第二章 一元二次函数、方程和不等式 本章常见误区汇总-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

**基本信息** 以常见误区为分层核心，通过基础辨析、范围运算、基本不等式应用到含参不等式求解的梯度设计，强化知识巩固与易错点突破，培养数学推理能力与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |误区1|不等式性质应用|单选/多选辨析性质误用，如命题真假判断，夯实概念理解| |误区2|代数式范围求法|多选结合参数范围运算，培养逻辑推理与严谨性| |误区3|基本不等式条件|填空+解答题训练“一正二定三相等”，提升运算能力| |误区4|连续不等式应用|含常数条件的最值题，强化模型观念与转化思想| |误区5|含参不等式求解|解答题分类讨论参数，发展批判性思维与系统设计能力|

本章常见误区汇总限时20分钟 　　　　　常见误区1　误用不等式的性质致误 　　利用不等式性质解决问题时的常见错误: (1)同向(异向)不等式可以相加(减),误以为也可以相减(加); (2)不等式两边同乘(除以)某个量,忽视其为负数时不等式要变号; (3)左右同正的同向不等式可以相乘,误以为也可以相除. 针对措施:利用不等式性质时,需要注意其满足的条件. 1.(2025河北沧州期中)已知a>b>c,则下列一定成立的是(　　) A.ab>bc B.ac2>bc2 C.> D.a(a-c)>b(b-c) 2.(2025山东德州期中改编)下列命题中正确的是(　　) A.若a>b>0,则> B.若a>b,则a2>b2 C.若a>b>0,d>c>0,则> D.若a>b,c>d,则a-c>b-d 3.(2025山东泰安阶段练习)(多选)下列选项中正确的是(　　) A.若a>b>0,则> B.若a2>b2,则a>b C.若a>b,则> D.若a>b>c>0,则> 常见误区2　不等价变形导致所求代数式范围扩大致误 　　同向(异向) 不等式的两边可以相加(减),但这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大取值范围,所以我们选用不等式的性质求代数式的取值范围时务必小心谨慎,必要时改换解题的思路和方法. 针对措施:求代数式的取值范围,一般是利用整体思想,通过不等关系的运算求得代数式的取值范围. 4.(2024河北师范大学附属中学联考)(多选)已知-1≤a≤3,1≤b≤2,则以下命题正确的是(　　) A.-1≤ab≤6 B.0≤a+b≤5 C.-2≤a-b≤1 D.(a+1)(b-1)≤4 5.(2024河北保定联考)(多选)已知-5≤a-b≤4,2≤2a+b≤8,则(　　) A.-1≤a≤4 B.0≤b≤4 C.-28≤2a-5b≤14 D.ab的最大值为24 常见误区3　使用基本不等式时忽略“一正、二定、三相等”的条件致误 　　利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正”就是各项必须为正数; (2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值,要求积的最大值,必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”就是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方. 6.()已知y=x+(x<3),则y的最值为　　　　.  7.()已知0<x<,则y=4x(3-2x)的最大值为　　　　.  8.(2024江苏苏州大学附属中学月考改编) (1)求代数式的取值范围; (2)已知x>0,y>0,且x+2y-2xy=0,求2x+y的最小值. 常见误区4　连续使用基本不等式时忽略等号同时成立的条件致误 　　利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件. 连续应用基本不等式求最值时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,若不能同时取等号,则连续用基本不等式是求不出最值的,此时要对原式进行拆分或合并,直到取到等号的条件成立为止. 9.()已知a,b为正数,且a+b+1=ab,则3a+2b的最小值是　　　　.  10.(2025山东潍坊月考改编)若a,b,x,y∈(0,+∞),且x+y=1,a,b为常数,则+的最小值为　　　　.  常见误区5　解含参数的一元二次不等式时忽视二次项系数致误 　　解含参数的一元二次不等式时,要注意分类讨论.分类讨论有三个层次: 第一层:最高次项的系数是不是零,在最高次项系数不是零时,还应分正负继续讨论; 第二层:相应的一元二次方程有无实根; 第三层:比较两根的大小. 11.()解关于x的不等式(m为任意实数)mx2+(2-m)x-2<0. 12.(2024河北石家庄正定一中期中改编) (1)若关于x的不等式x2-ax+b>0的解集为{x|x<-1或x>2},求实数a,b的值; (2)当b=0时,解关于x的不等式x2-ax+b≤0. 13.(2025北京海淀期中改编)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1≤0 学科网（北京）股份有限公司 $ 本章常见误区汇总 1.C　对于A,当c<0时,ab<bc,故A错误; 对于B,当c=0时,ac2=bc2,故B错误; 对于C,因为a>b>c,所以a-c>0,所以>0,则>,故C正确; 对于D,当a=-1,b=-2,c=-3时,不满足a(a-c)>b(b-c),故D错误.