第三章 函数的概念与性质 本章常见误区-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

该高中数学学案聚焦函数章节常见误区，以“规避错误、深化理解”为目标，通过定义域优先、分段函数分析、参数讨论等6大误区模块递进设计，构建“知识点解析-典型例题-针对性训练”的连贯学习路径，系统梳理函数性质应用中的关键易错点。 亮点在于“误区-解析-应用”的闭环设计，如通过奇偶性判断中定义域忽略问题、含参函数定义域分类讨论等实例，培养学生数学思维的严谨性与推理能力，提升用数学语言精准表达解题过程的能力。每模块配套限时训练与错题分析，为教师实施单元复习提供针对性指导，助力学生深度学习函数性质并形成解题规范。

本章常见误区汇总限时30分钟 常见误区1　忽略函数定义域导致错误 　　函数定义域是函数的三要素之一,解决与函数解析式、单调性、奇偶性、值域等有关问题,一定要秉持“定义域优先”的原则,否则容易出现多解或漏解的现象. 1.()关于函数f(x)=+与h(x)=+的奇偶性,下列说法正确的是　(　　) A.两函数均为偶函数 B.两函数均既是奇函数又是偶函数 C.函数f(x)是偶函数,h(x)是非奇非偶函数 D.函数f(x)既是奇函数又是偶函数,h(x)是非奇非偶函数 2.()函数f(x)=的单调递减区间为　　　　.  3.()已知f(-1)=x+2,则f(x)=　　　　.  常见误区2　忽略分段函数自变量的范围导致错误 　　分段函数定义域是各段自变量取值集合的并集,解决分段函数问题,一定要在相应自变量所在的范围内求解. 4.()函数f(x)=若f(x)=2,则x=　(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.0 B.0或1 C.1或或- D. 5.()已知f(x)=则满足不等式f(3-x2)>f(2x)的x的取值范围是(　　) A.(-3,1) B.(-,-1) C.(-,1) D.(1,) 常见误区3　忽略对参数的讨论导致错误 　　含参问题中,如果参数的取值对函数性质等有影响,需要对参数进行分类讨论,尤其涉及形如y=ax2+bx+c的函数的问题,要注意对二次项系数a的分类讨论(a=0和a≠0). 6.(2025河北张家口月考)若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(1,+∞) C.[0,+∞) D.[1,+∞) 7.()已知函数f(x)=,x∈[0,1].若f(x)的最小值为,则实数m的值为(　　) A. B. C.3 D.或3 常见误区4　忽略题目中的限制条件导致错误 　　本章中涉及函数性质比较多,在利用函数性质解决题目时,一定要注意题干中的限制条件或隐含条件.如:求函数定义域时关注偶次根式、分式型、零次幂型代数式有意义的条件;实际问题中限制条件对结果的影响;判断函数奇偶性时对定义域的要求等等. 8.()若(a+1≥(3-2a,则实数a的取值范围是　(　　) A. B. C. D. 9.()某汽车以x千米/时的速度在高速公路上匀速行驶(高速公路行车安全要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为升,其中k为常数,且60≤k≤100. (1)若该汽车以120千米/时的速度行驶,每小时的油耗为11.5升,欲使每小时的油耗不超过9升,求x的取值范围; (2)求该汽车行驶100千米的油耗的最小值. 常见误区5　未综合考虑奇(偶)函数的单调性、图象的对称性导致错误 　　解不等式或者比较大小类题目中,常常结合函数单调性、奇偶性等进行解决,需牢记这些性质对函数图象、函数值等的影响.综合利用性质进行转化,脱去符号“f”,进而求解. 10.(2024浙江宁波期中)(多选)已知函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,当x1,x2∈(-∞,0],且x1≠x2时,<0成立,若f(4bx)<f(2x2+1)对任意x∈R恒成立,则实数b的可能取值为(　　) A.0 B.- C.-1 D. 常见误区6　新定义题目题意理解不到位导致错误 　　对于函数新定义类题目,重点是理解“新定义”规定的函数的相关概念和运算法则,理解题意,运用“新定义”将陌生的问题转化成熟悉的问题,充分挖掘题干中的信息,找到合适的解题方法,将“新定义”问题转化为已有的知识体系中的常规类问题进行解决. 11.(2025江苏期中)若函数f(x)在x∈[a,b]时,函数值y的取值区间恰为(k>0),则称[a,b]为f(x)的一个“k倍倒域区间”.已知奇函数g(x)的定义域为[-4,4],当x∈[0,4]时,g(x)=-x2+3x. (1)求g(x)的解析式; (2)求函数在(0,4]上的2倍倒域区间. 学科网（北京）股份有限公司 $ 本章常见误区汇总 1.D　函数f(x)=+满足即x2=4,所以函数f(x)的定义域为{-2,2},关于原点对称,易知f(-2)=f(2)=0,满足f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x),所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数, 函数h(x)=+的定义域为{4},不关于原点对称,故函数h(x)是非奇非偶函数. 故选D. 易错警示　 易错原因 纠错心得 忽视了函数的定义域,直接利用函数奇偶性的定义判断,错选了C. 根据函数的解析式判断函数的奇偶性时,应先确定函数的定义域,只有在函数的定义域关于原点对称的情况下,才能根据解析式是否满足f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x)来判断函数的奇偶性.