九大技巧利用基本不等式求最值专题练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“一正二定三相等”为核心，通过九大技巧系统构建基本不等式求最值的方法体系，强化数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |九大技巧|44题|乘除配系数、加减配常数、配1法等|从基本不等式定义出发，经前提条件（一正二定三相等）到均值定理，再通过技巧实现从简单到复杂情境的应用，形成概念-原理-应用的逻辑链|

基本不等式求最值的九大技巧 一 主要内容 1、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2.若，则，当且仅当时取等号； 3.若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 四个平均数不等式：，当且仅当时等号成立. 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 4.当且仅当a = b = c时,“=”号成立； 5. ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立. 6．，利用基本不等式，，当且仅当时，等号成立. 求最值结论：积为定值 ，和有最小值；和为定值，积有最大值 使用条件： 一正二定三等，三者缺一不可 7.其他变形： （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 8、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 9、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 二 基本不等式求最值的九大技巧 技巧一 乘除配系数: 1.已知求函数的最大值． 2. 求的最大值 技巧二 加减配常数 3. 若，则的最小值为　　 A．7 B． C．9 D． 4．函数的最小值为　　 A．5 B．3 C．8 D．6 5．函数的最小值是　　 A．4 B．6 C．8 D．10 6．函数的最小值是　　 A． B． C． D． 技巧三 .配1法 7．已知，，且满足，则的最小值为　　 A．9 B．10 C．12 D．16 8．已知正实数，满足．则的最小值为　　 A．4 B． C． D． 9．已知，，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 10．已知，，且，则的最小值为　　 A．9 B．10 C．11 D． 11．正数，满足，则的最小值为　　 A． B． C． D．2 12．设，，且，则　　 A．有最小值为4 B．有最小值为 C．有最小值为 D．无最小值 13.已知，，且，则的最大值为　2　；的最小值为　　． 技巧四.换元法 改变形式，然后用配一法 14.已知，，且，则的最小值为　　． 15.若实数、满足，则的最大值为　　 A． B． C． D． 16.已知，则的最小值为　　 A． B． C． D． 技巧五.消元法 17．若正数，满足，则的最小值是　　 A．4 B． C．2 D． 18．已知正实数，满足，则的最小值为　　． 19.已知实数，满足，且，则的最小值为　　 A．21 B．24 C．25 D．27 技巧六. 使用两次基本不等式 20.已知、都为正数且满足，则的最小值为　　．的最大值___________ 21．已知正实数，满足，则的最小值为　　． 22.若正数、满足，设，则的最大值是　　 A．12 B． C．16 D． 23.若实数，满足，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 24．（若正数，满足，则的最小值为　　 A． B． C． D．2 25．若，，且，则的最小值为　　 A．2 B． C．4 D． 技巧七 二次分式型函数求最值 26.已知，求函数的最小值； 27.若，求的最小值． 技巧八. 平方转化法 28.函数的最大值为　　． 29.若、都是正实数且满足，则的最大值是　　． 30.已知，则的最小值为　　 A．2 B．3 C． D． 31.求的最大值 技巧九.不等式恒成立处理策略 32.已知，，，若不等式对已知的，及任意实数恒成立，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 33.已知，，若不等式恒成立，则正数的最小值是　　 A．2 B．4 C．6 D．8 34．当时，不等式恒成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 35．若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是　　 A． B． C．，， D．，， 36．若两个正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围是　　 A．，B．， C．D． 巩固提升： 一、单选题 1．已知，为正实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 3．已知a，b均为正数，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．11 5．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6.下列等式中最小值为4的是(　　) A.y＝x＋ B.y＝2t＋ C.y＝4t＋(t＞0) D.y＝t＋ 7.已知a＞0，且b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　) A. B.4 C. D.2 8.若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 9.设x＞0，则3－3x－的最大值是(　　) A.3 B.3－2C.－1 D.3－2 10.若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是(　　) A.6 B. C.4 D. 二、多选题 11．已知正数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 12．下列命题正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则式子有最小值 D．若，，，则 13．已知，，，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值为16 B．的最小值为9 C．的最小值为25 D．的最小值为128 14．已知，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 15．已知，，为实数，则下列命题成立的是（    ） A．若，则 B．，，，都有 C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为4 16．已知正实数，满足，则下列结论正确的是（      ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为4 D．的最小值为2 17．已知，，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 18.下列四个函数中，最小值为2的是(　　) A.y＝sin x＋ B.y＝ln x＋(x＞0，x≠1) C.y＝ D.y＝4x＋4－x 三、填空题 19．已知，则的最小值为________． 20．回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 21．已知，都是正实数，解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值． 22.已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则＋的最小值为________. 23.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元. 24.命题“∀x∈(1，＋∞)，x2－ax＋a＋2＞0”为真命题，则实数a的取值范围是________. 25.(1)当x＞1时，求2x＋的最小值； (2)当x＞1时，求的最小值. 26.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求： (1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值. 27.已知△ABC的面积为1，内切圆的半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋的最小值为(　　) A.2 B.2＋ C.4 D.2＋2 28.(多选)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是(　　) A.a＋b＋c≤ B.(a＋b＋c)2≥3C.＋＋≥2 D.a2＋b2＋c2≥1 29.(1)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，求＋＋的最小值； (2)若a，b∈R，ab>0，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式求最值的九大技巧 一 主要内容 1、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2.若，则，当且仅当时取等号； 3.若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 四个平均数不等式：，当且仅当时等号成立. 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 4.当且仅当a = b = c时,“=”号成立； 5. ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立. 6．，利用基本不等式，，当且仅当时，等号成立. 求最值结论：积为定值 ，和有最小值；和为定值，积有最大值 使用条件： 一正二定三等，三者缺一不可 7.其他变形： （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 8、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 9、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 二 基本不等式求最值的九大技巧 技巧一 乘除配系数: 1.已知求函数的最大值． 法一 ：， 当且仅当即时，函数取得最小值 法二 ，当时，函数有最大值； 2. 求的最大值 解： 当且仅当，即时取等号，故的最大值为 技巧二 加减配常数 3. 若，则的最小值为　　 A．7 B． C．9 D． 解：，，则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为9，故选：． 4．函数的最小值为　　 A．5 B．3 C．8 D．6 解：， 当且仅当，即时，取等号．所以函数的最小值为8．故选：． 5．函数的最小值是　　 A．4 B．6 C．8 D．10 解：， 当且仅当，即时，等号成立．所以函数的最小值为8．故选：． 6．函数的最小值是　　 A． B． C． D． 解：； ，当且仅当，即时取“”； 的最小值是．故选：． 技巧三 .配1法 7．已知，，且满足，则的最小值为　　 A．9 B．10 C．12 D．16 解：，， 当且仅当且，即时取等号，故选：． 8．已知正实数，满足．则的最小值为　　 A．4 B． C． D． 解：正实数，满足，，即， ， 当且仅当 时，等号成立，则的最小值为，故选：． 9．已知，，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 解：由，，，， （当且仅当即，时取等号），故则的最小值为，故选：． 10．已知，，且，则的最小值为　　 A．9 B．10 C．11 D． 解：，，又，且， ， 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为10．故选：． 11．正数，满足，则的最小值为　　 A． B． C． D．2 解：正数，满足，，， ， 当且仅当，时“”成立，故选：． 12．设，，且，则　　 A．有最小值为4 B．有最小值为 C．有最小值为 D．无最小值 解：，，且，，解得． ，当且仅当，时取等号．有最小值．故选：． 13.已知，，且，则的最大值为　2　；的最小值为　　． 解：因为，，且，则， 当且仅当即，时取等号， ， 当且仅当且即，时取等号．故答案为：2，3 技巧四.换元法 改变形式，然后用配一法 14.已知，，且，则的最小值为　　． 解：令，，则，，且，， 而，当且仅当，即时，等号成立．的最小值为，． 故答案为：． 15.若实数、满足，则的最大值为　　 A． B． C． D． 解：可令，，由，可得，同号，，同号． 即有，，则 ，当且仅当，取得等号，即有所求最大值为． 故选：． 16.已知，则的最小值为　　 A． B． C． D． 解：，解之得，则， 当且仅当，即，时等号成立． 技巧五.消元法 17．若正数，满足，则的最小值是　　 A．4 B． C．2 D． 解：因为，所以，所以， 当且仅当时等号成立，故选：． 18．已知正实数，满足，则的最小值为　　． 解：因为正实数，满足，所以，所以， 则， 当且仅当即时取等号，故答案为：． 19.已知实数，满足，且，则的最小值为　　 A．21 B．24 C．25 D．27 解：根据题意，实数，满足，变形可得，则有， 则， 设，则有，，又由， 则有，即的最小值为27，此时，即；故选：． 技巧六. 使用两次基本不等式 二级结论1：已知，求的最值 方法一，分解因式 方法二 消元法 20.已知、都为正数且满足，则的最小值为　　．的最大值___________ 解1：、都为正数且满足， 等号当时成立．，或（舍 的最小值为2，,,故的最小值为2,的最大值为1 解2.消元通法 由可得，则 ，当且仅当时取等号，故的最小值为2 当且仅当时取等号，故的最大值为1 21．已知正实数，满足，则的最小值为　　． 法一 由可得，， 当且仅当且 即，时取等号 解：因为正实数，满足，所以，所以， 则， 当且仅当即时取等号，故答案为：． 22.若正数、满足，设，则的最大值是　　 A．12 B． C．16 D． 解：正数、满足，令，则整理可得，， ，，设，， 结合二次函数的性质可知，当时取得最大值12．故选：． 二级结论2：已知，求的最值 方法：求的最值，利用，转化成求解关于的一元二次不等式 的最值，利用转化一下，再求解的一元二次不等式 23.若实数，满足，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 解：因为，则，当且仅当时取等号， ，当且仅当且时取等号，即时取等号，此时取得最小值3． 故选：． 24．（若正数，满足，则的最小值为　　 A． B． C． D．2 解：，，， ，，当且仅当时取等号，．故选：． 25．若，，且，则的最小值为　　 A．2 B． C．4 D． 解：，，且，，可得．当且仅当时取等号．，当且仅当时取等号．则的最小值为4，故选：． 技巧七 二次分式型函数求最值 26.已知，求函数的最小值； 解：，， 当且仅当即时取等号，的最小值9； 27.若，求的最小值． 解：，，， 当且仅当，即时最小值为1 技巧八. 平方转化法 28.函数的最大值为　　． 解：函数，，可得， 当且仅当，即，取得等号，则的最大值为，故答案为：． 29.若、都是正实数且满足，则的最大值是　　． 解：，， ，， 由均值不等式得当，即，时，有最大值，故答案为： 30.已知，则的最小值为　　 A．2 B．3 C． D． 解：由于，即有，，解得， 当且仅当时，取得最小值，且为．故选：． 31.求的最大值 解：，， 的最大值为 技巧九.不等式恒成立处理策略 32.已知，，，若不等式对已知的，及任意实数恒成立，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 解：， 当且仅当时等号成立，，即，．故选：． 33.已知，，若不等式恒成立，则正数的最小值是　　 A．2 B．4 C．6 D．8 解：因为，，正数；， 因为不等式恒成立，所以，即，解得， 所以．故选：． 34．当时，不等式恒成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 解：，， 当且仅当，即时取等号，当时，不等式恒成立， 只需．的取值范围为：，．故选：． 35．若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是　　 A． B． C．，， D．，， 解：正实数，满足， 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解，，解可得或，故选：． 36．若两个正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围是　　 A．，B．， C．D． 解：正实数，满足， ，当且仅当即且时取最小值8， 恒成立，，解关于的不等式可得故选：． 巩固提升： 一、单选题 1．已知，为正实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式可化为：， 因为 ，由基本不等式，当且仅当 ，即 时取等号． 所以原式的最小值为： 2．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】正实数，满足， 则有 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 3．已知a，b均为正数，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用可得，结合基本不等式即可求解最小值. 【详解】因为a，b均为正数，且，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为6. 4．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【详解】， 当且仅当时，取等号，即的最小值为9. 5．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将恒成立问题转化为求的最小值，再借助均值不等式即可求得结果. 【详解】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 6.下列等式中最小值为4的是(　　) A.y＝x＋ B.y＝2t＋ C.y＝4t＋(t＞0) D.y＝t＋ 答案　C 解析　运用基本不等式的条件是“一正、二定、三相等”，A，B，D均不满足“一正”条件，故选C. 7.已知a＞0，且b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　) A. B.4 C. D.2 答案　D 解析　4＝2a＋b≥2，即2≥，两边平方得4≥2ab， ∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值为2. 8.若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 答案　C 解析　依题意ab＝a＋b， ∴a＋b＝ab≤，即a＋b≤， ∴a＋b≥4，当且仅当a＝b时取等号，∴a＋b的最小值为4. 9.设x＞0，则3－3x－的最大值是(　　) A.3 B.3－2C.－1 D.3－2 答案　D 解析　∵x＞0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立， ∴－≤－2，则3－3x－≤3－2. 10.若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是(　　) A.6 B. C.4 D. 答案　B 解析　x2＋y2＋xy＝1⇒(x＋y)2－xy＝1， ∵xy≤，当且仅当x＝y时取等号，∴(x＋y)2－≤1， 即(x＋y)2≤1，∴－≤x＋y≤，∴x＋y的最大值是.故选B. 二、多选题 11．已知正数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A：由题意，，. 所以，. 当且仅当，即，，取等号，故A正确； 对于B：， 由（1）知，所以，即，故B不正确； 对于C：. 所以，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即，即时取等号（负值舍去），所以D正确. 12．下列命题正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则式子有最小值 D．若，，，则 【答案】BD 【分析】利用不等式性质以及基本不等式运算，逐个选项判断即可. 【详解】对于A，由，，则， 则，即， 则，故A错误； 对于B，由， 因为，所以， 所以，即，故B正确； 对于C，当时，， 根据基本不等式，和，有， 所以，当且仅当即时取等号， 所以有最大值，故C错误； 对于D，因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，即，故D正确. 13．已知，，，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值为16 B．的最小值为9 C．的最小值为25 D．的最小值为128 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式，结合“1”的代换方法，逐一分析各个选项，即可得答案 【详解】选项A：因为，，所以，解得， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为16，故A正确； 选项B： ， 当且仅当，即时等号成立，的最小值为9，故B正确； 选项C：由变形得，则， 而， 所以不存在满足条件的使得，故C错误； 选项D：因为，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 14．已知，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，所以，即，当且仅当时等号成立，故B正确， 又，即，当且仅当时等号成立，故D正确， 由，得，当且仅当时等号成立，故A错误， 因为，由，得， 即，，当且仅当时等号成立，故C正确． 15．已知，，为实数，则下列命题成立的是（    ） A．若，则 B．，，，都有 C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式的性质，抛物线的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，是实数，若，则不成立，所以A错误； 对于B，. 因为，所以， 所以，，，恒成立， 当且仅当时，等号成立，所以B正确； 对于C，因为，所以，所以. 根据抛物线的性质可知，当时，的最大值为，所以C正确； 对于D，因为，所以令，则. 所以. 由基本不等式的性质可得，所以. 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最小值为4，所以D正确. 16．已知正实数，满足，则下列结论正确的是（      ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为4 D．的最小值为2 【答案】ABD 【分析】选项A变形已知等式，推导的取值范围，选项B应用均值不等式求解，选项C利用的代换变形，应用均值定理求解，选项D将所求式子变形为，求最值. 【详解】正实数，满足，， ，，选项A正确； ，，， 当且仅当时，即时，等号成立，选项B正确； ， 当且仅当，即时，即等号成立，选项C错误； ， ，，，选项D正确. 17．已知，，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】根据基本不等式判断A，根据“1”的代换及基本不等式判断B，根据指数幂的运算及基本不等式判断C，利用换元法及二次函数的性质判断D. 【详解】选项A，因为，， 所以，当且仅当，即时等号成立，故该选项正确； 选项B，因为，， 当且仅当，即时等号成立，故该选项不正确； 选项C，， 当且仅当，即时等号成立，故该选项正确； 选项D，， 由可知，故当时，的最小值为，故该选项不正确. 18.下列四个函数中，最小值为2的是(　　) A.y＝sin x＋ B.y＝ln x＋(x＞0，x≠1) C.y＝ D.y＝4x＋4－x 答案　AD 解析　对于A，因为0＜x≤，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋≥2，当且仅当sin x＝，即sin x＝1时取等号，符合题意； 对于B，当0＜x＜1时，ln x＜0，此时y＝ln x＋为负值，最小值不是2，不符合题意； 对于C，y＝＝＋，设t＝，则t≥，则y≥＋＝，其最小值不是2，不符合题意； 对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋≥2＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意.故选AD. 三、填空题 19．已知，则的最小值为________． 【答案】1 【分析】根据权方和不等式：计算式子的最小值． 【详解】 ； 当且仅当，即时，等号成立，故最小值为1． 四、解答题 20．回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变形代数式，应用基本不等式求最值，验证等号成立的条件； （2）首先换元，利用的代换结合基本不等式求最值，然后求解恒成立问题. 【详解】（1）因为，， ， 当且仅当，得时等号成立， 故最小值为. （2）令，， ，所以， ，， 即，可得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，的最小值为， 若恒成立，则， 即的取值范围为. 21．已知，都是正实数，解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）将化为，利用基本不等式即可求得答案； （2）利用，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案． 【详解】（1）由题意，知， 所以， （当且仅当 ，即取等号）， 故的最小值为5. （2）因为都是正实数，， 所以 ，当且仅当 ，即时取等号，故的最小值为18； 22.已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则＋的最小值为________. 答案　4＋2 解析　＋＝(a＋b)＝4＋≥4＋2＝4＋2， 当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立. 23.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元. 答案　8 解析　每台机器运转x年的年平均利润为＝万元，由于x＞0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元. 24.命题“∀x∈(1，＋∞)，x2－ax＋a＋2＞0”为真命题，则实数a的取值范围是________. 答案　(－∞，2＋2) 解析　依题意∀x∈(1，＋∞)，x2－ax＋a＋2＞0恒成立， 即a(x－1)＜x2＋2，即a＜恒成立. ∵＝ ＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2， 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立，∴a＜2＋2. 25.(1)当x＞1时，求2x＋的最小值； (2)当x＞1时，求的最小值. 解　(1)2x＋＝2＋2，∵x＞1，∴x－1＞0， ∴2x＋≥2×2＋2＝10，当且仅当x－1＝，即x＝3时，取等号. (2)令y＝＝＝(x－1)＋＋2. 因为x－1＞0，所以y≥2＋2＝8， 当且仅当x－1＝，即x＝4时，y取最小值为8. 26.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求： (1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值. 解　(1)∵xy＝2x＋8y≥2，即xy≥8，即xy≥64， 当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，等号成立， ∴xy的最小值为64. (2)由2x＋8y＝xy，得＋＝1，则x＋y＝(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2＝18.当且仅当＝，即x＝12，y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 27.已知△ABC的面积为1，内切圆的半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋的最小值为(　　) A.2 B.2＋ C.4 D.2＋2 答案　D 解析　因为△ABC的面积为1，内切圆的半径也为1， 所以(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2， 所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2， 当且仅当＝且a＋b＋c＝2，即c＝2－2时，等号成立， 所以＋的最小值为2＋2. 28.(多选)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是(　　) A.a＋b＋c≤ B.(a＋b＋c)2≥3C.＋＋≥2 D.a2＋b2＋c2≥1 答案　BD 解析　由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)＝2，∴a2＋b2＋c2≥1， 当且仅当a＝b＝c＝±时，等号成立. ∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥. 若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3<2.因此，A，C错误，B，D正确. 29.(1)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，求＋＋的最小值； (2)若a，b∈R，ab>0，求的最小值. 解　(1)因为a＞0，b＞0，ab＝1，所以原式＝＋＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即a＋b＝4时，等号成立.故＋＋的最小值为4. (2)∵a，b∈R，ab>0， ∴≥＝4ab＋≥2＝4，当且仅当即时取得等号. 1 学科网（北京）股份有限公司 $