26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质-课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕二次函数\(y = ax^2\)的图象和性质展开，通过回顾二次函数概念及一次函数“列表、描点、连线”的研究方法，引导学生从\(y = x^2\)入手，用描点法画图并观察形状特征，逐步探究抛物线的开口方向、对称轴、顶点及参数\(a\)的影响，搭建知识学习支架。 其亮点在于注重学生动手实践与观察归纳，通过对比\(y = x^2\)、\(y = \frac{1}{2}x^2\)等图象培养几何直观和推理意识，结合分层练习（必做、选做、综合拓展）巩固知识。这既发展学生用数学眼光观察、用数学思维思考的能力，又便于教师因材施教，提升教学效果。

第二十六章 二次函数 26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 1．会用描点法画的函数图象，认识抛物线． 2．通过观察图象，掌握的开口方向、对称轴、顶点等图象特征． 3．理解参数对抛物线开口方向、开口大小的影响． 1. 说一说二次函数的概念？ 一般地，形如是常数，的函数，叫作二次函数． 2. 研究一次函数我们采用什么样的过程？ 列表、描点、连线 二次函数也是函数，我们沿用这套方法，先来研究最简单的二次函数，猜一猜它的图象会是什么样子？ 4 问题：仿照一次函数图象的画法，画出二次函数y＝x2的图象． 解：列表 ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... ... 9 4 1 0 1 4 9 ... 根据表中的值在平面直角坐标系中描点， x 3 y O 9 6 3 -3 y＝x2 再用平滑曲线顺次连接各点，就得到的图象. 观察所画图象，你能说一下它的形状特征吗？ x 3 y O 9 6 3 -3 y＝x2 可以看出，二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上. 实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下.我们把二次函数的图象叫作抛物线 x 3 y O 9 6 3 -3 y＝x2 想一想：所画出的抛物线y＝x2上分别取点（2，4），（3，9），并找到它们关于y轴的对称点，你发现了什么？ 轴是抛物线的对称轴 在抛物线上任取一点，因为该点关于轴的对称点也在抛物线上，所以抛物线关于轴对称. 对称轴 抛物线与其对称轴的交点叫作抛物线的顶点，它是抛物线的最低点． x 3 y O 9 6 3 -3 y＝x2 顶点 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点． 对称轴 x 3 y O 9 6 3 -3 y＝x2 从二次函数 y＝x2 的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升． 　　当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小． 　　当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大． 例：在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象. 解：分别列表，再画出它们的图象. ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ... O 2 4 6 8 2 4 x y -2 -4 ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ... y＝2x2 思考：（1）函数，y＝2x2的图象与函数y＝x2的图象（图中的虚线图形）相比，有什么相同点和不同点？ y＝x2 相同点： 1.抛物线的开口向上； 2.对称轴是y轴； 3.顶点是原点，顶点是抛物线的最低点； 4.当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小． 不同点：开口大小不同， 思考：（2）利用信息技术工具画二次函数的图象，改变的值，函数的图象也发生了改变.随着的变化，二次函数的图象有什么变化? a越大，抛物线的开口越小． 一般地，当时，抛物线的开口向上，对称轴是轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，越大，抛物线的开口越小. 进一步，从二次函数的图象可以看出：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大. x y O y＝ax2(a>0) 探究：回顾上面研究二次函数的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究二次函数的图象和性质吗? 类似于对函数的研究，可以在同一平面直角坐标系中画出函数的图象 观察这些抛物线有什么共同点和不同点.也可以利用信息技术工具画二次函数的图象，改变的值，观察随着的变化，二次函数的图象的变化. 相同点： 1.抛物线的开口向下； 2.对称轴是y轴； 3.顶点是原点，顶点是抛物线的最高点； 4.当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大． 不同点：开口大小不同. a越小，抛物线的开口越小． 15 一般地，当时，抛物线的开口向下，对称轴是轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，越小，抛物线的开口越小. 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. x y O y＝ax2(a<0) 一般地，抛物线的对称轴是轴，顶点是原点.当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点. 越大，抛物线的开口越小. 从二次函数的图象可以看出：如果，那么当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；如果，那么当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小. 【知识技能类练习】必做题： 1．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． C 【知识技能类练习】必做题： 2．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【知识技能类练习】必做题： 3．在下面给定的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并回答下列问题： （1）当x取何值时，y有最小值？最小值是多少？ （2）当时，y随x的增大怎样变化？当时呢？ 解：作函数的图象如图所示．  （1）根据图象可知，当时，有最小值，最小值是． （2）根据图象可判断，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【知识技能类练习】选做题： 4．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ）  A．3 B．2 C． D． D 【综合拓展类练习】 5．根据条件，求下列各题中的取值或取值范围． (1)函数有最小值； (2)函数，当时，随着的增大而增大； (3)与的函数图象形状相同； (4)函数的图象是开口向下的抛物线． 解：（1）函数有最小值， ， ； 【综合拓展类练习】 （2）当时，函数的函数值随着的增大而增大， ，； （3）与的函数图象形状相同， ， 或； （4）函数的图象是开口向下的抛物线， 且， 或， ， ． 二次函数 y＝ax2 (a≠0)的图象和性质 a＞0 a＜0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 【知识技能类作业】必做题： 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） C 【知识技能类作业】必做题： 2．已知抛物线经过第二象限，那么这条抛物线的开口方向是____________． 向上 【知识技能类作业】必做题： 3．已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 解：（1）∵函数是关于的二次函数， ∴，解得：或，∴满足条件的值为． （2）当时，函数为，开口向上，此时抛物线有最低点，当时，随的增大而减小． （3）当时，函数为，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大． 【知识技能类作业】选做题： 4．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． D 【综合拓展类作业】 5．如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求的值； (2)若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积． 解：（1）把代入抛物线得： ， 解得：； （2）由（1）可知抛物线的解析式为， ∴当时，则有，解得：， 当时，则有， ∴， ∴． 二一教育 二一教育 $