26.2.2 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质（课件）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)的图象和性质，分三课时逐步探究\(y=ax^2+k\)、\(y=a(x-h)^2\)及完整形式。导入通过回忆\(y=ax^2\)性质，结合配方法迁移，分\(h=0,k≠0\)、\(h≠0,k=0\)到\(h≠0,k≠0\)构建学习支架。 其亮点在于以旧知迁移培养推理意识，高效课堂用描点法、信息技术画图发展几何直观，投篮、喷水池等实例体现模型意识。总结用表格对比性质，作业分层设计。学生能逐步构建知识体系，教师可依托清晰流程提升教学效率。

第二十六章 二次函数 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.2 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质 第1课时 二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质 1 导入新课 回忆二次函数 y = ax2 的图象和性质. 抛物线 y = ax2 的对称轴是 y 轴, 顶点是原点. 当 a > 0 时, 抛物线的开口向上, 顶点是抛物线的最低点; 当 a < 0 时, 抛物线的开口向下, 顶点是抛物线的最高点. |a| 越大 抛物线的开口越小 从二次函数 y = ax2 的图象可以看出: a > 0 当 x < 0 时, y 随 x 的增大而减小; 当 x > 0 时, y 随 x 的增大而增大; a < 0 当 x < 0 时, y 随 x 的增大而增大; 当 x > 0 时, y 随 x 的增大而减小. 2 导入新课 在研究了 y = ax2 的图象和性质之后, 我们进一步探讨当 b, c 不为零时, 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质. 如何研究呢? 能否将 y = ax2 + bx + c 化为类似 y = ax2 的简单形式? 回想一下, 上一章是如何通过配方法解一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的? 由此, 你得到了什么启发? 通过配方, 可以将 “ax2 + bx + c” 转化为 “a(x - h)2 + k” 的形式, 即可将二次函数 y = ax2 + bx + c 转化为 y = a(x - h)2 + k 的形式. 当分别讨论 h, k 的取值时, 就可以建立起 y = ax2 + bx + c 与 y = ax2 的联系了. 先来讨论当 h = 0, k ≠ 0 时, 二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质. 3 高效课堂 -2 -4 2 4 x -2 2 4 6 8 10 O y y= x2-2 y= x2+2 y= x2 任务一：探究二次函数 y = x2 + 2，y = x2 - 2 的图象 在同一平面直角坐标系中, 画出二次函数 y = x2 y = x2 + 2, y = x2 - 2 的图象. 4 高效课堂 -2 -4 2 4 x -2 2 4 6 8 10 O y y= x2-2 y= x2+2 y= x2 问题1: 分别指出二次函数 y = x2 + 2, y = x2 - 2 的图象的开口方向、对称轴和顶点. 抛物线 y = x2 + 2 的开口向上, 对称轴是 y 轴, 顶点是(0, 2); 抛物线 y = x2 - 2 的开口向上, 对称轴是 y 轴, 顶点是(0, -2). 问题2: 抛物线 y = x2 + 2, y = x2 - 2 与抛物线 y = x2 之间有什么关系? 观察三者的图象, 把抛物线 y = x2 (图中的虚线图形)向上平移 2 个单位长度, 就得到抛物线 y = x2 + 2; 把抛物线 y = x2 向下平移 2 个单位长度, 就得到抛物线 y = x2 - 2. 5 任务二：探究二次函数 y = ax2 + k 的图象及性质 高效课堂 利用信息技术工具画函数 y = ax2 + k 的图象(不妨令 a 分别为 和 - ). 改变 k 的值, 如图 1、图 2, 你发现了什么? 图 1 图 2 6 高效课堂 可以发现, 随着 k 的变化, 二次函数 y = ax2 + k 的图象在向上或向下平移, 即把抛物线 y = ax2 向上(k > 0)或向下(k < 0)平移 |k| 个单位长度, 就得到抛物线 y = ax2 + k. 抛物线上下平移的规律是“上加下减”. 归纳：抛物线 y = ax2 + k 的对称轴是 y 轴, 顶点是(0, k). 当 a > 0 时, 抛物线的开口向上, 顶点是抛物线的最低点; 当 a < 0 时, 抛物线的开口向下, 顶点是抛物线的最高点. 