1.2 集合间的基本关系 分级同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，分层递进覆盖集合间基本关系（子集、真子集、相等、空集），从概念辨析到综合应用，适配基础巩固与推理能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|元素与集合关系、子集概念|选择填空直接考查概念（如第1题关系判断），培养抽象能力| |提升层|集合相等、Venn图、简单参数问题|解答题分问讨论子集关系（如第5题），发展推理意识| |拓展层|综合参数讨论、创新定义（孤立元素）|跨情境应用（如第4题孤立元素），提升数学思维与创新意识|

集合间的基本关系同步练 1．在①1⊆{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；④∅{0}四个关系中，错误的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是(　　) A．16 B．8 C．7 D．4 3．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) 4．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于________. 5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若A是B的真子集，求a的取值范围； (2)若B是A的子集，求a的取值范围； (3)若A＝B，求a的取值范围． 一、选择题 1．若集合A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，集合B＝{x∈R|x＋5>0}，则集合A与B的关系是(　　) A．A∈B B．A⊆B C．B⊆A D．A＝B 2．若集合M＝，N＝，则(　　) A．M＝N B．MN C．NM D．M∈N 3．满足{1}⊆A{1,2,3}的集合A的个数为(　　) A．2 B．3 C．8 D．4 4．已知A＝{1，x，y}，B＝{1，x2,2y}，若A＝B，则x－y＝(　　) A．2 B．1 C． D． 5．(多选)已知集合A＝{1,2,4,8}，集合B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈A}，则下列四个选项正确的是(　　) A．AB B．{1,4,16,64}⊆B C．集合B中元素的个数为8 D．集合B的真子集的个数为27－1 二、填空题 6．设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若AB，则实数a的取值范围是________. 7．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________. 8．已知集合S，T，F之间的关系如图所示，则下列关系中错误的是________(只填序号)． ①FT；②ST；③FS；④SF. 三、解答题 9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出集合A的所有子集． 10．已知集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋a<0}，当B⊆A时，求实数a的取值范围． 1．若集合＝{0，a2，a＋b}，则a2021＋b2020的值为(　　) A．0 B．－1 C．1 D．±1 2．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C，则满足条件的集合A的个数是(　　) A．8 B．2 C．4 D．1 3．若集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则实数a的取值为________. 4．集合S＝{0,1,2,3,4,5}，集合A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，写出S中所有无“孤立元素”的4元子集． 5．设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}． (1)若B⊆A，求实数a的取值范围； (2)若A⊆B，求实数a的取值范围． 集合间的基本关系同步练参考答案 1．在①1⊆{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；④∅{0}四个关系中，错误的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　1∈{0,1,2}，所以①错误；{1}⊆{0,1,2}，所以②错误；③④正确． 2．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是(　　) A．16 B．8 C．7 D．4 答案　C 解析　易知集合A＝{0,1,2}，含有3个元素，所以集合A的真子集有23－1＝7个． 3．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) 答案　B 解析　解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如B所示． 4．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于________. 答案　2或－1 解析　∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1. 5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若A是B的真子集，求a的取值范围； (2)若B是A的子集，求a的取值范围； (3)若A＝B，求a的取值范围． 解　(1)若AB，由图可知a＞2. (2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2. (3)由A＝B，可得a＝2. 一、选择题 1．若集合A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，集合B＝{x∈R|x＋5>0}，则集合A与B的关系是(　　) A．A∈B B．A⊆B C．B⊆A D．A＝B 答案　B 解析　∵A＝{y|y≥1}，B＝{x|x>－5}，∴AB.故选B. 2．