26.1 二次函数的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，通过喷泉曲线视频情境导入，结合函数定义、一次函数等旧知回顾，借助矩形面积、比赛场次、产量增长三个实际问题，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以视频情境培养数学眼光，通过问题探究发展推理能力，用辨析典例强化模型意识。如矩形面积问题推导函数关系式，帮助学生理解概念本质，教师可依托系统内容高效开展教学。

null 新人教版·九年级上册 第二十六章 二次函数 26.1二次函数的概念 情境导入 视频中的喷泉有时会形成一条条曲线．这些曲线能否用函数关系式表示？ 回顾旧知 什么是函数？ 什么叫做一次函数？ 什么叫做正比例函数？ 函数有哪些表示方法？ 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数. 形如y=kx+b (k、b为常数，k≠0) 形如y=kx(k≠0) 解析法 列表法 图象法 b=0 新课导入 你能列出下列变量之间的函数关系式吗？ 问题2 n 支球队参加比赛，每两队之间进行 1 场比赛.比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？ 问题3 某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y (单位：t) 将由 x 的值确定，y 与 x 之间的关系怎样表示？ 问题1 用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y (单位：m²) 会随矩形一边长 x (单位：m) 的变化而变化，y 与 x 之间有什么关系？ 探究新知 用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y (单位：m²) 会随矩形一边长 x (单位：m) 的变化而变化，y 与 x 之间有什么关系？ 问题1 分析：矩形的一边长 x 和面积 y 都是变量，而且对于的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，即 y 是 x 的函数， 则根据矩形面积公式， 它们之间的关系可以表示为 y = x(20 - x)， 即 y=－x2+20x 探究新知 问题2 n 支球队参加比赛，每两队之间进行 1 场比赛.比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？ 问题2 分析：单循环问题 每支球队 n 要与其他 个球队各比赛 1 场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为 ， 即 。 (n − 1) 探究新知 问题3 某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y (单位：t) 将由 x 的值确定，y 与 x 之间的关系怎样表示？ 问题3 分析：这种产品的原产量是 20 t，一年后的产量是 t， 再经过一年后的产量是 t， 即两年后的产量 y =__________， 即 . 20(1 + x) 20(1 + x)(1 + x) 20(1 + x)2 y = 20x2 + 40x + 20 思考 y= -x2+20x m= n2- n y=20x2+40x+20 这三个函数有什么共同点? 3.二次项系数不为0，即a≠0. 1.函数解析式是整式； 2.自变量的最高次数是2. 一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数. 二次函数解析式必须同时满足的三个条件： 思考 观察该二次函数的一般形式，它有什么特点？ 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 注意：必须先化为二次函数的一般形式，才能找出各项系数 (其中a，b，c是常数,a≠0) 当b＝0时， y＝ax2＋c.（只含有二次项和常数项） 当c＝0时， y＝ax2＋bx.（只含有二次项和一次项） 当b＝0，c＝0时， y＝ax2.（只含有二次项） 二次函数的特殊形式: 不能为0 辨析 例1 下列函数中哪些是二次函数? 为什么? (x 是自变量) ①y = (x + 3)² − x²； ② y = 3 − 2x²； ③ y = x2 + 3x； ④ ； ⑤ y = x² + x³ + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c. 不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件. 不是，等式右边是分式. 不是，x 的最高次数是 3. 不是，y = 6x + 9 典例精析 例 (1) 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式. (2) 一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x ，写出两年后产品的年销售量 y (单位：万件)关于 x 的函数解析式. r r 【分析】 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和. 解：（1）由题意得 S=2πr2+2πr·r ∴ S=4πr2 【分析】一年后产品的年销售量为 8(1－x) 万件，两年后的年销售量为 8(1－x)(1－x) 万件。 （2）由题意得 y = 8(1－x)2 ∴y = 8x2 － 16x+8 易 错 提 醒 （1）判定二次函数必须先化简，不能直接根据原式表面形式判断； （2）二次函数的核心条件是a≠0，b、c可以为0，切勿混淆； （3）实际问题中的二次函数，自变量取值范围必须符合实际意义，不能默认全体实数； （4）分式形式、根式形式的关系式一定不是二次函数. 新知应用 【课本P31练习 第1题】 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 8 -16 8 1 0 0 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 5 0 =2x2-4x-3 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 2 -4 -3 新知应用 2.如图，矩形绿地的两边长各增加 x m，扩充后的绿地面积为y m2. 写出y关于x的函数解析式. 【课本P31练习 第2题】 解：由题意得 y = (30+x)(20+x) 即y= x2+50x+600. 课堂小结 二次函数 定义 右边是整式； 自变量的最高次数是2； 二次项系数a≠0. 一般形式 y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c是常数) 特殊形式 y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c (a≠0，a,b,c是常数). 课后练习 1. 某商场一月份的销售额为50万元，二、三月份每月销售额的平均增长率为x，写出三月份的销售额y（单位：万元）关于x的函数解析式. 解：由题意得 y =50(1+ x)2 即y =50x2 +100x +50 【课本P32练习题】 注意：直接应用连续两次平均增长率问题公式： 设平均增长率为x，增长后的量y=开始量a（1+ x ）² 分析：二月份的销售额为50(1+x)万元，三月份的销售额为50(1+ x)(1+ x)万元 课后练习 【课本P32练习题】 2. 设人民币一年期定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年期定期储蓄转存. 如果本金是30000元，写出两年后的本息之和 y（单位：元）关于年利率x的函数解析式. 解：一年后的本息之和为30000(1+x)元， 两年后的本息之和为30000(1+x)(1+x)元， 所以 y=30000(1+ x)2 ， 即 y=30000x2+ 60000x+30000. 课后练习 【课本P32练习题】 3. 如图，一面圆形的镜子，其周边镶有宽为5cm的边框.已知镜面的价格是每平方米180元，边框的价格是每平方米100元，求这面镜子的价格y（单位：元）关于镜子半径x（单位：m）的函数解析式. 解：镜面的价格 =π(x – 0.05)2 ·180元， 边框的价格 = π［x2 –(x – 0.05)2 ］·100， ∴ y = π(x – 0.05)2 ·180 + π·［x2 –(x – 0.05)2 ］· 100， 化简得：y = 180πx2–8πx + 0.2π. 下 课 $