7 高效课堂 从二次函数 y = ax2 + k 的图象可以看出: 当 x < 0 时, y 随 x 的增大而减小, 当 x > 0 时, y 随 x 的增大而增大; 当 x < 0 时, y 随 x 的增大而增大, 当 x > 0 时, y 随 x 的增大而减小. a > 0 a < 0 将抛物线 y = ax2 向上(k > 0)或向下(k < 0)平移|k|个单位长度, 就得到抛物线 y = ax2 + k. 8 课堂评价 A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状 A.其图象开口向上 B.当 x = 0 时, 函数的最大值是 -1 C.其图象的对称轴是 x = 1 D.其图象与 x 轴有两个交点 2.下列关于二次函数 y = -x2 - 1 的说法, 正确的是 ( ) 点拨 图象开口向下,有最大值,最大值为, 对称轴为 x = 0,图象与 x 轴无交点. 1.函数 y = x2 +1 与 y = x2 的图象的不同之处是 ( ) 点拨 y = x2 +1 的顶点为(0, 1), y = x2 的顶点为 (0, 0). C B 9 课堂评价 3.抛物线 y = -6x2 可以看作是由抛物线 y = -6x2 + 5 按下列何种变换得到的 ( ) A.向上平移 5 个单位长度 B.向下平移 5 个单位长度 C.向左平移 5 个单位长度 D.向右平移 5 个单位长度 B 点拨 抛物线 y = -6x2 + 5 向下平移 5 个单位长度得到抛物线 y = -6x2. 10 课堂评价 4.二次函数 y = ax2 + k 的图象的顶点是(0, 2), 且形状及开口方向与抛物线 y = 2x2 相同. (1)确定 a, k 的值. (2)画出二次函数 y = ax2 + k 的图象. 答案 (1) a = 2, k = 2. (2)图象如图. 2 3 4 1 x O -1 -1 -2 -3 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 y y = 2x2+2 11 课堂总结 y = ax2 + k a > 0 a < 0 开口方向 对称轴 顶点 最值 增减性 向上 向下 y 轴 y 轴 (0, k) (0, k) 当 x = 0 时, y最小值 = k 当 x = 0 时, y最大值 = k 当 x < 0 时, y 随 x 的增大而减小; 当 x > 0 时, y 随 x 的增大而增大 当 x < 0 时, y 随 x 的增大而增大; 当 x > 0 时, y 随 x 的增大而减小 12 作业设计 基础性作业: 教材练习. 拓展性作业: 1.将函数 y = 3x2 - 2 的图象向______平移_____个单位长度后得到的图象对应的函数解析式是 y = 3x2 + 3. 2.将函数 y = 2x2 + 2 的图象向上平移 3 个单位长度后得到的图象对应的函数解析式是____________. 13 第二十六章 二次函数 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.2 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质 第2课时 二次函数 y = a(x - h)2 的图象和性质 14 导入新课 问题1:上节课, 我们探究了在二次函数 y = a(x - h)2 + k 中, h = 0, k ≠ 0, 即二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质, 请你指出它的开口方向、对称轴、顶点及增减性, 并说出它与 y = ax2 的图象有怎样的关系? 抛物线 y = ax2 + k 的对称轴是 y 轴, 顶点是(0, k). 当 a > 0 时, 抛物线的开口向上, 顶点是抛物线的最低点; 当 a < 0 时, 抛物线的开口向下, 顶点是抛物线的最高点. 15 导入新课 从二次函数 y = ax2 + k 的图象可以看出: 当 x < 0 时, y 随 x 的增大而减小, 当 x > 0 时, y 随 x 的增大而增大; 当 x < 0 时, y 随 x 的增大而增大, 当 x > 0 时, y 随 x 的增大而减小. a > 0 a < 0 将抛物线 y = ax2 向上(k > 0)或向下(k < 0)平移|k|个单位长度, 就得到抛物线 y = ax2 + k. 16 导入新课 问题 2: 结合我们对二次函数 y = a(x - h)2 + k 中, h = 0, k ≠ 0 的情况的探究经验, 当 h ≠ 0, k = 0 时, 即二次函数 y = a(x - h)2 又有怎样的性质呢? 你将如何开展探究呢? 17 高效课堂 任务一：利用描点法绘制 y = a(x - h)2 的图象 问题 1: 请小组合作, 在同一平面直角坐标系中, 画出二次函数 y = - (x + 1)2 和 y = - (x - 1)2 的图象, 并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 先分别列表, 如下. x … -4 -3 -3 -1 0 1 2 … y ＝- (x + 1)2 … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y ＝- (x - 1)2 … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … 18 高效课堂 然后描点画图, 得到 y = - (x + 1)2 和 y = - (x - 1)2 的图象, 如图. 4 x y 2 -6 -4 -2 -2 -4 O y=- (x+1)2 y=- (x-1)2 x=-1 x=1 结合图象, 可得 抛物线 y = - (x + 1)2 的开口向下, 对称轴是经过点(-1, 0)且与 x 轴垂直的直线, 把它记作 x = -1, 顶点是(-1, 0); 抛物线 y = - (x - 1)2 的开口向下, 对称轴是 x = 1, 顶点是(1, 0). 19 4 x y 2 -6 -4 -2 -2 -4 O y=- (x+1)2 y=- (x-1)2 x=-1 x=1 y=- x2 抛物线 y = - x2 如图(图中的虚线图形). 问题 2: 在下图中画出函数 y = - x2 的图象, 抛物线 y = - (x + 1)2, y = - (x - 1)2 与抛物线 y = - x2 有什么关系? 把抛物线 y = - x2 向右平移 1 个单位长度, 就得到抛物线 y = - (x - 1)2. 可以发现, 把抛物线 y = - x2 向左平移 1 个单位长度, 就得到抛物线 y = - (x + 1)2; 高效课堂 20 问题 3: 综合抛物线 y = - (x + 1)2, y = - (x - 1)2 与抛物线 y = - x2, 猜想函数解析式 y = a(x - h)2 中的参数 a, h 如何影响它们的图象? a 的正负影响开口方向, a > 0, 抛物线开口向上, a < 0, 抛物线开口向下; 对称轴都是 x = h, 顶点都是(h, 0). 高效课堂 21 任务二：利用信息技术工具绘制图象印证猜想 高效课堂 问题 1: 改变参数 h 的值, 使其变大, 请你观察并描述二次函数 y = a(x - h)2 的图象是如何变化的? 改变参数 h 的值, 使其变小, 二次函数 y = a(x - h)2 的图象又是如何变化的? 可以发现, 随着 h 的变化, 二次函数 y = a(x - h)2 的图象向左或向右平移, h 增大时, 向右平移, h 减小时, 向左平移. 22 高效课堂 问题 2: 把抛物线 y = ax2 如何平移就可以得到抛物线 y = a(x - h)2 ? 把抛物线 y = ax2 向左(h < 0)或向右(h > 0)平移 |h|个单位长度, 就可以得到抛物线 y = a(x - h)2. 抛物线左右平移, 实则可看作顶点左右平移. 23 任务三：结合所学，归纳新知 高效课堂 从图象的开口方向、对称轴、顶点及函数的最值、增减性来归纳. 问题: 你能归纳出二次函数y = a(x - h)2的图象特征和性质吗? 24 高效课堂 y = a(x - h)2 a > 0 a < 0 开口方向 对称轴 顶点 最值 增减性 向上 x = h (h, 0) 当 x = h 时, y最小值 = 0 当 x < h 时, y 随 x 的增大而减小; 当 x > h 时, y 随 x 的增大而增大 向下 x = h (h, 0) 当 x = h 时, y最大值 = 0 当 x < h 时, y 随 x 的增大而增大; 当 x > h 时, y 随 x 的增大而减小 h 的值 负 左移 正 右移 括号外不变 25 任务四：知识迁移与运用 高效课堂 例 对于二次函数 y = -3(x + 2)2. (1)它的图象与二次函数 y = -3x2 的图象有什么关系? 它是轴对称图形吗? 它的开口方向、对称轴和顶点分别是什么? (2)当 x 取哪些值时, y 的值随 x 值的增大而增大? 当 x 取哪些值时, y 的值随 x 值的增大而减小? 解: (1)二次函数 y = -3(x + 2)2 的图象是二次函数 y = -3x2 的图象向左平移 2 个单位长度得到的; 它是轴对称图形; a = -3 < 0, 开口向下; 对称轴是 x = -2; 顶点是(-2, 0). (2)当 x < -2 时, y 的值随 x 值的增大而增大; 当 x ≥ -2 时, y 的值随 x 值的增大而减小. 26 课堂评价 A.向上平移 1 个单位长度 B.向下平移 1 个单位长度 C.向左平移 1 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度 2.把抛物线 y = -x2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度, 那么平移后的抛物线的解析式是__________________________. 点拨 分类讨论,如果沿 x 轴向左平移,则解析式为 y = -(x + 3)2, 向右平移则解析式为 y = -(x - 3)2. 1.将二次函数 y = -2x2 的图象平移后, 可得到二次函数 y = -2(x + 1)2 的图象, 平移的方法是 ( ) 点拨 规律遵循“左加右减 x”, 将二次函数y = -2x2 的图象平移后得到二次函数, y = -2(x + 1)2 的图象, h = -1, 顶故向左平移了 1 个单位长度. C y = -(x + 3)2 或 y = -(x - 3)2 27 课堂评价 3.