＝1，但a－b＝5－>1，所以B不正确；对于C，取a＝4，b＝1，则|－|＝1，但|a－b|＝3<1不成立，所以C不正确；对于D，(a－b)2－(1－ab)2＝a2＋b2－1－a2b2＝(a2－1)(1－b2)≤0，即|a－b|≤|1－ab|，所以D正确．故选AD. 二、填空题 6．若x∈R，则与的大小关系为________. 答案　≤ 解析　∵－＝＝≤0， ∴≤. 7．已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围为________，的取值范围为________. 答案　27＜x－y＜56　＜＜3 解析　∵28＜y＜33， ∴－33＜－y＜－28，＜＜. 又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，＜＜， 即＜＜3. 8．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 产品种类 每件需要人员数 每件产值(万元/件) A类 7.5 B类 6 今制定计划欲使总产值最高，则A类产品应生产________件，最高产值为________万元． 答案　20　330 解析　设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件，则＋≤20，解得x≤20. 由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330， 当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以应开发A类电子器件20件，能使产值最高，为330万元． 三、解答题 9．已知x>y>z>0，求证：>. 证明　因为x>y，所以x－y>0，所以>0. 又因为y>z>0，所以>.① 因为y>z，所以－y<－z，所以x－y<x－z. 所以0<x－y<x－z，所以>>0. 又因为z>0，所以>.② 由①②得>. 10．已知x∈R且x≠－1，比较与1－x的大小． 解　∵－(1－x)＝＝， 当x＝0时，＝1－x； 当1＋x<0，即x<－1时，<0， ∴<1－x； 当1＋x>0且x≠0，即－1<x<0或x>0时， >0， ∴>1－x. 1．足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满．则A队有出租车(　　) A．11辆 B．10辆 C．9辆 D．8辆 答案　B 解析　设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x＋3)辆，由题意，得解得 ∴9<x<11.故选B. 2．若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是(　　) A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π C．－<2α－β< D．0<2α－β<π 答案　C 解析　∵－<α<，∴－π<2α<π.∵－<β<，∴－<－β<，∴－<2α－β<.又α－β<0，α<，∴2α－β<.故－<2α－β<. 3．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题： ①若ab>0，bc－ad>0，则－>0； ②若ab>0，－>0，则bc－ad>0； ③若bc－ad>0，－>0，则ab>0. 其中正确的命题是________(填序号)． 答案　①②③ 解析　因为ab>0，bc－ad>0，所以－＝>0，所以①正确；因为ab>0，－>0，即>0，所以bc－ad>0，所以②正确；因为bc－ad>0，－>0，即>0，所以ab>0，所以③正确．故①②③都正确． 4．已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，求2x－3y的取值范围． 解　设2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)＝(m＋n)x＋(m－n)y， ∴解得 ∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)． ∵－1<x＋y<4,2<x－y<3， ∴－2<－(x＋y)<，5<(x－y)<. ∴3<－(x＋y)＋(x－y)<8， 即3<2x－3y<8. 5．建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好．试问：若同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由． 解　设住宅窗户面积、地板面积分别为a，b， 同时增加的面积为m，由题意，得a<b， 且≥10%. 由于－＝>0， 于是>. 又≥10%，因此>≥10%.所以若同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件变好了． 扬州火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，现计划用50节A，B两种型号的车厢将这批货物运至北京．已知每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元；甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的运费最少，最少运费是多少？ 解　设A型货厢的节数为x， 则B型货厢的节数为50－x. 由题意可得 解得28≤x≤30. ∵x为正整数，∴x可为28,29,30. ∴方案为：①A型货厢28节，B型货厢22节；②A型货厢29节，B型货厢21节；③A型货厢30节，B型货厢20节． 总运费为0.5x＋0.8×(50－x)＝－0.3x＋40， ∵－0.3<0，∴x越大，总运费越小， ∴x＝30， 最低运费为－0.3×30＋40＝31万元． ∴A型货厢30节，B型货厢20节时运费最少，最少运费是31万元． 学科网（北京）股份有限公司 $