第三章 函数的概念与性质（高效培优单元自测·强化卷）数学人教A版高一必修第一册

**基本信息** 高中数学第三章函数概念与性质单元强化卷，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，适配单元复习，强化函数核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数概念（第1题）、定义域（第4题）、奇偶性（第3题）|基础概念辨析，落实数学抽象| |多选|3/18|函数性质综合（第9题）、新定义（第11题）|分层考查，培养批判性思维| |填空|3/15|幂函数（第12题）、奇函数性质（第14题）|知识迁移，强化数学眼光| |解答|5/77|单调性证明（第15题）、实际利润建模（第18题）、抽象函数推理（第19题）|综合应用，提升数学思维与表达|

第三章 函数的概念与性质（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪元，每工作小时获取元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为小时，获取的税前月工资为元，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 3．设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 6．已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（ 　） A． B． C． D． 8．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．且， B．函数在定义域内是减函数 C．当时，的值域为 D．的图象关于对称 10．（多选）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D．的值域为 11．（多选）设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”．若给定函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是________. 13．已知函数在处取得最小值，则的取值范围是_______ 14．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实根，则方程在区间上根的个数为______，且所有实根之和为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 16．（15分）已知幂函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围； (3)设，求的最大值． 17．（15分）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 18．（17分）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）. (1)求函数的解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 19．（17分）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】对于A，由函数可得，解得， 则其定义域为； 由函数可得，解得，则其定义域为． 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 2．某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪元，每工作小时获取元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为小时，获取的税前月工资为元，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 故选：C. 3．设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 4．函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 则函数的定义域为， 函数， 则，解得， 故函数的定义域为. 故选：A. 5．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】将代入，求得函数值. 【详解】. 故选：C. 6．已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 7．已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（ 　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数是定义在上的偶函数，得，解得， 则，，，， 二次函数的图象开口向下，对称轴为，则， 所以的大小关系为. 故选：C 8．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作出函数的图象，如下图， 要使函数在上单调递增， 则或，解得或， ∴实数的取值范围为． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．且， B．函数在定义域内是减函数 C．当时，的值域为 D．的图象关于对称 【答案】AC 【详解】A，函数中，若且，则，正确； B，函数在上单调递减，在定义域内不单调，错误； C，由选项B知，当时，，即，正确； D，函数的图象可以由的图象向左平移1个单位长度， 再向下平移1个单位长度得到， 函数图象的对称中心为，因此的图象关于对称． 故选：AC. 10．（多选）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D．的值域为 【答案】BC 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以，，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，显然，，于是， 因此的值域为，故D错误． 故选：BC. 11．（多选）设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”．若给定函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，，所以， 列表解析： 选项 正误 原因 A √ ，． B × ，． C √ ，． D √ ，． 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是________. 【答案】 【详解】设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 13．已知函数在处取得最小值，则的取值范围是_______ 【答案】 【详解】当时，单调递减，当时，单调递增， 因为在处取得最小值，所以，解得，故的取值范围是． 故答案为：. 14．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实根，则方程在区间上根的个数为______，且所有实根之和为______． 【答案】6;30 【详解】因为函数是奇函数，所以，且， 又因为，所以，即，且函数的图象关于对称， 由得，所以，周期为4． 由函数在上单调递减，方程在上有实根可知方程在上有且仅有一个实根， 作出函数的大致图象如图所示： 由图可知函数的图象与直线在区间上有6个交点，且两两关于对称， 故方程在区间上根的个数为6， 所有实根之和为． 故答案为：①6；②30. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【答案】(1)(2)在区间和和上分别单调递减 【详解】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 16．（15分）已知幂函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围； (3)设，求的最大值． 【答案】(1)(2)(3)2 【详解】（1）由是幂函数，得，解得或． 当时，，当时，，不符合题意； 当时，，当时，，符合题意． ∴． （2），即， ∵函数在R上单调递增， ∴，解得． ∴a的取值范围为． （3），则，， ∵， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最大值为2． 17．（15分）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)， (2)或1或 (3)   【详解】（1）因为， 所以，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 18．（17分）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）. (1)求函数的解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为380元 【详解】（1）根据题意可得， 所以； （2）由（1）可得： 当时，因为的图象开口向上，对称轴为， 可得； 当时，可得 当且仅当时，即时等号成立， 因为，所以当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为380元. 19．（17分）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2) 在上的单调递增，证明如下： 由（1）知，， 当时，，所以， 从而， ，则， 因为，所以，又当时，， 所以，所以，所以， 故在上的单调递增. (3)． 【详解】（1）函数为R上的奇函数.证明如下： 易知函数的定义域为，令，则， 又，所以，所以函数为奇函数. （2）略 （3）由（1）知，函数为R上的奇函数，所以， 由（2）知，当时，，且在上的单调递增， 所以在上的单调递增， 所以当时，函数的最大值为，最小值为， 又任意，总有恒成立， 所以，即， 由题意，对恒成立，令，则， 所以，解得或， 故实数的取值范围是. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B A C B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．6;30 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 16．（15分） 【解析】（1）由是幂函数，得，解得或． 当时，，当时，，不符合题意； 当时，，当时，，符合题意． ∴． （2），即， ∵函数在R上单调递增， ∴，解得． ∴a的取值范围为． （3），则，， ∵， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最大值为2． 17．（15分） 【解析】（1）因为， 所以，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 18．（17分） 【解析】（1）根据题意可得， 所以； （2）由（1）可得： 当时，因为的图象开口向上，对称轴为， 可得； 当时，可得 当且仅当时，即时等号成立， 因为，所以当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为380元. 19．（17分） 【解析】（1）函数为R上的奇函数.证明如下： 易知函数的定义域为，令，则， 又，所以，所以函数为奇函数. （2）在上的单调递增，证明如下： 由（1）知，， 当时，，所以， 从而， ，则， 因为，所以，又当时，， 所以，所以，所以， 故在上的单调递增. （3）由（1）知，函数为R上的奇函数，所以， 由（2）知，当时，，且在上的单调递增， 所以在上的单调递增， 所以当时，函数的最大值为，最小值为， 又任意，总有恒成立， 所以，即， 由题意，对恒成立，令，则， 所以，解得或， 故实数的取值范围是. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $