26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图象和性质，通过复习 \( y = x^2 \)、\( \frac{1}{2}(x - 6)^2 \) 的开口方向、对称轴、顶点及平移规律，搭建从顶点式到一般式的学习支架，引导学生逐步探究新知。 其亮点在于“依式计算-画图验证-归纳规律”三阶教学，任务一配方培养运算能力和推理意识，任务二画图用几何直观验证性质，任务三表格归纳用模型观念总结规律。课堂评价与实践作业助力学生深化理解，教师可通过结构化流程提升教学效率。

第二十六章 二次函数 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.3 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 1 导入新课 问题 1: 你能说出函数 y = x2 图象的开口方向、对称轴和顶点吗? 问题 2: 你能说出函数 y = (x - 6)2 图象的开口方向、对称轴和顶点吗? 开口向上 对称轴为 x = 0 顶点是(0, 0) 开口向上 对称轴为 x = 6 顶点是(6, 0) 2 导入新课 开口向上 但对称轴、顶点以及两函数图象的关系目前有些困难. 问题 3: 函数 y = (x - 6)2 的图象与函数 y = x2 的图象有什么关系? 函数 y = (x - 6)2 的图象可以看成是由函数 y = x2 的图象向右平移 6 个单位长度得到的. 问题 4: 不画图象, 你能直接说出二次函数 y = x2 - 6x + 21 的图象的开口方向、对称轴和顶点吗? 函数 y = x2 - 6x + 21 的图象与 y = x2 的图象有什么关系? 3 任务一：依式计算，由数想形 高效课堂 对二次函数配方可得 问题 1: 能否将 y = x2 - 6x + 21 化为 y = a(x - h)2 + k (a ≠ 0) 的形式? 说出二次函数 y = x2 - 6x + 21 图象的开口方向、对称轴和顶点. 函数 y = x2 - 6x + 21 的图象与 y = x2 的图象有什么关系? y = x2 - 6x + 21 = (x2 - 12x + 42) = (x2 - 12x + 36 - 36 + 42) = (x - 6)2 + 3. 图象的开口向上, 对称轴为 x = 6, 顶点为 (6, 3). 函数 y = x2 - 6x + 21 的图象是由函数 y = x2 的图象先向右平移 6 个单位长度, 再向上平移 3 个单位长度得到的. 4 高效课堂 问题 2: 能否将 y = -2x2 - 4x + 1 化为 y = a(x - h)2 + k 的形式? y = -2x2 - 4x + 1 = -2(x2 + 2x - ) = -2(x2 + 2x + 1 - 1 - ) = -2(x + 1)2 + 3. 5 任务二：画出图象，用形验数 高效课堂 问题: 你能直接画出二次函数 y = x2 - 6x + 21 和 y = -2x2 - 4x +1 的图象吗? 你能根据图象研究它们的性质吗? (1) 将 y = x2 - 6x + 21 配方得 y = (x - 6)2 + 3. x … 3 4 5 6 7 8 9 … y … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 … 利用图象的对称性列表: 图象开口向上, 对称轴为 x = 6, 顶点为 (6, 3). (6, 3) 5 10 10 5 O x y y= x2-6x+21 当 x = 6 时, 函数有最小值 y = 3. 当 x < 6 时, y 随 x 增大而减小; 当 x > 6 时, y 随 x 增大而增大. 描点并连线, 如图. 6 高效课堂 (2)将 y = -2x2 - 4x +1 配方得 y = -2(x + 1)2 + 3. x … -3 -2 -1 0 1 … y … -5 1 3 1 -5 … 利用图象的对称性列表: 图象开口向上, 对称轴为 x = -1, 顶点为 (-1, 3). 当 x = -1 时, 函数有最大值 y = 3. 当 x < -1 时, y 随 x 增大而增大; 当 x > -1 时, y 随 x 增大而减小. (-1, 3) y = -2x2 - 4x +1 2 -2 O x y 4 6 -4 -6 -2 -4 -6 2 4 描点并连线, 如图. 7 任务三：类比迁移，揭示规律 高效课堂 问题: 对于任意一个二次函数 y = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), 如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点? 因为 + 8 高效课堂 所以二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象的 对称轴为 , 顶点为 , 开口方向由 a 的正负决定. 9 高效课堂 探究二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象及其性质, 并完成下表: 函数 y = ax2 + bx + c (a > 0) y = ax2 + bx + c (a < 0) 图象 开口方向 顶点 对称轴 增减性 最值 向上 向下 当 时, y 随 x 的增大而减小; 当 时, y 随 x 的增大而增大 当 时, y 有最小值, 为 当 时, y 随 x 的增大而增大; 当 时, y 随 x 的增大而减小 当 时, y 有最大值, 为 x y O x y O 10 课堂评价 1.将二次函数 y = x2 - 2x + 4 化为 y = a(x - h)2 + k 的形式,下列正确的是 ( ) A. y = (x - 1)2 + 2 B. y = (x - 1)2 + 3 C. y = (x - 2)2 + 2 D. y = (x - 2)2 + 4 B D 2.已知抛物线 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)在平面直角坐标系中的位置如图所示, 则下列结论正确的是 ( ) A. a > 0 B. b < 0 C. c < 0 D. a + b + c > 0 y x O 1 1 11 课堂评价 3.若抛物线 y = ax2 - 12x + 3 的对称轴是 x =-3, 则 a 的值为_______. 4.求下列函数的最大值或最小值: (1) y = 3x2 + 2x; (2) y = -2x2 + 8x - 8. -2 答案 (1) 因为 a = 3 > 0, 所以函数 y = 3x2 + 2x 有最小值, 所以 (2) 因为 a = -2 < 0, 所以函数 y = -2x2 + 8x - 8 有最大值, 所以 12 课堂总结 1.本节课我们学习了哪些知识? 2.解决二次函数相关问题时,你有哪些技巧和注意事项? 3.你是经历怎样的过程得到函数的图象和性质的,这个过程运用了哪些数学思想方法? 13 作业设计 基础性作业: 教材练习第 1 题. 提高性作业: 家里的阳台有一面靠墙的瓷砖墙面, 现在有一段长 3 米的装饰灯带, 想要用它在阳台地面围出一个一边靠瓷砖墙的矩形小花坛(用来摆放多肉盆栽), 让同学们用绳子模拟灯带亲手围出这个矩形小花坛的轮廓(可以在地面用粉笔画线、用绳子摆边框等方式操作),设矩形垂直于墙面的边长为 x 米. (1)请你先动手操作, 尝试围出 3 种不同尺寸的矩形小花坛, 记录下每次的边长和对应的面积. (2)求这个小花坛的面积 y(m2) 与 x(m) 之间的函数解析式. (3)求这个小花坛面积的最大值, 并说出此时围出的矩形两条边长分别是多少. 14 $