若函数的定义域不关于原点对称,则可以直接说明函数是非奇非偶函数. 2.答案　[2,6] 解题思路　令g(x)=-x2+4x+12=-(x-2)2+16,则g(x)图象的对称轴是直线x=2, 令g(x)≥0,解得-2≤x≤6, 故g(x)在[-2,2]上单调递增,在[2,6]上单调递减,故函数f(x)的单调递减区间为[2,6]. 易错警示　 易错原因 纠错心得 忽视函数的定义域,误认为x∈R,从而得f(x)的单调递减区间为[2,+∞). 单调区间是定义域的子集,故单调区间要在定义域内求解. 3.答案　x2+4x+3(x≥-1) 解题思路　令t=-1,则t≥-1,且=t+1, ∴f(t)=(t+1)2+2(t+1)=t2+4t+3. 故函数f(x)=x2+4x+3(x≥-1). 易错警示　 易错原因 纠错心得 换元时,令-1=t,忽略了t的范围,导致忽略所求函数的定义域而致误. 已知函数y=f(g(x))的解析式,求函数y=f(x)的解析式时,若函数y=g(x)的值域不是全体实数,则所求得的函数y=f(x)的解析式必须带有定义域(即函数y=g(x)的值域). 4.D　因为f(x)=2,所以当x≤-1时,x+2=2,解得x=0,不符合题意; 当-1<x<2时,x2=2,解得x=或x=-(舍去); 当x≥2时,2x=2,解得x=1,不符合题意. 故选D. 易错警示　 易错原因 纠错心得 忽视对x的讨论致误. 解决分段函数中已知函数值求自变量的值的问题时,应根据各段自变量的取值范围分类讨论. 5.C　由函数的解析式可知,当x≥0时,f(x)单调递增且f(x)≥f(0)=1, 所以若f(3-x2)>f(2x),则分如下两种情况: ①解得x∈(-,0]; ②解得x∈(0,1). 综上所述,x的取值范围为(-,1), 故选C. 6.D　因为函数f(x)=的定义域为R,所以mx2+2x+1≥0, 当m=0时,2x+1≥0不恒成立; 当m≠0时,所以m≥1. 综上,实数m的取值范围是[1,+∞). 故选D. 7.C　f(x)===2+,x∈[0,1]. 当m=2时, f(x)=2,不满足题意; 当m-2>0,即m>2时, f(x)在[0,1]上单调递减,则f(x)在x=1处取得最小值,则=,解得m=3,满足题意; 当m-2<0,即m<2时, f(x)在[0,1]上单调递增,则f(x)在x=0处取得最小值,则m=,不满足题意. 综上,m=3. 故选C. 易错警示　 易错原因 纠错心得 忽视对系数的讨论而认为函数是增函数(减函数)致误. 涉及函数f(x)=或f(x)=kx+b(k≠0)的单调性的判断或最值的求解时,若k的值不确定,则必须对k进行分类讨论. 8.D　不等式(a+1≥(3-2a可化为 解得≤a≤.故实数a的取值范围是. 故选D. 易错警示　本题考查利用幂函数y=的单调性解不等式,学生易忽略隐含条件x≥0而错选A. 9.解题思路　(1)由题意得当x=120时,= =11.5,解得k=100. 欲使每小时的油耗不超过9升,则≤9,即x2-145x+4 500≤0,解得45≤x≤100. 又60≤x≤120,所以60≤x≤100, 故欲使每小时的油耗不超过9升,x的取值范围为[60,100]. (2)设该汽车行驶100千米的油耗为y升,则y=·=20-+(60≤x≤120), 令t=,则t∈, 则y=90 000t2-20kt+20=90 000·+20-, 其图象的对称轴为直线t=, 由60≤k≤100,可得∈, ①若≥,即75≤k≤100, 则当t=,即x=时,y取得最小值,为20-; ②若<,即60≤k<75, 则当t=,即x=120时,y取得最小值,为-. 综上,当75≤k≤100时,该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升;当60≤k<75时,该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升. 易错警示　 易错原因 纠错心得 忽视自变量的取值范围,特别是运用换元法求二次函数的最值时忽视新元范围,直接得出t=时,y取得最小值,导致出现错解的情况. 解答函数应用题时,我们不仅要关注函数的定义域,还要关注其中有关参数的限制条件,并使所有的量都有实际意义. 10.ABD　因为函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称, 所以函数y=f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)为偶函数, 又因为当x1,x2∈(-∞,0],且x1≠x2时,<0成立, 所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增, 则f(4bx)<f(2x2+1)对任意x∈R恒成立, 即f(|4bx|)<f(2x2+1)对任意x∈R恒成立, 即|4bx|<2x2+1对任意x∈R恒成立, 当x=0时,0<1成立; 当x≠0时,即|4b|<2|x|+对任意x∈R恒成立, 而2|x|+≥2=2,当且仅当2|x|=,即|x|=时,等号成立, 所以|4b|<2,即|b|<,则-<b<, 故选ABD. 11.解题思路　(1)当x∈[-4,0]时,-x∈[0,4], 所以g(-x)=-x2-3x, 又g(x)为奇函数,所以g(x)=-g(-x)=x2+3x. 所以g(x)= (2)当x∈(0,4]时,=-x+3,在(0,4]上单调递减, 设所求区间为[a,b],则y=在[a,b]内的值域为,[a,b]⊆(0,4], 所以 所以a,b为方程-x+3=的两个不等实根,解得x1=1,x2=2,又a<b,所以a=1,b=2. 所以在(0,4]上的2倍倒域区间为[1,2]. 学科网（北京）股份有限公司 $