指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点. 向上 抛物线 开口方向 对称轴 顶点 y = 2(x - 3)2 y = 3(x - 2)2 y = - (x - 1)2 向上 向下 x = 3 x = 2 x = 1 (3, 0) (2, 0) (1, 0) 28 课堂总结 1. 对比抛物线 y = ax2 和抛物线 y = a(x - h)2, 说说它们的形状、位置有什么关系? 平移规律是什么? 2. 二次函数 y = a(x - h)2 图象的开口方向、对称轴、顶点分别由什么参数决定? 具体的对应关系是怎样的? 3. 回顾本节课的探究过程, 我们用到了哪些数学思想方法? 这些方法对你理解函数图象与解析式的关系有什么帮助? 29 作业设计 基础性作业: 教材练习. 提高性作业: 以思维导图的形式描述出二次函数 y = ax2 + k, y = a(x - h)2 与 y = ax2 的关系. 30 第二十六章 二次函数 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.2 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质 第3课时 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质 31 导入新课 问题1: 抛物线 y = ax2 经过怎样的移动可以分别得到抛物线 y = a(x - h)2, y = ax2 + k? 将抛物线 y = ax2 向上或下平移可以得到抛物线 y = ax2 + k; 将抛物线 y = ax2 向左或右平移可以得到抛物线 y = a(x - h)2. 32 导入新课 问题2: 如图, 在投篮训练中, 小明一次投篮时篮球运动轨迹为抛物线, 已知篮球出手位置高 1.8 米, 篮球运动到水平距离 3 米处, 达到最大高度 3.6 米. 你能画出这条抛物线吗? 若篮筐位置在小明前方 5 米, 高度为 3 米, 小明这次投篮可以命中吗? 问题中“篮球运动到水平距离 3 米处, 达到最大高度 3.6 米”指明了篮球运动轨迹的抛物线顶点的位置. 本节课探究 h ≠ 0, k ≠ 0 的二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质. 33 高效课堂 任务一：小组合作，探究图象间的关系 画出二次函数 y = - (x + 1)2 - 1 的图象, 并指出它的开口方向, 对称轴和顶点. 列表如下. x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y＝- (x+1)2-1 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … x y y=- (x+1)2-1 4 2 -2 -4 O -2 -4 -6 x=-1 描点、画图, 如图. 开口向下; 对称轴为 x = -1; 顶点是(-1, -1). 34 高效课堂 x y y=- (x+1)2-1 4 2 -2 -4 O -2 -4 -6 抛物线 y = - (x + 1)2 - 1 与抛物线 y = - (x + 1)2 有什么关系? 抛物线 y = - (x + 1)2 - 1 与抛物线 y = - x2 - 1 有什么关系? 抛物线 y = - (x + 1)2 - 1 与抛物线 y = - x2 有什么关系? y=- x2-1 y=- x2 y=- (x+1)2 向下平移 1 个单位长度. 向左平移 1 个单位长度. 向左平移 1 个单位长度, 再向下平移 1 个单位长度. 35 任务二：探究函数的图象及性质 高效课堂 问题 1: 大家一起发现了抛物线 y = - (x + 1)2 - 1 是由抛物线 y = - x2 先向左平移 1 个单位长度, 再向下平移 1 个单位长度得到的, 那么函数 y = - (x + 1)2 - 1 的图象与函数 y = - x2 的图象有哪些相同点和不同点呢? 相同点: 开口大小一致. 开口方向都是向下; 不同点: 对称轴不同; 顶点不同. 36 高效课堂 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象特征是什么? 一般地, 抛物线 y = a(x - h)2 + k 与 y = ax2 形状相同, 位置不同. 把抛物线 y = ax2 向上(或向下)、向左(或向右)平移, 可以得到抛物线 y = a(x - h)2 + k. 平移的方向、距离要根据 h, k 的值来决定. (1) 当 a > 0 时, 开口向上; 当 a < 0 时, 开口向下. 抛物线 y = a(x - h)2 + k 有如下特点: (2) 对称轴是 x = h. (3) 顶点是(h, k). 37 高效课堂 问题 2: 观察图象, 二次函数 y = - (x + 1)2 - 1 的性质是什么? - < 0, 开口方向向下. 当 x < -1 时, y 随 x 的增大而增大; 当 x > -1 时, y 随 x 的增大而减小. 当 x = -1 时, y 取最大值, 最大值为 -1. 