故选C. 2.C　对于A,-==, 因为a>b>0,所以b-a<0,b(b+1)>0,所以-<0,即<,故A错误; 对于B,若a=1,b=-2,则a2>b2,故B错误; 对于C,-=, 因为a>b>0,d>c>0,所以ad>bc>0,所以ad-bc>0, 所以->0,即>,故C正确; 对于D,若a=5,b=4,c=3,d=1, 则a-c=2,b-d=3,所以a-c<b-d,故D错误. 故选C. 3.AD　由不等式的性质知,a>b>0,则>,故A正确; 当a=-1,b=0时,满足a2>b2,但a<b,故B错误; 当a=1,b=-1时,a>b,但<,故C错误; -==,因为a>b>c>0, 所以a-b>0,a+c>0,所以-=>0,即>,故D正确.故选AD. 4.BD　∵-1≤a≤3,1≤b≤2,∴-2≤ab≤6,故A错误. ∵-1≤a≤3,1≤b≤2,∴0≤a+b≤5,故B正确. ∵1≤b≤2,∴-2≤-b≤-1,又-1≤a≤3,∴-3≤a-b≤2,故C错误. ∵-1≤a≤3,1≤b≤2,∴0≤a+1≤4,0≤b-1≤1,∴0≤(a+1)(b-1)≤4,故D正确,故选BD. 5.AC　因为-5≤a-b≤4,2≤2a+b≤8,所以-3≤3a≤12,即-1≤a≤4,A正确; 由-5≤a-b≤4,可得-8≤2b-2a≤10,又2≤2a+b≤8, 所以-6≤3b≤18,即-2≤b≤6,B错误; 设2a-5b=x(a-b)+y(2a+b),则解得x=4,y=-1, 易知-20≤4(a-b)≤16,-8≤-(2a+b)≤-2, 所以-28≤2a-5b≤14,C正确; 因为-1≤a≤4,-2≤b≤6,所以若ab的最大值为24,则a=4,b=6,此时2a+b=14>8,D错误,故选AC. 6.答案　-1 错解　y=x+≥2,当且仅当x=(x<3),即x=-1时等号成立,此时y≥2,所以y的最小值是2. 正解　因为x<3,所以3-x>0, 所以y=x-3+3+=3-≤3-2=3-4=-1,当且仅当3-x=(x<3),即x=1时等号成立,所以y的最大值为-1. 7.答案　 解题思路　由0<x<,知2x>0,3-2x>0,所以y=4x(3-2x)=2×2x(3-2x)≤2×=,当且仅当2x=3-2x,即x=时等号成立.所以y=4x(3-2x)的最大值是. 8.解题思路　(1)由题意知x≠0, 当x>0时,=x+-1≥2-1=3,当且仅当x=2时等号成立; 当x<0时,=--1≤-2-1=-5, 当且仅当x=-2时等号成立. 所以原代数式的取值范围为≥3或≤-5. (2)由x>0,y>0,x+2y-2xy=0,得+=2, 所以2x+y=(2x+y)=×≥×=, 当且仅当x=y=时等号成立, 所以2x+y的最小值为. 9.答案　4+5 错解　因为a,b为正数,所以ab=a+b+1≥2+1,即()2-2-1≥0,解得≥+1,又因为3a+2b≥2≥2(+1)=4+2(两次应用基本不等式,但不具备等号同时成立的条件,等号成立的条件分别是a=b和3a=2b,当且仅当a=b=0才能同时满足条件,这与已知矛盾,是不可能的).所以3a+2b的最小值是4+2. 正解　因为a,b为正数,a+b+1=ab,所以b==1+,a>1, 因此3a+2b=3a+2=3(a-1)++5≥4+5,当且仅当3(a-1)=,a>0,即a=1+,b=1+时等号成立.所以3a+2b的最小值是4+5. 10.答案　a+b+2 错解　因为x>0,y>0,a,b为正常数,所以x+y≥2,+≥2, +=(x+y)≥2·2=4,所以+的最小值为4多次应用基本不等式求最值时,要注意等号是否同时成立,即等号成立的条件是否一致.等号成立的条件分别是x=y,=,显然a≠b时,x=y与=不可能同时成立. 正解　因为x>0,y>0,且x+y=1,a,b为正常数,所以+=(x+y)=a+b++≥a+b+2,当且仅当=,即x=,y=时等号成立.所以+的最小值为a+b+2. 11.解题思路　当m=0时,原不等式化为2x-2<0,解得x<1. 当m≠0时,原不等式可化为(x-1)(mx+2)<0, 令(x-1)(mx+2)=0,解得x1=1,x2=-. 当m>0时,x2<0,则原不等式的解集为. 当m<0时,x2>0, 若-=1,即m=-2,则x1=x2=1,故原不等式的解集为{x|x≠1}. 若-<1,即m<-2,则原不等式的解集为xx<-或x>1. 若->1,即-2<m<0,则原不等式的解集为xx>-或x<1. 综上,当m=0时,原不等式的解集为{x|x<1}; 当m>0时,原不等式的解集为; 当m=-2时,原不等式的解集为{x|x≠1}; 当m<-2时,原不等式的解集为; 当-2<m<0时,原不等式的解集为. 12.解题思路　(1)由题意得-1,2是关于x的方程x2-ax+b=0的两根, 故解得 (2)当b=0时,不等式为x2-ax≤0,即x(x-a)≤0, 当a>0时,解得0≤x≤a,故原不等式的解集是{x|0≤x≤a}, 当a=0时,解得x=0,故原不等式的解集是{0}, 当a<0时,解得a≤x≤0,故原不等式的解集是{x|a≤x≤0}. 13.解题思路　ax2-(a+1)x+1≤0,即(ax-1)(x-1)≤0. 当a=0时,解得x≥1,所以原不等式的解集为{x|x≥1}; 当a<0时,原不等式等价于(x-1)≥0,解得x≥1或x≤,所以原不等式的解集为; 当a=1时,原不等式为(x-1)2≤0,解得x=1,所以原不等式的解集为{1}; 当a>1时,<1,解得≤x≤1,所以原不等式的解集为; 当0<a<1时,>1,解得1≤x≤,所以原不等式的解集为. 综上,当a=0时,原不等式的解集为{x|x≥1}; 当a<0时,原不等式的解集为; 当a=1时,原不等式的解集为{1}; 当a>1时,原不等式的解集为; 当0<a<1时,原不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $