第二十五章 一元二次方程 小结 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的定义、解法、根的判别式、根与系数关系及应用，通过“实际问题—列方程—解方程—验根—解决问题”的知识结构流程，串联各知识点逻辑脉络，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“基础辨析+解法对比+综合应用”分层练习设计，如通过解法表格对比不同方法适用类型培养数学思维，结合传播、销售等应用问题发展模型观念，助力学生巩固知识，教师精准开展复习教学。

人教版九年级上册 小结 第二十五章 一元二次方程 知识结构 实际问题 一元二次方程 ax2+bx+c=0 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 x = 实际问题的答案 设未知数，列方程 解方程 降 次 配方法 公式法 因式分解法 复习回顾 知识点1 一元二次方程的定义 1.定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一般形式： ax2+bx+c = 0（a ≠ 0） a 二次项系数 b 一次项系数 c 常数项 1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. x2+=0 B. ax2+bx+c=0 C. (x–1)(x+2)=1 D. 3x2–2xy=0 2.方程 5x2–x–3=x2–3+x 的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____. C 4 –2 0 对应练习 3.[2024·合肥经开区期末]若方程(m＋3)x|m＋1|－4x＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为( ) A.－3或1 B.1 C.±1 D.－3 B 对应练习 4.若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，a，b，c满足a－b＋c＝0和9a＋3b＋c＝0，则方程的根是( ) A.1，－3 B.－1，3 C.1，3 D.无法确定 B 对应练习 知识点2 一元二次方程的解法 一元二次方程的解法及适用类型： 解法 适用的方程类型 直接开平方法 x2=p或 (mx+n)2=p (m≠0，p≥0) 配方法 二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程 公式法 所有的一元二次方程 因式分解法 一边化为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程 用适当方法解下列方程： （1）(x–3)2–49=0； （2）x2 –6x–18=0； 解：移项，得 (x–3)2=49， 由此可得 x–3=±7， 即 x1=10， x2= –4. 解：移项，得 x2–6x=18. 配方，得x2–6x+32=18+32， (x–3)2=27. 由此可得 x–3=±， 即x1=3+，x2=3–. 对应练习 （3）–2x2+5x= –3； （4）(x–3)2=6–2x. 解：方程化为 –2x2+5x+3=0， 此时a= –2，b=5，c=3. 所以 Δ=b2–4ac=52–4×(–2)×3=49>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1= 3，x2= – . 解：方程变形，得 (x–3)2+2(x–3)=0. 左边分解因式，得 (x–3)(x–3+2)=0， 即(x–3)(x–1)=0. 于是 x–3=0，或 x–1=0， 即 x1= 3，x2= 1. 知识点3 一元二次方程根的判别式 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根由方程的系数 a，b，c 确定. ax2+bx+c=0 (a≠0) b2–4ac>0 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 无实数根 b2–4ac=0 b2–4ac<0 b2–4ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ=b2– 4ac. Δ>0 Δ=0 Δ<0 1.若关于x的一元二次方程x2＋4x＋n－3＝0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是( ) A.n＜7 B.n≤7 C.n＞7 D.n≥7 A 对应练习 2.已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋a－1＝0. (1)求证：无论a取任何实数，此方程总有实数根； (2)若方程有一个根大于3，求a的取值范围. 解：(1)∵Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0， ∴无论a取任何实数，此方程总有实数根. (2)a的取值范围为a＜－2. 对应练习 知识点4 一元二次方程根与系数的关系 若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根， 则 x1+x2= – ，x1x2= . 注意事项 （使用前提） 方程先化为一般式，确定 a，b，c . a ≠ 0 b2–4ac ≥ 0 1.[2024·眉山中考]已知方程x2＋x－2＝0的两根分别为x1，x2，则的值为  　.  对应练习 2.[2025·广安中考]已知方程x2－5x－24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2－4a＋b的值为　　.  29 对应练习 3.设 x1，x2 是方程 x2+(2m+1)x+m2–1=0 的两个实数根，且满足 x12+x22+x1x2–17=0，求 m 的值. 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得x1+x2= –(2m+1)，x1x2=m2–1，所以 x12+x22+x1x2–17=(x1+x2)2–x1x2–17=[–(2m+1)]2–(m2–1)–17=0，即 3m2+4m–15=0，解得 m1= ，m2= –3. 因为方程 x2+(2m+1)x+m2–1=0 有两个实数根， 所以 Δ=(2m+1)2– 4(m2–1)≥0. 所以4m+5≥0，解得 m ≥ – . 所以 m 的值为 . 知识点5 一元二次方程的应用 1. 审：审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系； 2. 设：设未知数； 3. 列：根据等量关系列出方程； 4. 解：解方程； 5. 验：检验解在实际问题中是否有意义； 6. 答：写出实际问题的答案. 一元二次方程几种常见问题： 一元二次方程几种常见问题： 1.数字问题 2.几何图形问题 3.传播问题 4.平均变化率问题 5.循环问题 6.销售问题 知识点5 一元二次方程的应用 1.小明在计算某数的平方时，将这个数的平方误看成它的2倍，结果答案少了35，则这个数为　 　.  －5或7 对应练习 2.在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司代表之间都要合影留念，会议结束后统计共拍摄了78张合影，则有　　家公司出席了这次交易会.  13 对应练习 3.在人群密集的场所，信息传播很快.某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，共有432人知晓这则喜讯，那么每轮传播中平均一人传播了　　人.  11 对应练习 4.某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销 售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81 元，平均每天可售出20件. （1）求平均每次降价盈利减少的百分率； 解：（1）设平均每次降价盈利减少的百分率为x. 依题意，得100（1－x）2＝81. 解得x1＝0.1＝10％，x2＝1.9（不合题意，舍去）. 答：平均每次降价盈利减少的百分率为10％. 解：（1）设平均每次降价盈利减少的百分率为x. 依题意，得100（1－x）2＝81. 解得x1＝0.1＝10％，x2＝1.9（不合题意，舍去）. 答：平均每次降价盈利减少的百分率为10％. 对应练习 （2）为尽快减少库存，商场决定再次降价.每件上衣每降价 1元，每天可多售出2件.若商场每天要盈利2 940元，每件应降 价多少元？ 答：每件应降价60元. 解：（2）设每件应降价y元，则每天可售出（20＋2y）件. 依题意，得（81－y）（20＋2y）＝2 940. 解得y1＝60，y2＝11. ∵要尽快减少库存，∴y＝60. 答：每件应降价60元. 4.某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销 售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81 元，平均每天可售出20件. 1. 解下列方程： (1)(RJ九上P14T1(4))4x2－81＝0； 解：整理，得x2＝ . 由此可得x＝± ， x1＝ ，x2＝－ . 教材母题 (2)(RJ九上P15T1(5))3x(2x＋1)＝4x＋2； 解：移项，得3x(2x＋1)－(4x＋2)＝0. 因式分解，得(2x＋1)(3x－2)＝0. 于是得2x＋1＝0，或3x－2＝0， 即x1＝－ ，x2＝ . (3)(RJ九上P17T5(2)) 解：∵a＝1，b＝－ ，c＝－ ， ∴Δ＝b2－4ac＝ ＝3>0. ∴方程有两个不相等的实数根 x＝ 即x1＝ ，x2＝ . 2. (BS九上P50T2)已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设它的另一根为x1， 依题意，得x1＋2＝－ ，2x1＝－ . 解得x1＝－ ，k＝－7. 3. (RJ九上P17T4(3))利用一元二次方程根的判别式判断方程x2－4 x＋9＝0的根的情况. ∴方程没有实数根. 解：∵Δ＝(－4 )2－4×1×9＝－4<0， 4. (RJ九上P15T2)如图，把小圆形场地的半径增加5 m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为9∶4. 求小圆形场地的半径. 解：设小圆形场地的半径为x m， 则大圆形场地的半径为(x＋5)m. 依题意，得9πx2＝4π(x＋5)2， 解得x1＝10，x2＝－2(不合题意，舍去). 答：小圆形场地的半径为10 m. 5. (BS九上P43T3改编)一个直角三角形三条边的长为三个连续偶数，则这个三角形的斜边长为____. 10 6. (RJ九上P28T7改编)一个长方体的长与宽的比为5∶2，高为5 cm，表面积为40 cm2. 求这个长方体的宽. 解：设这个长方体的宽为2x cm，则长为5x cm， 依题意，得2(5x·2x＋5×5x＋5×2x)＝40. 整理，得2x2＋7x－4＝0. ∴2x＝1. 答：这个长方体的宽为1 cm. 解得x1＝ ，x2＝－4(不合题意，舍去). 7. (RJ九上P24T5)一个菱形的两条对角线长之和是10，面积是12，求这个菱形的周长. 解：设菱形的一条对角线的长为x， 则另一条对角线的长为10－x. 当x＝4时，10－x＝6；当x＝6时，10－x＝4. ∴菱形的两条对角线的长分别为4和6. 依题意，得 x(10－x)＝12，解得x1＝4，x2＝6. 由菱形的性质和勾股定理，得菱形的边长为 ∴这个菱形的周长为4× ＝4 . 8. (RJ九上P22探究2改编)两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产1 t乙种药品的成本是6 000元. 随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t乙种药品的成本是3 600元. 哪种药品成本的年平均下降率较大？ 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x. 依题意，得5 000(1－x)2＝3 000. 解得x1≈1. 775(不合题意，舍去)，x2≈0. 225＝22. 5%. ∴甲种药品成本的年平均下降率约为22. 5%. 设乙种药品成本的年平均下降率为y， 依题意，得6 000(1－y)2＝3 600. 解得y1≈1. 775(不合题意，舍去)， y2≈0. 225＝22. 5%. ∴乙种药品成本的年平均下降率约为22. 5%. 答：甲、乙两种药品成本的年平均下降率一样大. 9. (RJ九上P28T10改编)某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由1. 75%降至1. 5%，平均每次降息的百分率是多少？设平均每次降息的百分率为x，则可列方程为_________________________. 1. 75%(1－x)2＝1. 5% 10. (RJ九上P18T12)(1)因为x3－8x2＋19x－12＝(x－1)(x－3)(x－4)，所以1，3，4是一元三次方程x3－8x2＋19x－12＝0的三个根，计算1＋3＋4，1×3＋3×4＋4×1，1×3×4的值，它们与一元三次方程x3－8x2＋19x－12＝0的系数有什么关系？ 它们与一元三次方程x3－8x2＋19x－12＝0的系数的关系为： 1＋3＋4是二次项系数除以三次项系数的结果的相反数. 1×3＋3×4＋4×1是一次项系数除以三次项系数的结果， 1×3×4是常数项除以三次项系数的结果的相反数. 解：(1)1＋3＋4＝－ ＝8，1×3＋3×4＋4×1＝ ＝19， 1×3×4＝－ ＝12， (2)如果一元三次方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有三个实数根x1，x2，x3，那么ax3＋bx2＋cx＋d可以化为a(x－x1)(x－x2)(x－x3). 由此你能发现x1，x2，x3与一元三次方程的系数a，b，c，d之间的关系吗？ 解：(2)由(1)可得，x1＋x2＋x3＝－ ， x1x2＋x2x3＋x3x1＝ ，x1x2x3＝－ . $