38 高效课堂 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的性质是什么? 如果 a > 0, 那么当 x < h 时, y 随 x 的增大而减小, 当 x > h 时, y 随 x 的增大而增大, 当 x = h 时, y 取最小值, 最小值为 k; 如果 a < 0, 那么当 x < h 时, y 随 x 的增大而增大, 当 x > h 时, y 随 x 的增大而减小, 当 x = h 时, y 取最大值, 最大值为 k. 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象可以看出: 39 任务三：知识迁移与运用 高效课堂 例 1 已知抛物线 y = a(x - 3)2 + 2 经过点(1, -2). (1)指出抛物线的对称轴. (2)求 a 的值. (3)若点 A(-1, y1), B(2, y2)都在该抛物线上, 试比较 y1 与 y2 的大小. 解: (1)由抛物线 y = a(x - 3)2 + 2 可知其顶点为(3, 2), 对称轴为 x = 3. (2)因为抛物线 y = a(x - 3)2 + 2 经过点(1, -2), 所以 a(x - 3)2 + 2 = -2, 所以 a = -1. (3)因为 y = -(x - 3)2 + 2, 所以此函数的图象开口向下, 对称轴为 x = 3, 当 x < 3 时, y 随 x 的增大而增大. 所以由 -1 < 2 < 3 得 y1 < y2. 40 高效课堂 例 2 要修建一个圆形喷水池, 在池中心竖直安装一根水管, 在水管的顶端安一个喷水头, 使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1.6 m 处达到最高, 高度为 3 m, 水柱落地处离池中心 3.6 m, 水管的长应为多少? 如图, 以水管与地面交点为原点, 原点与水柱落地处所在直线为 x 轴, 水管所在直线为 y 轴, 建立平面直角坐标系. 点(1.6, 3)是图中这段抛物线的顶点, 因此可设这段抛物线对应的函数解析式为 y = a(x - 1.6)2 + 3(0 ≤ x ≤ 3.6). 由这段抛物线经过点(3.6, 0), 可得 0 = a(3.6 - 1.6)2 + 3. 解: (1.6, 3) 1 2 3 4 3.6 1 2 3 O x/m y/m 当 x = 0 时, y = 1.08, 也就是说, 水管长应为 1.08 米. 解得 a = . 因此 y = (x - 1.6)2 + 3(0 ≤ x ≤ 3.6). 41 高效课堂 如图,以小明站立投篮位置为原点, 原点与球落地处所在直线为 x 轴, 人所在直线为 y 轴, 建立平面直角坐标系. 点(3, 3.6)是图中这段抛物线的顶点, 因此可设这段抛物线对应的函数解析式为 y = a(x - 3)2 + 3.6. 由这段抛物线经过点(0, 1.8), 可得 1.8 = a(0 - 3)2 + 3.6. 解: 当 x = 5 时, y = 2.8 < 3, 也就是说, 小明此次投篮不能命中. 解得 a = . 因此 y = (x - 3)2 + 3.6. 在投篮训练中, 小明一次投篮时篮球运动轨迹为抛物线, 已知篮球出手位置高 1.8 米, 篮球运动到水平距离 3 米处, 达到最大高度 3.6 米. 你能画出这条抛物线吗? 若篮筐位置在小明前方 5 米, 高度为 3 米, 小明这次投篮可以命中吗? (3, 3.6) 2 4 6 2 O x/m y/m 4 6 -2 42 课堂评价 A. 开口向下 B. 顶点是(-3, 2) C. 当 x ≥ 3 时, y 随 x 增大而减小 D. 函数的最小值是2 1.对于二次函数 y = (x - 3)2 + 2 的图象, 下列叙述正确的是 ( ) D 2.把二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象先向左平移 2 个单位长度, 再向上平移 4 个单位长度, 得到二次函数 y = (x + 1)2 - 1 的图象, 则原解析式为_________________. y = (x - 1)2 - 5 43 课堂评价 3.已知抛物线 y = 3(x + 2)2 - 1. (1)开口方向:__________. (2)顶点:__________. (3)对称轴:__________. (4)当 x =______时, y 的最_____值是_______. (5)若 y 随 x 的增大而减小, 则 x 的取值范围为__________. 向上 (-2, -1) x = -2 -2 小 -1 x < -2 44 课堂总结 1.本节课学习了哪些内容? 2.本节课是如何研究二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质的? 45 作业设计 基础性作业: 教材练习第 1 题. 提高性作业: 教材练习第 2 题. 拓展性作业: 如图, 矩形 OABC 中, A(-3, 0), C(0, 2), 抛物线 y = -2(x - m)2 - m + 1 的顶点 M 在矩形 OABC 内部或其边上, 则 m 的取值范围是____________. A B C M O x y 46 $