若集合M＝，N＝，则(　　) A．M＝N B．MN C．NM D．M∈N 答案　B 解析　∵x＝＋，k∈Z，∴当k＝2n，n∈Z时，x＝＋，n∈Z；当k＝2n－3，n∈Z时，x＝－，n∈Z， ∴MN. 3．满足{1}⊆A{1,2,3}的集合A的个数为(　　) A．2 B．3 C．8 D．4 答案　B 解析　由题意可得集合A中至少含有元素1，且最多含有2个元素．所以集合A可以为{1}，{1,2}，{1,3}，共3个．故选B. 4．已知A＝{1，x，y}，B＝{1，x2,2y}，若A＝B，则x－y＝(　　) A．2 B．1 C． D． 答案　C 解析　∵A＝B，∴或根据集合元素的互异性，解得∴x－y＝. 5．(多选)已知集合A＝{1,2,4,8}，集合B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈A}，则下列四个选项正确的是(　　) A．AB B．{1,4,16,64}⊆B C．集合B中元素的个数为8 D．集合B的真子集的个数为27－1 答案　ABD 解析　∵集合A＝{1,2,4,8}，∴集合B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈A}＝{1,2,4,8,16,32,64}，∴AB，A正确；{1,4,16,64}⊆B，B正确；集合B中元素的个数为7，C错误；集合B的真子集的个数为27－1，D正确．故选ABD. 二、填空题 6．设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若AB，则实数a的取值范围是________. 答案　{a|a≥2} 解析　如图，因为AB，所以a≥2，即实数a的取值范围是{a|a≥2}． 7．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________. 答案　BA 解析　因为B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA. 8．已知集合S，T，F之间的关系如图所示，则下列关系中错误的是________(只填序号)． ①FT；②ST；③FS；④SF. 答案　①③④ 解析　根据子集、真子集的概念，由Venn图的关系，可以看出ST正确，其余错误． 三、解答题 9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出集合A的所有子集． 解　因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}， 所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}． 所以集合A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}． 10．已知集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋a<0}，当B⊆A时，求实数a的取值范围． 解　因为A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋a<0}＝，A⊇B，所以－≤－1，解得a≥4. 所以实数a的取值范围是a≥4. 1．若集合＝{0，a2，a＋b}，则a2021＋b2020的值为(　　) A．0 B．－1 C．1 D．±1 答案　B 解析　∵＝{0，a2，a＋b}，且a≠0，∴＝0，即b＝0，{1，a,0}＝{0，a2，a}．∴a2＝1，∴a＝1或a＝－1.经检验可知，当a＝1时，与集合元素的互异性矛盾，故a＝－1，b＝0，则a2021＋b2020＝－1. 2．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C，则满足条件的集合A的个数是(　　) A．8 B．2 C．4 D．1 答案　C 解析　因为A⊆B，A⊆C，所以集合A中的元素只能由a或b构成．所以这样的集合共有22＝4个，即A＝∅或A＝{a}或A＝{b}或A＝{a，b}． 3．若集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则实数a的取值为________. 答案　1或－ 解析　由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，当a＝1时，满足题意．当a≠1时，由Δ＝9＋8(a－1)＝0可得a＝－. 4．集合S＝{0,1,2,3,4,5}，集合A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，写出S中所有无“孤立元素”的4元子集． 解　依题意可知，“孤立元素x”是没有与x相邻的元素，“非孤立元素x”是指在集合中有与x相邻的元素，因此所求问题的集合可分成如下两类： (1)4个元素连续的，有3个，分别为{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{2,3,4,5}． (2)4个元素分两组，每组两个连续的，也有3个，分别为{0,1,3,4}，{1,2,4,5}，{0,1,4,5}． 5．设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}． (1)若B⊆A，求实数a的取值范围； (2)若A⊆B，求实数a的取值范围． 解　(1)A＝{x|x2＋4x＝0}＝{－4,0}， 因为B⊆A，所以分B＝A和BA两种情况讨论： ①当B＝A时，B＝{－4,0}，即－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是得a＝1； ②当BA时，若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1. 若B≠∅，则B＝{－4}或{0}，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，验证知B＝{0}满足条件． 综上可知，实数a的取值范围为a＝1或a≤－1. (2)因为A⊆B，A＝{－4,0}，所以集合B中必含这两个元素． 又集合B为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的根构成的集合，最多有2个元素，所以此时必有A＝B. 由(1)知，此时a＝1. 故实数a的值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $