第04讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式拓展提升（10类热点题型）同步学与练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次不等式与基本不等式，以题型为载体系统提炼解题方法，构建从基础应用到含参拓展、从代数变形到模型构建的知识逻辑链，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次不等式|根与系数/分式/含参（3类）|韦达定理应用、分式整式转化、含参分类讨论（根大小/首项系数/判别式）|从方程根的性质到不等式求解，逐步渗透参数讨论思想，形成“方程-不等式-函数”联动认知| |基本不等式|凑配/分离/换元/常数代换/消元（5法）|目标式变形、变量代换、“1”的代换、条件消元|以“一正二定三相等”为原则，通过不同代数变形技巧，实现从基本模型到复杂情境的迁移应用|

第04讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式拓展提升 题型01一元二次不等式（根与系数的关系） 【典例1】（25-26高一上·上海·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设这个一元二次方程两个根为，，求． 【答案】(1)且， (2)2 【分析】（1）根据判别式，列出不等式，求解即可； （2）根据韦达定理，代值计算即可. 【详解】（1）由题意可得：解得：且， 所以实数的取值范围是且， （2）当，可得， 所以， 所以． 【典例2】，若. 求证：（1）方程有实数根； （2）若，且是方程的两个实数根，则. 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解. 【分析】（1）分别讨论方程不是二次方程和是二次方程情况，结合判别式判断符号； （2）利用韦达定理结合已知即可得证. 【详解】（1）若，又，则，，与已知矛盾， .方程的判别式， 又知，即， ， 故方程有实数根. （2）由题意得，， ， ，， . 【变式1】（24-25高一上·上海徐汇·阶段检测）已知函数，设关于的方程的两实根为，方程的两实根为． (1)若，求与的关系式； (2)若均为负整数，且，求的解析式； (3)若，求证：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题意得有两个不等实根为，，根据韦达定理及可求解； （2）由（1）得，结合均为负整数可求解； （3）由韦达定理可得，结合即可证明. 【详解】（1）由题意得有两个不等实根为，， 所以． 由得，即， 所以，即． （2）由（1）得，因为均为负整数， 所以或或， 显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有，解得，． 故所求函数解析式为． （3）由题意得， 又由，得，故， 所以． 【变式2】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段检测）对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 【答案】(1)不动点为和； (2). 【分析】（1）根据题意得到，解该一元二次方程即可得解； （2）根据题意，转化为有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系，得到，且，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）令，可得， 可得，解得， 所以二次函数的不动点为和. （2）二次函数有两个不相等的不动点，且， 则方程有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，且， 因为，即，解得，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【变式3】（23-24高一下·云南·阶段检测）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 且， 【分析】（1）根据题意，转化为是方程的两个实数根，结合根与系数的关系，以及，即可求解. （2）根据题意，转化为方程的两个负实数根，结合一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，函数， 因为 的解集为 即是方程的两个实数根，可得， 则. （2）解：因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根， 又因为，即方程的两个负实数根， 则满足，解得且， 所以实数的取值范围为且 题型02分式不等式 【典例1】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】由， 解得：， 故不等式的解集为， 故答案为： 【典例2】（25-26高一上·辽宁朝阳·期中）不等式的解集为_____. 【答案】 【分析】将分式改为整式，再由一元二次不等式的解法，解得答案. 【详解】因为 所以 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式1】（25-26高一上·安徽六安·期中）不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】把分式不等式转化为一元二次不等式计算得到解集； 【详解】因为， 等价于，即，解得 所以不等式的解集为 故答案为： 【变式2】（25-26高一上·贵州遵义·期中）不等式的解集为______． 【答案】 【分析】将分式不等式转化为整式不等式，然后求解整式不等式即可. 【详解】不等式变形为，解得. 不等式的解集为. 故答案为：. 【变式3】（25-26高一上·海南·期中）不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据分式不等式解法解出即可. 【详解】由， 即， ， 解得：， 所以不等式的解集为：， 故答案为：. 题型03一元二次不等式（含参）的求解（两根大小不确定从两根相等开始讨论） 【典例1】（24-25高二下·江苏徐州·期末）设． (1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)时解集为；时解集为． 【分析】（1）二次函数恒大于等于0，需同时满足开口向上且判别式，注意排除的一次函数情况； （2）含参数的一元二次不等式，先因式分解，再根据参数的前提，比较两根大小分类讨论. 【详解】（1）当时不满足题意，     当时，需使， 解得．         （2）由题设，则， 因为，不等式可化为，     当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为 综上，时解集为；时解集为． 【典例2】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 【变式1】（25-26高一下·天津河北·开学考试）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)当时，解集为；时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）将问题转化为对一切实数恒成立，再分和两种情况讨论求解即可； （2）将问题转化为，再分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 所以，当时，，不满足成立； 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围为 （2）解：， ， 因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 【变式2】（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）将不等式二次项系数化正后直接求解即可； （2）因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】（1）因， 故原不等式的解集为． （2）由不等式，得， 又因为，所以原不等式等价于， 当时，，此时不等式无解； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 题型04一元二次不等式（含参）的求解（首项系数含参从0开始讨论） 【典例1】解关于的不等式 【答案】 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 【分析】通过对分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出答案. 【详解】当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 【典例2】解下列关于x的不等式： (1)； (2)； 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）因式分解，分、、三种情况讨论，再结合根的大小和二次函数的图象可得； （2）按照根的大小分类讨论即可. 【详解】（1）可化为， 当时，不等式为，解集为； 当时，不等式可化为，此时解集为； 当时，不等式可化为， 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为. 综上所述，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为 （2）不等式可化为， ①当时，，解集为，或； ②当时，，解集为； ③当时，，解集为，或. 综上所述， 当时，原不等式的解集为，或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，或. 【变式1】求关于的不等式的解集. 【答案】 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【分析】分解因式后，根据与的大小结合一元二次不等式解法求解即可. 【详解】不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【变式2】已知，关于的一元二次不等式的解集为. (1)求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）由不等式的解集求出和，再直接解不等式； （2）根据开口方向不同分为，，三类情况，当时，再根据和的大小关系分为 ，，三类情况. 【详解】（1）因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以关于的一元二次方程的两解为和， 所以，解得. 所以一元二次方程的解为，， 所以不等式的解集为或. （2）由（1）得关于的不等式，即， 因式分解得. ①当时，原不等式为， 解得，即不等式的解为； ②当时，原不等式为， 解得或， 所以不等式的解为； ③当时，原不等式为， 解得，即不等式无解； ④当时，原不等式为， 解得，即不等式的解为； ⑤当时，原不等式为， 解得，即不等式的解为. 综上可得：当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为. 【变式3】（25-26高一上·天津西青·阶段检测）已知二次函数，关于的不等式的解集为. (1)求实数、的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2) 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为，解得； 当时， 不等式，解得； 当时，不等式，解得或； 当时，不等式，解得或； 【分析】（1）根据一元二次不等式与二次方程之间的关系，结合根与系数的关系列式计算求解即可； （2）对参数的取值分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】（1）因为二次函数，且关于的不等式的解集为 所以，且是一元二次方程的两个根， 所以，解得； （2）关于的不等式可化为， 即，即 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为，解得； 当时， 不等式，解得； 当时，不等式，解得或； 当时，不等式，解得或； 题型05一元二次不等式（含参）的求解（不可因式分解型） 【典例1】解下列关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】不等式左侧不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【详解】对于一元二次方程， 当时，，的解集为， 当时，的解集为， 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为， 综上，当时，不等式的解集为， 当或时，不等式的解集为． 【典例2】解下列关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】不等式左侧不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别讨论研究时不等式的解集． 【详解】对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． 【变式1】（25-26高一上·辽宁·期中）（1）已知是方程的两个根，求的值； （2）已知，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）0； （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 当时，解集为； 当时，解集为. 【分析】（1）根据韦达定理和求出 （2）分、两种情况，再结合，，讨论即可. 【详解】（1）法一：因为是方程的两个根，则， 所以； 法二：因为是方程的两个根，则， 则； （2）当时，，解得； 当时，， 若，即，解得或， 当时，不存在使得； 当时，对任意； 若，即，解得或， 当时，，即，即，无解； 当时，，即，； 若，即，解得，且，即或 此时方程的两个根为， 当时，， 则不等式的解为； 当时，， 则不等式的解为或； 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 当时，解集为； 当时，解集为. 【变式2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可； （2）分别讨论，和三种情况，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）当时，. ，即 . 设方程的两根分别为，解得,， 不等式的解为 函数的解集为. （2）由题意，得， ①当时，不等式化为，解得； ②当时，开口向上，此时， （i），即时，方程无解，不等式解集为； （ii），即时，方程有唯一解，不等式解集为； （iii），即时，方程有两解， ，且， 则不等式解集为. ③时，开口向下，此时，显然，方程有两解， ，且，不等式解集为. 综上所述， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 题型06基本不等式（凑配法） 【典例1】已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据条件，变形为，然后用常数代换思想 ，利用均值不等式求解最小值. 【详解】已知，则， ， 当且仅当时，即时取等号，联立 解得，满足 为正实数，等号能够取到，所以最小值为. 【典例2】（2026高二下·浙江·学业考试）已知，且，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】通过对已知条件变形，凑出乘积为定值的形式，再用基本不等式求解. 【详解】由，得：，即，则， 由且，可知、，因此、. 所以 当且仅当，即，结合， 解得，时取等号. 因此，的最小值为. 【变式1】（2026·浙江·二模）已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【分析】利用常数代换，结合基本不等式求解可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【变式2】（25-26高一上·云南普洱·期末）当时，的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】，根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，则， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 【变式3】（24-25高二下·天津静海·阶段检测）设为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】 【详解】由可得，得. ， 当且仅当时，即时等号成立. 题型07基本不等式（分离法） 【典例1】（24-25高三上·江苏镇江·阶段检测）函数的值域是__________． 【答案】 【详解】 ， 当时，，当即时取等号， 当时，，当即时取等号， 则函数的值域为 【典例2】（24-25高三上·江苏常州·期末）求函数的最小值. 【答案】最小值为2. 【解析】先求出函数的定义域，再将函数化简到，然后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】函数的定义域为，. ， 当且仅当，即时取到“”. 所以当时，函数的最小值为2. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 【变式1】（24-25高一·上海·开学考试）函数的值域为__________． 【答案】 【解析】设，将关于的函数，利用基本不等式，即可求出值域. 【详解】设， 当时，， 当且仅当时等号成立； 同理当时，， 当且仅当时等号成立； 所以函数的值域为. 故答案为: . 【点睛】本题考查函数的值域，注意基本不等式的应用，属于基础题. 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）求的最值． 【答案】当时，的最小值为7，无最大值；当时，的最大值为3，无最小值. 【分析】将变形为，然后分和两种情况利用基本不等式求出的最值即可求得结果. 【详解】. ①当时，. ， 当且仅当时取等号. ②当时，，则. ， 当且仅当时取等号. 所以当时，的最小值为7，无最大值； 当时，的最大值为3，无最小值. 【点睛】本题考查基本不等式的应用和分类讨论的思想，运用基本不等式求最值时要注意验证是否满足“一正二定三相等”的条件，属中档题. 【变式3】（24-25高一·全国·课后作业）已知，求函数的最小值. 【答案】 【分析】将函数的解析式变形为，然后利用基本不等式可求出该函数的最小值. 【详解】，，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，因此，函数的最小值为. 【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值，解题时要对函数的解析式进行变形，利用“积定和小，和定积大”的思想进行求解，考查计算能力，属于中等题. 题型08 基本不等式（换元法） 【典例1】（25-26高二下·江西上饶·期末）已知实数，满足，则的最大值为_____． 【答案】2 【分析】将条件化为，设得，结合基本不等式有，即可求范围，进而确定目标式的最大值. 【详解】由，而，则， 设，则，即， 对任意实数，有，即，可得，即， 当时，满足原等式，且成立， 因此的最大值为. 【典例2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 【变式1】已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的代换即可解答. 【详解】令，所以，且， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，即，所以 所以，又因为，此时， 所以当时，的最小值为. 【变式2】（25-26高一下·浙江杭州·期中）若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由题意得出，所以，于是得出，令，可得，利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为关于的不等式解集为，即不等式解集为， 所以，所以， 故，令， 则， 令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，故， 因此的取值范围是. 【变式3】（25-26高二下·江苏常州·期末）已知，，若，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由题意，，则， 令，， 则， 等号成立时，即，， 故的最小值为. 题型09基本不等式（常数代换“1”的代换） 【典例1】（2026·河北沧州·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 【典例2】（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【变式1】（25-26高一下·江西赣州·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， ， 当且仅当，时，等号成立， 的最小值为． 【变式2】（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最值求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值为. 【变式3】（25-26高一下·广东江门·期中）已知，，且，则的最小值为__________，此时__________. 【答案】 12 【详解】由，，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12，此时. 题型10基本不等式（消元法） 【典例1】（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）已知正数 满足 ，则 的最小值为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，用表示并代入目标式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由正数 满足 ，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以时， 取得最小值8. 【典例2】（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，且，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】由题可得，令，所以再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题可得， 所以， 令，即， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值为13. 【变式1】（24-25高一上·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值． 【详解】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 【变式2】（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 【变式3】（2026·福建南平·二模）若，，且，则的最小值为________. 【答案】5 【分析】根据题意得，对整理，再利用基本不等式求解. 【详解】由得，所以， 因为，，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为5. 学科网（北京）股份有限公司 $第04讲第二章一元二次函数、方程和不等式拓展提升 题型01一元二次不等式（根与系数的关系） 【典例1】(25-26高一上上海期中)已知关于x的一元二次方程(2k-)x+2x+1=0有 实数根 (1)求实数k的取值范围； 回取=，设这个一元=次方程两个根为5，与：求+店 【典例2】y=3ax2+2br+c(a,b,c∈R),若a+b+c=0,(3a+2b+c)c>0. 求证：(1)方程3ax2+2bx+c=0有实数根： 四首2合1，且5是方任d+2次0的两个实数根：则5k小号 a 【变式1】(24-25高一上·上海徐汇·阶段检测)已知函数y=ax2+4x+b(a<0,a,b∈R) ,设关于x的方程f(x)=0的两实根为，x,方程y=x的两实根为α，B. ()若a-BFl,求a与b的关系式： (2)若a,b均为负整数，且x-B上1，求函数的解析式： (3)若a<1<B<2,求证：(：+1x+)<7. 【变式2】(24-25高一上辽宁沈阳阶段检测)对于二次函数y=+br+C(a≠0)，若 x,∈R,使得a+bx。+c=成立，则称o为二次函数y=+br+c(a≠0)的不动点. (1)求二次函数y=x2+2x-2的不动点 2)若二次函数y=2x-(2+)x+a-1有两个不相等的不动点，，且，>0，求 冬受的装小世 【变式3】(2324高一下云南阶段检测)已知二次函数y=x+(2k+5)x+k,f(x)>0的 解集为{xx<x,或x>x2} x好+好 (四若k=-1求西 的值； (2)若x<0,x2<0,求实数k的取值范围。 题型02分式不等式 x+3 【典例1】(25-26高一上四川成都阶段检测)不等式2≤0的解集为一 3x-7 【典例2】(25-26高一上辽宁朝阳期中)不等式x-2≤0的解集为一 3x-1 【变式1】(2526高一上安徽六安期中)不等式2->1的解集为 3x+1 【变式2】(25-26高一上·贵州遵义期中)不等式x-2 <0的解集为 3x-1-2<0的解集为 【变式3】(25-26高一上海南·期中)不等式x-1 题型03一元二次不等式（含参）的求解（两根大小不确定从两根相 等开始讨论) 【典例1】(24-25高二下江苏徐州期末)设y=mr2+(1-m)x+m-2. (1)若不等式y之0对x∈R恒成立，求实数m的取值范围； (2)若m<0,解关于x的不等式y<m-1. 【典例2】(25-26高一上福建厦门阶段检测)已知不等式2x2+x+b>0的解集为 4®} (1)求a,b的值： (2)解不等式ar2-(ac+3)x+3c>0 【变式1】(25-26高一下天津河北开学考试)设y=m2+(1-a)x+a-2. (1)若不等式y之-2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； 2)解关于x的不等式m2+(1-a)x+a-2<a-1(a<0) 【变式2】(25-26高一上广东肇庆·阶段检测)(1)求不等式-x+3x+4>0的解集： (2)解关于x的不等式：2-(3a+l)x+3<0(a>0). 题型04一元二次不等式（含参）的求解（首项系数含参从0开始讨 论) 【典例1】解关于x的不等式ar2+(1-a)x-1<0 【典例2】解下列关于x的不等式： 1)ax2+(2a-l)x-2<0: 2)x2-x-a(a-1)>0: 【变式1】求关于x的不等式r-(1-2a)x-2<0的解集. 【变式2】已知a,b,ceR,关于x的一元二次不等式x2-4x+c<0的解集为{b<x<3}. (1)求不等式-x2+4x-c<0的解集； (2)解关于x的不等式ar2-(ac+b)x+bc<0 【变式3】(25-26高一上天津西青阶段检测)已知二次函数y=mx2-2x-3,关于x的不 等式f,<0的解集为{x-l<x<m. (1)求实数m、n的值； (2)解关于x的不等式ax2+n+1>(m+1)x+2arx. 题型05一元二次不等式（含参)的求解（不可因式分解型) 【典例1】解下列关于x的不等式：x2-ax+1<0(a∈R) 【典例2】解下列关于x的不等式ar2-x+a<0(a<0). 【变式1】(25-26高一上辽宁期中)(1)已知a,B是方程x2+4x+1=0的两个根，求 a2+B+4a的值： (2)已知m∈R,求关于x的不等式mx2+2x+m>0的解集， 【变式2】(25-26高一上·黑龙江哈尔滨期中)己知函数y=ax2+2x+3(a∈R). (1)当a=-2时，求不等式y>2的解集； (2)求不等式y>0的解集 题型06基本不等式（凑配法） 1 1 【典例1】已知正实数a,b满足a+4h=2,则a+2+6+1的最小值为（） 3 A.1 B.4 c.8 D.2 且2+子=1，则。十b-2的 1 【典例2】(2026高二下浙江学业考试)已知a>0:b>0且。+6 最小值为 12 【变式1】(2026浙江二模)已知0<a<1,则2-2a+。的最小值为（) 9 A.2 B.2 c.5 D.9 2x 【变式2】(25-26高一上云南普洱期末)当x>1时，2x+x二1的最小值为() A.6 B.8 C.9 D.10 【变式3】(24-25高二下·天津静海阶段检测)设m,n为正数，且m+n=2,则 2m+3+3n+7 m+1 n+2的最小值为 题型07基本不等式（分离法) x2+x+1 【典例1】(24-25高三上江苏镇江·阶段检测)函数y= x-1的值域是 【典例2】(24-25高三上江苏常州期末)求函数y=-2+6 V:+1的最小值 x2+4x+3 【变式1】(24-25高一·上海开学考试)函数y= x-6 的值域为 【变式2】(2425高-全国课后作业)求-】(x≠的最值. 【变式3】（2425商一全国课后作业)已知x求丽数y=3+ x+1一的最小值. 题型08基本不等式（换元法） 【典例1】(25-26高二下江西上饶期末)已知实数x,y满足3x+3y-2y=4,则 x+y的最大值为 【典例2】(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)已知正实数a,b满足ab+a+b=8,则ab的 最大值是 1 1 【变式1】已知正实数m'n满足m+2n十2m+n引，则m+n的最小值为 【变式2】(25-26高一下·浙江杭州期中)若关于x的不等式-b≤1解集为{xx≥3}， 其中a6eR,则2a+6-2的取值范用为 b2+a 【变式3】（25-26高二下-江苏常州：期末)已知a'b>0:若2a+b=1:则a+6的最小 值为 题型09基本不等式（常数代换“1”的代换) 21 【典例1】(2026-河北沧州：二模)已知a>0:b>0:且a+2b=5,则。+6的最小值为 () A.5 > 6 B.5 c.5 0.5 1 1 【典例2】（2026：辽宁沈阳三模)已知正数x,y满足x+y=1,则2x+yx+2y的最小值 为 【变式1】(25-26高一下江西藤州期中)已知正数a,6满足2+片1，则8+h的最小 8 值为() A.17 B.21 C.25 D.29 13 【变式2】(2026上海静安三模)若x,y均为正数，且x+y=4,则x+y的最小值为 13 【变式3】(25-26高一下旷广东江门期中)已知x>0'y>0:且3x+y=1则十的最 小值为. -,此时x= 题型10基本不等式（消元法） 〔典例1】(25-26高三下重庆九龙坡期未末)已知正数x,y满足-vty=0,则y+9 的最小值为() A.4 B.7 C.8 D.9 【典例2】(25-26高一下广东广州期末)已知a>1,b>1,且ab=a+b+3,则4a+b的 最小值为 【变式1】(24-25高一上四川成都期末)若a>0,b>0,ab+2a+b=4,则a+b的最小 值为() A.2 B.V6-1 C.2W6-2 D.26-3 【变式2】(25-26高一下贵州贵阳阶段检测)己知x,y均为正数，若y+x+y=8,则 x+4y最小值为 【安式】25程尚平三碳节060且后。1，周 2a +b的最小值为